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三、解答题
1. 把下面证明命题“在同一平面内,平行于同一直线的两直线互相平行”的过程填空完整.
已知:如图,
求证:$a// b$.
证明:假设
由于它们在同一平面内,所以相交,不妨设交点为P.
由此可得,经过点P有两条直线与直线c平行.
这与“
∴假设不成立,
∴平行于同一直线的两直线互相平行.
1. 把下面证明命题“在同一平面内,平行于同一直线的两直线互相平行”的过程填空完整.
已知:如图,
$a//c,b//c$
.求证:$a// b$.
证明:假设
直线$a$与$b$不平行
,由于它们在同一平面内,所以相交,不妨设交点为P.
由此可得,经过点P有两条直线与直线c平行.
这与“
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
”相矛盾.∴假设不成立,
∴平行于同一直线的两直线互相平行.
答案
1. $a//c,b//c$；直线$a$与$b$不平行；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
解析
【分析】
本题采用反证法证明几何命题，解题时需结合反证法的步骤逐步推导：首先明确命题对应的已知条件，即待证的两条直线都平行于第三条直线；反证法第一步要假设待证结论不成立，也就是假设两条直线不平行；后续推导得出的结论和平行公理冲突，即可证明假设错误，原命题成立，对应填写空缺内容即可。
【解析】
1. 已知部分：结合命题“平行于同一直线的两直线互相平行”，对应图形可得已知条件为$\boldsymbol{a//c,b//c}$；
2. 反设部分：要证明$a//b$，反证法需先假设结论不成立，即假设$\boldsymbol{直线a与b不平行}$，同一平面内不平行的两条直线必然相交，设交点为P，此时过点P存在a、b两条直线都与c平行；
3. 矛盾依据：上述推导结果与“$\boldsymbol{经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行}$”的平行公理矛盾，因此假设不成立，原命题成立。
【答案】
$a//c,b//c$；直线$a$与$b$不平行；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】
反证法；平行公理；平行公理推论
【点评】
本题是几何证明的基础题型，重点考查反证法的证明逻辑和平行公理的识记，熟练掌握反证法“反设-归谬-存真”的步骤是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
本题采用反证法证明几何命题，解题时需结合反证法的步骤逐步推导：首先明确命题对应的已知条件，即待证的两条直线都平行于第三条直线；反证法第一步要假设待证结论不成立，也就是假设两条直线不平行；后续推导得出的结论和平行公理冲突，即可证明假设错误，原命题成立，对应填写空缺内容即可。
【解析】
1. 已知部分：结合命题“平行于同一直线的两直线互相平行”，对应图形可得已知条件为$\boldsymbol{a//c,b//c}$；
2. 反设部分：要证明$a//b$，反证法需先假设结论不成立，即假设$\boldsymbol{直线a与b不平行}$，同一平面内不平行的两条直线必然相交，设交点为P，此时过点P存在a、b两条直线都与c平行；
3. 矛盾依据：上述推导结果与“$\boldsymbol{经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行}$”的平行公理矛盾，因此假设不成立，原命题成立。
【答案】
$a//c,b//c$；直线$a$与$b$不平行；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】
反证法；平行公理；平行公理推论
【点评】
本题是几何证明的基础题型，重点考查反证法的证明逻辑和平行公理的识记，熟练掌握反证法“反设-归谬-存真”的步骤是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
2. 用反证法说明:若有5只鸽子飞进两个鸽笼,则至少有3只鸽子在同一个鸽笼.
答案
2. 假设至多有2只鸽子在同一个鸽笼,则两只鸽笼最多飞进了4只鸽子,这与已知共有5只鸽子飞进鸽笼矛盾,
∴假设不成立,即至少有3只鸽子在同一个鸽笼.
∴假设不成立,即至少有3只鸽子在同一个鸽笼.
解析
【分析】
用反证法证明命题需按“反设、归谬、存真”三步开展：第一步先否定原命题的结论，原结论“至少有3只鸽子在同一个鸽笼”的反面为“每个鸽笼至多有2只鸽子”；第二步基于反设的结论推导，计算两个鸽笼最多可容纳的鸽子总数，与已知的5只鸽子的条件对比，推出矛盾；第三步由矛盾判定反设不成立，即可证明原结论正确。
【解析】
证明：假设至多有2只鸽子在同一个鸽笼，
则两个鸽笼最多可飞进$2×2=4$只鸽子，
这与已知共有5只鸽子飞进鸽笼矛盾，
因此假设不成立，故至少有3只鸽子在同一个鸽笼。
【答案】
假设至多有2只鸽子在同一个鸽笼,则两只鸽笼最多飞进了4只鸽子,这与已知共有5只鸽子飞进鸽笼矛盾,
∴假设不成立,即至少有3只鸽子在同一个鸽笼.
【知识点】
反证法，逻辑推理，鸽巢原理
【点评】
本题属于反证法的基础应用题型，重点考查反证法的基本操作步骤，正确否定原命题的结论是解题的核心，能帮助学生熟练掌握反证法的论证逻辑。
【难度系数】
0.8
用反证法证明命题需按“反设、归谬、存真”三步开展：第一步先否定原命题的结论，原结论“至少有3只鸽子在同一个鸽笼”的反面为“每个鸽笼至多有2只鸽子”；第二步基于反设的结论推导，计算两个鸽笼最多可容纳的鸽子总数，与已知的5只鸽子的条件对比，推出矛盾；第三步由矛盾判定反设不成立，即可证明原结论正确。
【解析】
证明：假设至多有2只鸽子在同一个鸽笼，
则两个鸽笼最多可飞进$2×2=4$只鸽子，
这与已知共有5只鸽子飞进鸽笼矛盾，
因此假设不成立，故至少有3只鸽子在同一个鸽笼。
【答案】
假设至多有2只鸽子在同一个鸽笼,则两只鸽笼最多飞进了4只鸽子,这与已知共有5只鸽子飞进鸽笼矛盾,
∴假设不成立,即至少有3只鸽子在同一个鸽笼.
【知识点】
反证法，逻辑推理，鸽巢原理
【点评】
本题属于反证法的基础应用题型，重点考查反证法的基本操作步骤，正确否定原命题的结论是解题的核心，能帮助学生熟练掌握反证法的论证逻辑。
【难度系数】
0.8
3*. 先阅读下面的探究材料,再解决问题.
探究: $\sqrt{2}$ 是不是有理数呢?
假设 $\sqrt{2}$ 是有理数,那么存在两个互质的正整数 $m,n$,使得 $\sqrt{2}=\frac{n}{m}$,于是有 $2m^2=n^2$.
$\because 2m^2$ 是偶数, $\therefore n^2$ 也是偶数, $\therefore n$ 是偶数.
设 $n=2t$($t$ 是整数),则 $n^2=4t^2$,即 $4t^2=2m^2$,
$\therefore 2t^2=m^2$, $\therefore m$ 也是偶数,
$\therefore m,n$ 都是偶数,不互质,与假设矛盾, $\therefore$ 假设错误,
$\therefore \sqrt{2}$ 不是有理数.
问题:请你探究 $\sqrt[3]{6}$ 是不是有理数.
探究: $\sqrt{2}$ 是不是有理数呢?
假设 $\sqrt{2}$ 是有理数,那么存在两个互质的正整数 $m,n$,使得 $\sqrt{2}=\frac{n}{m}$,于是有 $2m^2=n^2$.
$\because 2m^2$ 是偶数, $\therefore n^2$ 也是偶数, $\therefore n$ 是偶数.
设 $n=2t$($t$ 是整数),则 $n^2=4t^2$,即 $4t^2=2m^2$,
$\therefore 2t^2=m^2$, $\therefore m$ 也是偶数,
$\therefore m,n$ 都是偶数,不互质,与假设矛盾, $\therefore$ 假设错误,
$\therefore \sqrt{2}$ 不是有理数.
问题:请你探究 $\sqrt[3]{6}$ 是不是有理数.
答案
3. 假设$\sqrt[3]{6}$是有理数,那么存在两个互质的正整数$m,n$,使得$\sqrt[3]{6}=\frac{n}{m}$,于是有$6m^3=n^3$. $\because 6m^3$是偶数, $\therefore n^3$也是偶数, $\therefore n$是偶数. 设$n=2t$($t$是正整数),则$n^3=8t^3$,即$8t^3=6m^3$, $\therefore 4t^3=3m^3$. $\because 4t^3$是偶数, $\therefore 3m^3$是偶数.$\because 3$是奇数, $\therefore m^3$是偶数, $\therefore m$也是偶数, $\therefore m,n$都是偶数,不互质,与假设矛盾, $\therefore$ 假设错误, $\therefore \sqrt[3]{6}$不是有理数.
解析
【分析】
这道题可类比材料中证明$\sqrt{2}$不是有理数的反证法求解，解题思路分为三步：第一步反设，假设$\sqrt[3]{6}$是有理数，根据有理数的定义，它可以表示为两个互质正整数的比值；第二步推导矛盾，将等式变形后通过奇偶性分析，推出这两个正整数均为偶数，与“互质”的前提矛盾；第三步得结论，假设不成立，即可证明$\sqrt[3]{6}$不是有理数。
【解析】
假设$\sqrt[3]{6}$是有理数，那么存在两个互质的正整数$m,n$，使得$\sqrt[3]{6}=\frac{n}{m}$，于是有$6m^3=n^3$。
$\because 6m^3$是偶数，$\therefore n^3$也是偶数，$\therefore n$是偶数。
设$n=2t$（$t$是正整数），则$n^3=8t^3$，即$8t^3=6m^3$，$\therefore 4t^3=3m^3$。
$\because 4t^3$是偶数，$\therefore 3m^3$是偶数。$\because 3$是奇数，$\therefore m^3$是偶数，$\therefore m$也是偶数。
$\therefore m,n$都是偶数，不互质，与假设矛盾，$\therefore$假设错误，$\therefore \sqrt[3]{6}$不是有理数。
【答案】
$\sqrt[3]{6}$不是有理数
【知识点】
反证法；有理数概念；奇偶性分析
【点评】
本题属于类比探究类题目，重点考查反证法的应用，解题关键是掌握反证法的证明步骤，学会迁移已知的证明方法解决同类问题，推导过程需要保证逻辑严谨。
【难度系数】
0.6
这道题可类比材料中证明$\sqrt{2}$不是有理数的反证法求解，解题思路分为三步：第一步反设，假设$\sqrt[3]{6}$是有理数，根据有理数的定义，它可以表示为两个互质正整数的比值；第二步推导矛盾，将等式变形后通过奇偶性分析，推出这两个正整数均为偶数，与“互质”的前提矛盾；第三步得结论，假设不成立，即可证明$\sqrt[3]{6}$不是有理数。
【解析】
假设$\sqrt[3]{6}$是有理数，那么存在两个互质的正整数$m,n$，使得$\sqrt[3]{6}=\frac{n}{m}$，于是有$6m^3=n^3$。
$\because 6m^3$是偶数，$\therefore n^3$也是偶数，$\therefore n$是偶数。
设$n=2t$（$t$是正整数），则$n^3=8t^3$，即$8t^3=6m^3$，$\therefore 4t^3=3m^3$。
$\because 4t^3$是偶数，$\therefore 3m^3$是偶数。$\because 3$是奇数，$\therefore m^3$是偶数，$\therefore m$也是偶数。
$\therefore m,n$都是偶数，不互质，与假设矛盾，$\therefore$假设错误，$\therefore \sqrt[3]{6}$不是有理数。
【答案】
$\sqrt[3]{6}$不是有理数
【知识点】
反证法；有理数概念；奇偶性分析
【点评】
本题属于类比探究类题目，重点考查反证法的应用，解题关键是掌握反证法的证明步骤，学会迁移已知的证明方法解决同类问题，推导过程需要保证逻辑严谨。
【难度系数】
0.6
