登录
13. 如图10,在$△ ABC$中,$AB=AC=5,BC=6,M$为$BC$边的中点.若$MN⊥ AC$于点$N$,则线段$MN$的长为________.
答案
$\frac{12}{5}$
解析
【分析】
已知△ABC是等腰三角形，M是底边BC的中点，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，连接AM可得AM⊥BC，同时求出MC的长度；再借助勾股定理计算出AM的长；最后△AMC的面积可以通过两种方式计算，建立含MN的等式，即可求出MN的长度。
【解析】
连接AM，
∵ $AB=AC$，M为BC的中点，
∴ $AM⊥BC$，$MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×6 = 3$，
在$Rt△ AMC$中，$AC=5$，$MC=3$，由勾股定理得：
$AM = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$，
∵ $MN⊥AC$，
∴ $△ AMC$的面积可表示为：$S_{△ AMC} = \frac{1}{2} · AM · MC = \frac{1}{2} · AC · MN$，
代入数值：$\frac{1}{2}×4×3 = \frac{1}{2}×5×MN$，
解得：$MN = \frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；等面积法
【点评】
本题是等腰三角形与勾股定理结合的基础题型，使用等面积法建立等式求垂线段长度是常用的解题技巧，熟练掌握该方法可以快速求解同类垂线段长度问题。
【难度系数】
0.7
已知△ABC是等腰三角形，M是底边BC的中点，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，连接AM可得AM⊥BC，同时求出MC的长度；再借助勾股定理计算出AM的长；最后△AMC的面积可以通过两种方式计算，建立含MN的等式，即可求出MN的长度。
【解析】
连接AM，
∵ $AB=AC$，M为BC的中点，
∴ $AM⊥BC$，$MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×6 = 3$，
在$Rt△ AMC$中，$AC=5$，$MC=3$，由勾股定理得：
$AM = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$，
∵ $MN⊥AC$，
∴ $△ AMC$的面积可表示为：$S_{△ AMC} = \frac{1}{2} · AM · MC = \frac{1}{2} · AC · MN$，
代入数值：$\frac{1}{2}×4×3 = \frac{1}{2}×5×MN$，
解得：$MN = \frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；等面积法
【点评】
本题是等腰三角形与勾股定理结合的基础题型，使用等面积法建立等式求垂线段长度是常用的解题技巧，熟练掌握该方法可以快速求解同类垂线段长度问题。
【难度系数】
0.7
14. 如图11,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,P是AC边上的一个动点,当BP的长度最小时,线段PC的长是。图11 
图12 
图12 答案
解：当BP⊥AC时，BP的长度最小（垂线段最短）。
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=10，BC=12，
∴由等腰三角形三线合一可得：BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=6。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 12 × 8=48$。
又∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BP$，
∴$\frac{1}{2} × 10 × BP=48$，解得$BP=\frac{48}{5}$。
在Rt△BPC中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{BC^2-BP^2}=\sqrt{12^2-(\frac{48}{5})^2}=\frac{36}{5}$。
$\frac{36}{5}$
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=10，BC=12，
∴由等腰三角形三线合一可得：BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=6。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 12 × 8=48$。
又∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BP$，
∴$\frac{1}{2} × 10 × BP=48$，解得$BP=\frac{48}{5}$。
在Rt△BPC中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{BC^2-BP^2}=\sqrt{12^2-(\frac{48}{5})^2}=\frac{36}{5}$。
$\frac{36}{5}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要确定BP长度最小时的位置：根据垂线段最短的性质，点B到直线AC的最短距离是垂线段的长度，因此当BP⊥AC时，BP最小。接下来求PC的长度，此时△BPC是直角三角形，已知BC的长度，只需要求出BP的长度就可以用勾股定理计算PC。求BP时可利用△ABC面积的两种计算方法：首先利用等腰三角形三线合一的性质作出底边上的高AD，用勾股定理算出AD的长度得到△ABC的面积，再用AC为底、BP为高表示面积，列方程求出BP，最后代入勾股定理计算PC即可。
【解析】
当BP⊥AC时，BP的长度最小（垂线段最短）。
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=10，BC=12，
∴由等腰三角形三线合一可得：BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=6。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
△ABC的面积为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 12 × 8=48$。
又
∵△ABC的面积也可以表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BP$，
∴$\frac{1}{2} × 10 × BP=48$，解得$BP=\frac{48}{5}$。
在Rt△BPC中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{BC^2-BP^2}=\sqrt{12^2-(\frac{48}{5})^2}=\sqrt{\frac{3600-2304}{25}}=\sqrt{\frac{1296}{25}}=\frac{36}{5}$。
【答案】
$\frac{36}{5}$
【知识点】
垂线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题型，解题核心是先利用垂线段最短确定动点位置，再结合等腰三角形性质和面积法求出未知线段长度，最后用勾股定理得到结果，能较好考查学生对几何基本性质的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要确定BP长度最小时的位置：根据垂线段最短的性质，点B到直线AC的最短距离是垂线段的长度，因此当BP⊥AC时，BP最小。接下来求PC的长度，此时△BPC是直角三角形，已知BC的长度，只需要求出BP的长度就可以用勾股定理计算PC。求BP时可利用△ABC面积的两种计算方法：首先利用等腰三角形三线合一的性质作出底边上的高AD，用勾股定理算出AD的长度得到△ABC的面积，再用AC为底、BP为高表示面积，列方程求出BP，最后代入勾股定理计算PC即可。
【解析】
当BP⊥AC时，BP的长度最小（垂线段最短）。
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=10，BC=12，
∴由等腰三角形三线合一可得：BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=6。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
△ABC的面积为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 12 × 8=48$。
又
∵△ABC的面积也可以表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BP$，
∴$\frac{1}{2} × 10 × BP=48$，解得$BP=\frac{48}{5}$。
在Rt△BPC中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{BC^2-BP^2}=\sqrt{12^2-(\frac{48}{5})^2}=\sqrt{\frac{3600-2304}{25}}=\sqrt{\frac{1296}{25}}=\frac{36}{5}$。
【答案】
$\frac{36}{5}$
【知识点】
垂线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题型，解题核心是先利用垂线段最短确定动点位置，再结合等腰三角形性质和面积法求出未知线段长度，最后用勾股定理得到结果，能较好考查学生对几何基本性质的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.6
15. (2026·河南)如图12,在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=6$,$CD$是角平分线.点$E$为边$BC$上一点,连接$AE$,交$CD$于点$F$,连接$BF$.若$AE=2\sqrt{5}$,则$BF$的长为.
答案
$\boldsymbol{\dfrac{10\sqrt{2}}{3}}$
解析
【分析】
本题是等腰三角形背景下的线段长度计算问题，可采用数形结合的坐标法求解：①首先利用等腰三角形三线合一的性质，作底边上的高建立平面直角坐标系，确定A、B、C三点坐标；②根据AE的长度，结合勾股定理求出点E的坐标；③利用角平分线定理求出CD上点D的坐标，进而得到CD的直线解析式，再求出AE的直线解析式，联立两个解析式得到交点F的坐标；④最后用勾股定理计算BF的长度即可。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：设点$ B(0,0) $，$ C(6,0) $，过点$ A $作$ AM ⊥ BC $于点$ M $。
因为$ AB=AC=5 $，由等腰三角形三线合一得$ M $为$ BC $中点，故$ M(3,0) $。
由勾股定理得$ AM=\sqrt{AB^2 - BM^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4 $，因此点$ A $坐标为$ (3,4) $。
2. 求点$ E $坐标：设$ E(e,0) $，已知$ AE=2\sqrt{5} $，由勾股定理得：
$ (e-3)^2 + (0-4)^2=(2\sqrt{5})^2 $
化简得$ (e-3)^2=4 $，解得$ e=1 $或$ e=5 $，结合图形位置可知$ E $靠近点$ C $，故$ E(5,0) $。
3. 求直线$ CD $的解析式：$ CD $是$ ∠ ACB $的平分线，交$ AB $于点$ D $，由角平分线定理得$ \frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{6} $。
线段$ AB $上的点可表示为$ (3t,4t) $（$ t $为参数），由$ DB=5×\frac{6}{5+6}=\frac{30}{11} $，得$ 5t=\frac{30}{11} $，即$ t=\frac{6}{11} $，因此$ D(\frac{18}{11},\frac{24}{11}) $。
直线$ CD $的斜率$ k_{CD}=\frac{\frac{24}{11}-0}{\frac{18}{11}-6}=-\frac{1}{2} $，代入点$ C(6,0) $得解析式：$ y=-\frac{1}{2}(x-6) $，即$ y=-\frac{1}{2}x + 3 $。
4. 求直线$ AE $的解析式：点$ A(3,4) $、$ E(5,0) $，斜率$ k_{AE}=\frac{0-4}{5-3}=-2 $，代入点$ A $得解析式：$ y-4=-2(x-3) $，即$ y=-2x + 10 $。
5. 求交点$ F $坐标：联立两个直线解析式：
$ \begin{cases} y=-\frac{1}{2}x + 3 \\ y=-2x + 10 \end{cases} $
解得$ x=\frac{14}{3} $，$ y=\frac{2}{3} $，即$ F(\frac{14}{3},\frac{2}{3}) $。
6. 计算$ BF $长度：由勾股定理得：
$ BF=\sqrt{(\frac{14}{3}-0)^2 + (\frac{2}{3}-0)^2}=\sqrt{\frac{196 + 4}{9}}=\sqrt{\frac{200}{9}}=\frac{10\sqrt{2}}{3} $
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{10\sqrt{2}}{3}}$
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线定理；勾股定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、角平分线、一次函数与勾股定理的应用，解题核心是通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为代数运算，能够有效锻炼学生数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.4
本题是等腰三角形背景下的线段长度计算问题，可采用数形结合的坐标法求解：①首先利用等腰三角形三线合一的性质，作底边上的高建立平面直角坐标系，确定A、B、C三点坐标；②根据AE的长度，结合勾股定理求出点E的坐标；③利用角平分线定理求出CD上点D的坐标，进而得到CD的直线解析式，再求出AE的直线解析式，联立两个解析式得到交点F的坐标；④最后用勾股定理计算BF的长度即可。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：设点$ B(0,0) $，$ C(6,0) $，过点$ A $作$ AM ⊥ BC $于点$ M $。
因为$ AB=AC=5 $，由等腰三角形三线合一得$ M $为$ BC $中点，故$ M(3,0) $。
由勾股定理得$ AM=\sqrt{AB^2 - BM^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4 $，因此点$ A $坐标为$ (3,4) $。
2. 求点$ E $坐标：设$ E(e,0) $，已知$ AE=2\sqrt{5} $，由勾股定理得：
$ (e-3)^2 + (0-4)^2=(2\sqrt{5})^2 $
化简得$ (e-3)^2=4 $，解得$ e=1 $或$ e=5 $，结合图形位置可知$ E $靠近点$ C $，故$ E(5,0) $。
3. 求直线$ CD $的解析式：$ CD $是$ ∠ ACB $的平分线，交$ AB $于点$ D $，由角平分线定理得$ \frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{6} $。
线段$ AB $上的点可表示为$ (3t,4t) $（$ t $为参数），由$ DB=5×\frac{6}{5+6}=\frac{30}{11} $，得$ 5t=\frac{30}{11} $，即$ t=\frac{6}{11} $，因此$ D(\frac{18}{11},\frac{24}{11}) $。
直线$ CD $的斜率$ k_{CD}=\frac{\frac{24}{11}-0}{\frac{18}{11}-6}=-\frac{1}{2} $，代入点$ C(6,0) $得解析式：$ y=-\frac{1}{2}(x-6) $，即$ y=-\frac{1}{2}x + 3 $。
4. 求直线$ AE $的解析式：点$ A(3,4) $、$ E(5,0) $，斜率$ k_{AE}=\frac{0-4}{5-3}=-2 $，代入点$ A $得解析式：$ y-4=-2(x-3) $，即$ y=-2x + 10 $。
5. 求交点$ F $坐标：联立两个直线解析式：
$ \begin{cases} y=-\frac{1}{2}x + 3 \\ y=-2x + 10 \end{cases} $
解得$ x=\frac{14}{3} $，$ y=\frac{2}{3} $，即$ F(\frac{14}{3},\frac{2}{3}) $。
6. 计算$ BF $长度：由勾股定理得：
$ BF=\sqrt{(\frac{14}{3}-0)^2 + (\frac{2}{3}-0)^2}=\sqrt{\frac{196 + 4}{9}}=\sqrt{\frac{200}{9}}=\frac{10\sqrt{2}}{3} $
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{10\sqrt{2}}{3}}$
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线定理；勾股定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、角平分线、一次函数与勾股定理的应用，解题核心是通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为代数运算，能够有效锻炼学生数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.4
三、解答题(共75分)
16.(8分)如图13,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,以格点为顶点分别按下列要求画图形.
(1)在图13①中,画一个等腰三角形(不含直角),使它的面积为8;
(2)在图13②中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;
(3)在图13③中,画一个正方形,使它的面积为10.
16.(8分)如图13,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,以格点为顶点分别按下列要求画图形.
(1)在图13①中,画一个等腰三角形(不含直角),使它的面积为8;
(2)在图13②中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;
(3)在图13③中,画一个正方形,使它的面积为10.
答案
解：
(1) 在图①中，构造底边长为4，高为4的格点等腰三角形，此时三角形面积为$\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$，该三角形不含直角，符合要求。
(2) 在图②中，构造两直角边长分别为3和4的格点直角三角形，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$，三边长3、4、5均为有理数，符合要求。
(3) 在图③中，取长度为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$的线段为正方形的边，依次画出四条两两垂直、长度均为$\sqrt{10}$的格点连线，得到的正方形面积为$(\sqrt{10})^2=10$，符合要求。
注：上述构造均为符合条件的示例，答案不唯一，满足对应要求的格点图形均正确。
(1) 在图①中，构造底边长为4，高为4的格点等腰三角形，此时三角形面积为$\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$，该三角形不含直角，符合要求。
(2) 在图②中，构造两直角边长分别为3和4的格点直角三角形，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$，三边长3、4、5均为有理数，符合要求。
(3) 在图③中，取长度为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$的线段为正方形的边，依次画出四条两两垂直、长度均为$\sqrt{10}$的格点连线，得到的正方形面积为$(\sqrt{10})^2=10$，符合要求。
注：上述构造均为符合条件的示例，答案不唯一，满足对应要求的格点图形均正确。
解析
【分析】
本题为格点开放性作图题，可结合图形性质、面积公式和勾股定理逐步推导：
(1) 要作面积为8的非直角等腰三角形，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得底×高=16，选取整数值的底和高（如底为4、高为4），将顶点放在底边的垂直平分线上即可得到等腰三角形，调整顶点位置保证无直角即可；
(2) 要作三边长均为有理数的直角三角形，可选用常见的整数勾股数，如3、4、5，两直角边取3和4，斜边即为5，三边长均为有理数，符合要求；
(3) 要作面积为10的正方形，可知正方形边长为$\sqrt{10}$，由勾股定理，直角边为1和3的直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，找到该长度的格点线段后，依次作四条两两垂直、长度相等的线段即可得到所求正方形。
【解析】
(1) 在图①中，取水平方向长度为4的格点线段为底，在底边的垂直平分线上取距离底边高为4的格点作为顶点，连接三个顶点得到等腰三角形，此时面积为$\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$，调整顶点位置使三角形不含直角，符合要求；
(2) 在图②中，取水平方向长度为3的格点线段、竖直方向长度为4的格点线段作为直角三角形的两条直角边，连接两端点得到斜边，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$，三边长3、4、5均为有理数，符合要求；
(3) 在图③中，先构造直角边为1和3的格点直角三角形，取其斜边（长度为$\sqrt{10}$）作为正方形的边，依次作出四条两两垂直、长度均为$\sqrt{10}$的格点线段，围成的正方形面积为$(\sqrt{10})^2=10$，符合要求。
注：本题答案不唯一，满足对应要求的格点图形均正确。
【答案】
(1) 底为4、高为4的非直角等腰三角形（画法不唯一）；
(2) 三边长为3、4、5的直角三角形（画法不唯一）；
(3) 边长为$\sqrt{10}$的正方形（画法不唯一）。
【知识点】
勾股定理应用，格点作图，面积计算
【点评】
本题属于开放性作图题，结合网格特点考察对勾股定理、常见图形面积公式的掌握，解题时可先根据要求推导对应线段的长度，再结合网格特点寻找符合条件的格点，解法灵活多样。
【难度系数】
0.8
本题为格点开放性作图题，可结合图形性质、面积公式和勾股定理逐步推导：
(1) 要作面积为8的非直角等腰三角形，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得底×高=16，选取整数值的底和高（如底为4、高为4），将顶点放在底边的垂直平分线上即可得到等腰三角形，调整顶点位置保证无直角即可；
(2) 要作三边长均为有理数的直角三角形，可选用常见的整数勾股数，如3、4、5，两直角边取3和4，斜边即为5，三边长均为有理数，符合要求；
(3) 要作面积为10的正方形，可知正方形边长为$\sqrt{10}$，由勾股定理，直角边为1和3的直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，找到该长度的格点线段后，依次作四条两两垂直、长度相等的线段即可得到所求正方形。
【解析】
(1) 在图①中，取水平方向长度为4的格点线段为底，在底边的垂直平分线上取距离底边高为4的格点作为顶点，连接三个顶点得到等腰三角形，此时面积为$\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$，调整顶点位置使三角形不含直角，符合要求；
(2) 在图②中，取水平方向长度为3的格点线段、竖直方向长度为4的格点线段作为直角三角形的两条直角边，连接两端点得到斜边，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$，三边长3、4、5均为有理数，符合要求；
(3) 在图③中，先构造直角边为1和3的格点直角三角形，取其斜边（长度为$\sqrt{10}$）作为正方形的边，依次作出四条两两垂直、长度均为$\sqrt{10}$的格点线段，围成的正方形面积为$(\sqrt{10})^2=10$，符合要求。
注：本题答案不唯一，满足对应要求的格点图形均正确。
【答案】
(1) 底为4、高为4的非直角等腰三角形（画法不唯一）；
(2) 三边长为3、4、5的直角三角形（画法不唯一）；
(3) 边长为$\sqrt{10}$的正方形（画法不唯一）。
【知识点】
勾股定理应用，格点作图，面积计算
【点评】
本题属于开放性作图题，结合网格特点考察对勾股定理、常见图形面积公式的掌握，解题时可先根据要求推导对应线段的长度，再结合网格特点寻找符合条件的格点，解法灵活多样。
【难度系数】
0.8
17. (9分)如图14,为修铁路需要凿通隧道AC,测得∠A+∠B=90°,AB=5 km,BC=4 km. 若每天凿0.2 km,则需要几天才能把隧道AC凿通？
答案
解：
∵ ∠A + ∠B = 90°，
∴ ∠ACB = 180° - (∠A + ∠B) = 90°，
∴ △ABC是直角三角形。
由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
代入$AB=5\ \mathrm{km}$，$BC=4\ \mathrm{km}$，
得$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3\ (\mathrm{km})$。
所需天数为 $3 ÷ 0.2 = 15$ (天)。
答：需要15天才能把隧道AC凿通。
∵ ∠A + ∠B = 90°，
∴ ∠ACB = 180° - (∠A + ∠B) = 90°，
∴ △ABC是直角三角形。
由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
代入$AB=5\ \mathrm{km}$，$BC=4\ \mathrm{km}$，
得$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3\ (\mathrm{km})$。
所需天数为 $3 ÷ 0.2 = 15$ (天)。
答：需要15天才能把隧道AC凿通。
解析
【分析】
首先根据已知的∠A+∠B=90°，结合三角形内角和为180°，可判断出△ABC是直角三角形，∠ACB为直角；接下来已知直角三角形的斜边AB和直角边BC的长度，利用勾股定理即可求出AC的长度；最后用AC的总长度除以每天开凿的长度，就能得到凿通隧道需要的总天数。
【解析】
∵ ∠A + ∠B = 90°，
∴ ∠ACB = 180° - (∠A + ∠B) = 90°，
∴ △ABC是直角三角形。
由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
代入$AB=5\ \mathrm{km}$，$BC=4\ \mathrm{km}$，
得$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3\ (\mathrm{km})$。
所需天数为 $3 ÷ 0.2 = 15$ (天)。
答：需要15天才能把隧道AC凿通。
【答案】
15天
【知识点】
三角形内角和、勾股定理、工程问题计算
【点评】
本题是结合生活实际的几何应用题，将直角三角形的判定、勾股定理的应用和简单的工程计算结合起来，注重考察基础知识点的综合运用能力，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85
首先根据已知的∠A+∠B=90°，结合三角形内角和为180°，可判断出△ABC是直角三角形，∠ACB为直角；接下来已知直角三角形的斜边AB和直角边BC的长度，利用勾股定理即可求出AC的长度；最后用AC的总长度除以每天开凿的长度，就能得到凿通隧道需要的总天数。
【解析】
∵ ∠A + ∠B = 90°，
∴ ∠ACB = 180° - (∠A + ∠B) = 90°，
∴ △ABC是直角三角形。
由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
代入$AB=5\ \mathrm{km}$，$BC=4\ \mathrm{km}$，
得$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3\ (\mathrm{km})$。
所需天数为 $3 ÷ 0.2 = 15$ (天)。
答：需要15天才能把隧道AC凿通。
【答案】
15天
【知识点】
三角形内角和、勾股定理、工程问题计算
【点评】
本题是结合生活实际的几何应用题，将直角三角形的判定、勾股定理的应用和简单的工程计算结合起来，注重考察基础知识点的综合运用能力，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85
