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18. (9分)如图15,某游泳池长48 m,小方和小杨进行游泳比赛,从同一处(点A)出发,小方的平均速度为3 m/s,小杨的平均速度为3.1 m/s,但小杨一心图快,不看方向沿斜线(AC方向)游,而小方沿直线(AB方向)游,两人到达终点的位置相距14 m,按各自的平均速度计算,谁先到达终点?为什么?
答案
解：由题意可知，△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=48 m，BC=14 m。
根据勾股定理，得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 48^2 + 14^2 = 2304 + 196 = 2500$
$\therefore AC = \sqrt{2500} = 50\ (\mathrm{m})$
小方到达终点所需时间为：$48 ÷ 3 = 16\ (\mathrm{s})$
小杨到达终点所需时间为：$50 ÷ 3.1 \approx 16.13\ (\mathrm{s})$
$\because 16 ＜ 16.13$
$\therefore$ 小方先到达终点。
根据勾股定理，得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 48^2 + 14^2 = 2304 + 196 = 2500$
$\therefore AC = \sqrt{2500} = 50\ (\mathrm{m})$
小方到达终点所需时间为：$48 ÷ 3 = 16\ (\mathrm{s})$
小杨到达终点所需时间为：$50 ÷ 3.1 \approx 16.13\ (\mathrm{s})$
$\because 16 ＜ 16.13$
$\therefore$ 小方先到达终点。
解析
【分析】
要判断谁先到达终点，本质是比较两人的游泳用时，根据公式$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$，已知两人的平均速度，因此只需先求出两人的游泳路程：小方的游泳路程AB题目直接给出为48m；小杨的游泳路程AC是直角三角形ABC的斜边，已知直角边AB=48m、BC=14m，可通过勾股定理计算出AC的长度，再分别代入公式计算两人用时、比较大小即可得到结论。
【解析】
解：由题意可知$△ ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$，$AB=48\ \mathrm{m}$，$BC=14\ \mathrm{m}$。
根据勾股定理，得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 48^2 + 14^2 = 2304 + 196 = 2500$
$\therefore AC = \sqrt{2500} = 50\ (\mathrm{m})$
小方到达终点所需时间为：$48 ÷ 3 = 16\ (\mathrm{s})$
小杨到达终点所需时间为：$50 ÷ 3.1 \approx 16.13\ (\mathrm{s})$
$\because 16 ＜ 16.13$，小方用时更短
$\therefore$小方先到达终点。
【答案】
小方先到达终点
【知识点】
勾股定理的应用，行程问题计算，实数大小比较
【点评】
本题结合实际生活场景，将几何知识和行程问题融合考查，解题的关键是能将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理求解未知边长，整体解题逻辑清晰，侧重对基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要判断谁先到达终点，本质是比较两人的游泳用时，根据公式$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$，已知两人的平均速度，因此只需先求出两人的游泳路程：小方的游泳路程AB题目直接给出为48m；小杨的游泳路程AC是直角三角形ABC的斜边，已知直角边AB=48m、BC=14m，可通过勾股定理计算出AC的长度，再分别代入公式计算两人用时、比较大小即可得到结论。
【解析】
解：由题意可知$△ ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$，$AB=48\ \mathrm{m}$，$BC=14\ \mathrm{m}$。
根据勾股定理，得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 48^2 + 14^2 = 2304 + 196 = 2500$
$\therefore AC = \sqrt{2500} = 50\ (\mathrm{m})$
小方到达终点所需时间为：$48 ÷ 3 = 16\ (\mathrm{s})$
小杨到达终点所需时间为：$50 ÷ 3.1 \approx 16.13\ (\mathrm{s})$
$\because 16 ＜ 16.13$，小方用时更短
$\therefore$小方先到达终点。
【答案】
小方先到达终点
【知识点】
勾股定理的应用，行程问题计算，实数大小比较
【点评】
本题结合实际生活场景，将几何知识和行程问题融合考查，解题的关键是能将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理求解未知边长，整体解题逻辑清晰，侧重对基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
19.(9分)公路旁有一块山地正在开发,现在点C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300 m,与公路上另一停靠站B的距离为400 m,且$CA ⊥ CB$,如图16.为了安全起见,爆破点C周围半径250 m范围内不得进入,问:在进行爆破时,公路AB段是否有危险?是否需要暂时封锁?请通过计算进行说明.
答案
解：过点C作CD⊥AB于点D。
∵ CA⊥CB，
∴ ∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AC=300 m，BC=400 m，
由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 300^2 + 400^2 = 250000$，
∴ AB = 500 m。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$，
∴ $AC · BC = AB · CD$，
即 $300 × 400 = 500 × CD$，
解得 CD = 240 m。
∵ 240 ＜ 250，
∴ 点C到公路AB段的距离小于爆破危险半径250 m，公路AB段有危险，需要暂时封锁。
∵ CA⊥CB，
∴ ∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AC=300 m，BC=400 m，
由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 300^2 + 400^2 = 250000$，
∴ AB = 500 m。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$，
∴ $AC · BC = AB · CD$，
即 $300 × 400 = 500 × CD$，
解得 CD = 240 m。
∵ 240 ＜ 250，
∴ 点C到公路AB段的距离小于爆破危险半径250 m，公路AB段有危险，需要暂时封锁。
解析
【分析】
要判断公路AB段是否需要封锁，本质是求爆破点C到直线AB的最短距离，再将该距离与250m的危险半径比较：若距离小于250m则有危险，需要封锁，反之则无危险。解题时先结合已知的直角三角形两条直角边的长度，用勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法（两条直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），求出斜边上的高，也就是点C到AB的最短距离，最后和250m对比即可得到结论。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D。
∵ CA⊥CB，
∴ ∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AC=300 m，BC=400 m，
由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 300^2 + 400^2 = 250000$，
∴ AB = 500 m。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$，
∴ $AC · BC = AB · CD$，
即 $300 × 400 = 500 × CD$，
解得 CD = 240 m。
∵ 240 ＜ 250，
∴ 点C到公路AB段的距离小于爆破危险半径250 m，公路AB段有危险，需要暂时封锁。
【答案】
公路AB段有危险，需要暂时封锁。
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；点到直线的距离
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用类题型，解题核心是将实际问题转化为比较点到直线距离和危险半径大小的数学问题，考查了学生建立数学模型解决实际问题的能力，其中用面积法求直角三角形斜边上的高是几何题中非常常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
要判断公路AB段是否需要封锁，本质是求爆破点C到直线AB的最短距离，再将该距离与250m的危险半径比较：若距离小于250m则有危险，需要封锁，反之则无危险。解题时先结合已知的直角三角形两条直角边的长度，用勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法（两条直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），求出斜边上的高，也就是点C到AB的最短距离，最后和250m对比即可得到结论。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D。
∵ CA⊥CB，
∴ ∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AC=300 m，BC=400 m，
由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 300^2 + 400^2 = 250000$，
∴ AB = 500 m。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$，
∴ $AC · BC = AB · CD$，
即 $300 × 400 = 500 × CD$，
解得 CD = 240 m。
∵ 240 ＜ 250，
∴ 点C到公路AB段的距离小于爆破危险半径250 m，公路AB段有危险，需要暂时封锁。
【答案】
公路AB段有危险，需要暂时封锁。
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；点到直线的距离
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用类题型，解题核心是将实际问题转化为比较点到直线距离和危险半径大小的数学问题，考查了学生建立数学模型解决实际问题的能力，其中用面积法求直角三角形斜边上的高是几何题中非常常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
20. (9分)如图17,某小区有两个喷泉A、B,两个喷泉的距离为250 m.现要为喷泉铺设供水管道AM、BM,供水点M在小路AC上,供水点M到AB的距离MN的长为120 m,BM的长为150 m.
(1)求供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长；
(2)求喷泉B到小路AC的最短距离.
(1)求供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长；
(2)求喷泉B到小路AC的最短距离.
答案
解：(1) 由题意知，$MN ⊥ AB$，即$∠ MNA = ∠ MNB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ MNB$中，$BM=150\ \mathrm{m}$，$MN=120\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$BN = \sqrt{BM^2 - MN^2} = \sqrt{150^2 - 120^2} = 90\ \mathrm{m}$
$\because AB=250\ \mathrm{m}$，
$\therefore AN = AB - BN = 250 - 90 = 160\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AMN$中，由勾股定理得：
$AM = \sqrt{AN^2 + MN^2} = \sqrt{160^2 + 120^2} = 200\ \mathrm{m}$
$\therefore$ 管道总长 $AM + BM = 200 + 150 = 350\ \mathrm{m}$。
(2) 在$△ ABM$中，$AM=200\ \mathrm{m}$，$BM=150\ \mathrm{m}$，$AB=250\ \mathrm{m}$，
$\because AM^2 + BM^2 = 200^2 + 150^2 = 62500$，$AB^2 = 250^2 = 62500$，
$\therefore AM^2 + BM^2 = AB^2$，
由勾股定理的逆定理得$△ ABM$是直角三角形，且$∠ AMB=90°$，即$BM ⊥ AC$。
根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，可知喷泉B到小路AC的最短距离为$BM$的长。
答：(1) 供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长为$350\ \mathrm{m}$；(2) 喷泉B到小路AC的最短距离为$150\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ MNB$中，$BM=150\ \mathrm{m}$，$MN=120\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$BN = \sqrt{BM^2 - MN^2} = \sqrt{150^2 - 120^2} = 90\ \mathrm{m}$
$\because AB=250\ \mathrm{m}$，
$\therefore AN = AB - BN = 250 - 90 = 160\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AMN$中，由勾股定理得：
$AM = \sqrt{AN^2 + MN^2} = \sqrt{160^2 + 120^2} = 200\ \mathrm{m}$
$\therefore$ 管道总长 $AM + BM = 200 + 150 = 350\ \mathrm{m}$。
(2) 在$△ ABM$中，$AM=200\ \mathrm{m}$，$BM=150\ \mathrm{m}$，$AB=250\ \mathrm{m}$，
$\because AM^2 + BM^2 = 200^2 + 150^2 = 62500$，$AB^2 = 250^2 = 62500$，
$\therefore AM^2 + BM^2 = AB^2$，
由勾股定理的逆定理得$△ ABM$是直角三角形，且$∠ AMB=90°$，即$BM ⊥ AC$。
根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，可知喷泉B到小路AC的最短距离为$BM$的长。
答：(1) 供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长为$350\ \mathrm{m}$；(2) 喷泉B到小路AC的最短距离为$150\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 要计算供水点M到A、B的管道总长，即求AM+BM的和，已知BM的长度，只需先求出AM的长度即可。首先由MN⊥AB可得△MNB和△AMN都是直角三角形，先在Rt△MNB中用勾股定理算出BN的长度，再结合AB的总长度求出AN的长度，之后在Rt△AMN中用勾股定理算出AM的长度，最后将AM和BM相加即可得到总长。
(2) 点到直线的最短距离是垂线段的长度，因此需要判断BM是否垂直AC：先整理出△ABM的三边长度，用勾股定理的逆定理验证△ABM是直角三角形，且直角为∠AMB，即可得到BM⊥AC，因此BM的长度就是B到AC的最短距离。
【解析】
(1) 由题意知$MN ⊥ AB$，即$∠ MNA = ∠ MNB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ MNB$中，$BM=150\ \mathrm{m}$，$MN=120\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$BN = \sqrt{BM^2 - MN^2} = \sqrt{150^2 - 120^2} = 90\ \mathrm{m}$
$\because AB=250\ \mathrm{m}$，
$\therefore AN = AB - BN = 250 - 90 = 160\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AMN$中，由勾股定理得：
$AM = \sqrt{AN^2 + MN^2} = \sqrt{160^2 + 120^2} = 200\ \mathrm{m}$
$\therefore$ 管道总长 $AM + BM = 200 + 150 = 350\ \mathrm{m}$。
(2) 在$△ ABM$中，$AM=200\ \mathrm{m}$，$BM=150\ \mathrm{m}$，$AB=250\ \mathrm{m}$，
$\because AM^2 + BM^2 = 200^2 + 150^2 = 62500$，$AB^2 = 250^2 = 62500$，
$\therefore AM^2 + BM^2 = AB^2$，
由勾股定理的逆定理得$△ ABM$是直角三角形，且$∠ AMB=90°$，即$BM ⊥ AC$。
根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，可知喷泉B到小路AC的最短距离为$BM$的长，即$150\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boxed{350\ \mathrm{m}}$；(2) $\boxed{150\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，需要熟练掌握勾股定理及其逆定理的使用条件，同时牢记点到直线的最短距离为垂线段长度的性质，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 要计算供水点M到A、B的管道总长，即求AM+BM的和，已知BM的长度，只需先求出AM的长度即可。首先由MN⊥AB可得△MNB和△AMN都是直角三角形，先在Rt△MNB中用勾股定理算出BN的长度，再结合AB的总长度求出AN的长度，之后在Rt△AMN中用勾股定理算出AM的长度，最后将AM和BM相加即可得到总长。
(2) 点到直线的最短距离是垂线段的长度，因此需要判断BM是否垂直AC：先整理出△ABM的三边长度，用勾股定理的逆定理验证△ABM是直角三角形，且直角为∠AMB，即可得到BM⊥AC，因此BM的长度就是B到AC的最短距离。
【解析】
(1) 由题意知$MN ⊥ AB$，即$∠ MNA = ∠ MNB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ MNB$中，$BM=150\ \mathrm{m}$，$MN=120\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$BN = \sqrt{BM^2 - MN^2} = \sqrt{150^2 - 120^2} = 90\ \mathrm{m}$
$\because AB=250\ \mathrm{m}$，
$\therefore AN = AB - BN = 250 - 90 = 160\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AMN$中，由勾股定理得：
$AM = \sqrt{AN^2 + MN^2} = \sqrt{160^2 + 120^2} = 200\ \mathrm{m}$
$\therefore$ 管道总长 $AM + BM = 200 + 150 = 350\ \mathrm{m}$。
(2) 在$△ ABM$中，$AM=200\ \mathrm{m}$，$BM=150\ \mathrm{m}$，$AB=250\ \mathrm{m}$，
$\because AM^2 + BM^2 = 200^2 + 150^2 = 62500$，$AB^2 = 250^2 = 62500$，
$\therefore AM^2 + BM^2 = AB^2$，
由勾股定理的逆定理得$△ ABM$是直角三角形，且$∠ AMB=90°$，即$BM ⊥ AC$。
根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，可知喷泉B到小路AC的最短距离为$BM$的长，即$150\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boxed{350\ \mathrm{m}}$；(2) $\boxed{150\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，需要熟练掌握勾股定理及其逆定理的使用条件，同时牢记点到直线的最短距离为垂线段长度的性质，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
