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21. (10分)观察图18所示图形,每个小正方形的边长为1.
(1)图18中阴影正方形的面积是,边长是;
(2)请用无刻度的直尺和圆规在图19的数轴上作出点M,使得点M表示的数为$\sqrt{13}$(保留作图痕迹,不写作法).
(1)图18中阴影正方形的面积是,边长是;
(2)请用无刻度的直尺和圆规在图19的数轴上作出点M,使得点M表示的数为$\sqrt{13}$(保留作图痕迹,不写作法).
答案
(1) $\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{\sqrt{10}}$；
(2) 按上述要求作出的点M即为所求。
(2) 按上述要求作出的点M即为所求。
解析
【分析】
(1) 求解网格中斜置阴影正方形的面积可采用割补法：先计算包围阴影正方形的外围大正方形的面积，再减去周围4个空白直角三角形的面积，即可得到阴影正方形的面积；再根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为边长），对面积取算术平方根即可得到边长。
(2) 要在数轴上作出表示$\sqrt{13}$的点，利用勾股定理可知，直角边长度分别为2和3的直角三角形的斜边长为$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，因此先构造该直角三角形得到长度为$\sqrt{13}$的线段，再以数轴原点为圆心、该线段长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为所求点$M$。
【解析】
(1) 观察网格可得，包围阴影正方形的外围大正方形的边长为4，面积为$4×4=16$；
阴影周围的4个空白直角三角形全等，每个直角三角形的两条直角边分别为1和3，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，4个三角形总面积为$4×\frac{3}{2}=6$；
因此阴影正方形的面积为$16-6=10$；
设阴影正方形边长为$a$，由正方形面积公式得$a^2=10$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{10}$。
(2) 构造直角边分别为2和3的直角三角形，得斜边长为$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，以数轴原点为圆心，该斜边长为半径画弧，交数轴正半轴于点$M$，点$M$即为所求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{\sqrt{10}}$；
(2) 按要求作出的点$M$即为所求。
【知识点】
割补法求面积，勾股定理，实数与数轴的对应
【点评】
本题考查网格中图形面积的计算、勾股定理的应用以及无理数在数轴上的表示，解题关键是熟练掌握割补法的使用，以及利用勾股定理构造对应长度的线段，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.75
(1) 求解网格中斜置阴影正方形的面积可采用割补法：先计算包围阴影正方形的外围大正方形的面积，再减去周围4个空白直角三角形的面积，即可得到阴影正方形的面积；再根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为边长），对面积取算术平方根即可得到边长。
(2) 要在数轴上作出表示$\sqrt{13}$的点，利用勾股定理可知，直角边长度分别为2和3的直角三角形的斜边长为$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，因此先构造该直角三角形得到长度为$\sqrt{13}$的线段，再以数轴原点为圆心、该线段长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为所求点$M$。
【解析】
(1) 观察网格可得，包围阴影正方形的外围大正方形的边长为4，面积为$4×4=16$；
阴影周围的4个空白直角三角形全等，每个直角三角形的两条直角边分别为1和3，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，4个三角形总面积为$4×\frac{3}{2}=6$；
因此阴影正方形的面积为$16-6=10$；
设阴影正方形边长为$a$，由正方形面积公式得$a^2=10$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{10}$。
(2) 构造直角边分别为2和3的直角三角形，得斜边长为$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，以数轴原点为圆心，该斜边长为半径画弧，交数轴正半轴于点$M$，点$M$即为所求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{\sqrt{10}}$；
(2) 按要求作出的点$M$即为所求。
【知识点】
割补法求面积，勾股定理，实数与数轴的对应
【点评】
本题考查网格中图形面积的计算、勾股定理的应用以及无理数在数轴上的表示，解题关键是熟练掌握割补法的使用，以及利用勾股定理构造对应长度的线段，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.75
22. (10分)如图20,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$AC=3\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$B$出发沿射线$BC$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)求$BC$边的长；
(2)当$△ ABP$为直角三角形时,求$t$的值.
(1)求$BC$边的长；
(2)当$△ ABP$为直角三角形时,求$t$的值.
答案
解：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$BC^2 = AB^2 - AC^2$
$\because AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$
$\therefore BC^2 = 5^2 - 3^2 = 16$
$\therefore BC = 4\ \mathrm{cm}$
(2) 由题意得$BP = t\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 当$∠ APB = 90°$时，点$P$与点$C$重合，此时$BP=BC=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore t=4$；
② 当$∠ BAP = 90°$时，点$P$在$BC$的延长线上，$CP=(t-4)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACP$中，$AP^2 = AC^2 + CP^2 = 3^2 + (t-4)^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BAP$中，由勾股定理得$AB^2 + AP^2 = BP^2$，
代入得：$5^2 + 3^2 + (t-4)^2 = t^2$，
整理得：$50 - 8t = 0$，
解得：$t=\frac{25}{4}$。
综上，$t$的值为$4$或$\frac{25}{4}$。
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$BC^2 = AB^2 - AC^2$
$\because AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$
$\therefore BC^2 = 5^2 - 3^2 = 16$
$\therefore BC = 4\ \mathrm{cm}$
(2) 由题意得$BP = t\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 当$∠ APB = 90°$时，点$P$与点$C$重合，此时$BP=BC=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore t=4$；
② 当$∠ BAP = 90°$时，点$P$在$BC$的延长线上，$CP=(t-4)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACP$中，$AP^2 = AC^2 + CP^2 = 3^2 + (t-4)^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BAP$中，由勾股定理得$AB^2 + AP^2 = BP^2$，
代入得：$5^2 + 3^2 + (t-4)^2 = t^2$，
整理得：$50 - 8t = 0$，
解得：$t=\frac{25}{4}$。
综上，$t$的值为$4$或$\frac{25}{4}$。
解析
【分析】
(1) 第一问已知Rt△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，给出了斜边AB和直角边AC的长度，直接利用勾股定理变形即可求出BC的长度。
(2) 第二问△ABP为直角三角形，未明确直角顶点，需分类讨论：①直角顶点为P，此时∠APB=90°，结合原图∠C为直角，可知P与C重合，直接得到BP长度即可求t；②直角顶点为A，此时∠BAP=90°，P在BC延长线上，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示AP²，列方程求解t即可，注意排除∠B为直角的不可能情况。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$BC^2 = AB^2 - AC^2$
$\because AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$
$\therefore BC^2 = 5^2 - 3^2 = 25-9=16$
$\because BC＞0$，$\therefore BC=4\ \mathrm{cm}$
(2) 由题意得动点P运动路程$BP = t\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 当$∠ APB = 90°$时，点$P$与点$C$重合，此时$BP=BC=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore t=4$；
② 当$∠ BAP = 90°$时，点$P$在$BC$的延长线上，$CP=(t-4)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACP$中，由勾股定理得$AP^2 = AC^2 + CP^2 = 3^2 + (t-4)^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BAP$中，由勾股定理得$AB^2 + AP^2 = BP^2$，
代入得：$5^2 + 3^2 + (t-4)^2 = t^2$，
整理得：$50 - 8t = 0$，
解得：$t=\frac{25}{4}$。
综上，$t$的值为$4$或$\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $BC=4\ \mathrm{cm}$；(2) $t$的值为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{\frac{25}{4}}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；动点问题求解
【点评】
本题是勾股定理与动点结合的典型题型，解题核心是对直角三角形的直角顶点分类讨论，避免漏解，结合勾股定理建立方程即可求解，解题时要注意动点沿射线运动的条件，不要忽略点在延长线上的情况。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问已知Rt△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，给出了斜边AB和直角边AC的长度，直接利用勾股定理变形即可求出BC的长度。
(2) 第二问△ABP为直角三角形，未明确直角顶点，需分类讨论：①直角顶点为P，此时∠APB=90°，结合原图∠C为直角，可知P与C重合，直接得到BP长度即可求t；②直角顶点为A，此时∠BAP=90°，P在BC延长线上，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示AP²，列方程求解t即可，注意排除∠B为直角的不可能情况。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$BC^2 = AB^2 - AC^2$
$\because AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$
$\therefore BC^2 = 5^2 - 3^2 = 25-9=16$
$\because BC＞0$，$\therefore BC=4\ \mathrm{cm}$
(2) 由题意得动点P运动路程$BP = t\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 当$∠ APB = 90°$时，点$P$与点$C$重合，此时$BP=BC=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore t=4$；
② 当$∠ BAP = 90°$时，点$P$在$BC$的延长线上，$CP=(t-4)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACP$中，由勾股定理得$AP^2 = AC^2 + CP^2 = 3^2 + (t-4)^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BAP$中，由勾股定理得$AB^2 + AP^2 = BP^2$，
代入得：$5^2 + 3^2 + (t-4)^2 = t^2$，
整理得：$50 - 8t = 0$，
解得：$t=\frac{25}{4}$。
综上，$t$的值为$4$或$\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $BC=4\ \mathrm{cm}$；(2) $t$的值为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{\frac{25}{4}}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；动点问题求解
【点评】
本题是勾股定理与动点结合的典型题型，解题核心是对直角三角形的直角顶点分类讨论，避免漏解，结合勾股定理建立方程即可求解，解题时要注意动点沿射线运动的条件，不要忽略点在延长线上的情况。
【难度系数】
0.6
