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23. (11分)小亮在学习完勾股定理的知识后,和星源数学社的其他成员进行了有关知识的探索. 请你根据他们的思路完成下列各项内容:
【问题解决】如图21①,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以其三边为边向外作正方形,若$S_1=25$,$S_2=7$,则$AC^2=$.
【变式探究】
(1)如图21②,若以△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形,$∠D=∠E=∠F=90°$,$AD=DC$,$CE=BE$,$AF=BF$,则$S_1$、$S_2$、$S_3$之间的关系为;
(2)如图21③,若分别以△ABC的三边为直径向外作半圆,则$S_1$、$S_2$、$S_3$之间的关系为;
(3)如图21④,小亮发现AB为直径的半圆刚好过点C,此时阴影部分的面积之和等于直角三角形ABC的面积,你认为正确吗?请说明理由.
【拓展应用】如图21⑤,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以它的三边向外作平行四边形,$QC// GS// TH$,直线QC交AB于点P,交GH于点N,且$QC=PN$.若平行四边形ABHG和平行四边形SQCA的面积分别为8和6,则平行四边形QTBC的面积为.
【问题解决】如图21①,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以其三边为边向外作正方形,若$S_1=25$,$S_2=7$,则$AC^2=$.
【变式探究】
(1)如图21②,若以△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形,$∠D=∠E=∠F=90°$,$AD=DC$,$CE=BE$,$AF=BF$,则$S_1$、$S_2$、$S_3$之间的关系为;
(2)如图21③,若分别以△ABC的三边为直径向外作半圆,则$S_1$、$S_2$、$S_3$之间的关系为;
(3)如图21④,小亮发现AB为直径的半圆刚好过点C,此时阴影部分的面积之和等于直角三角形ABC的面积,你认为正确吗?请说明理由.
【拓展应用】如图21⑤,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以它的三边向外作平行四边形,$QC// GS// TH$,直线QC交AB于点P,交GH于点N,且$QC=PN$.若平行四边形ABHG和平行四边形SQCA的面积分别为8和6,则平行四边形QTBC的面积为.
答案
解：
【问题解决】
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
由题意得$S_1=AB^2=25$，$S_2=BC^2=7$，
∴ $AC^2 = AB^2 - BC^2 = 25 - 7 = 18$。
【变式探究】
(1) 设等腰直角三角形斜边长为$x$，则其面积为$\frac{1}{2} · (\frac{x}{\sqrt{2}})^2 = \frac{x^2}{4}$，
∴ $S_1=\frac{AB^2}{4}$，$S_2=\frac{BC^2}{4}$，$S_3=\frac{AC^2}{4}$，
∵ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ $\frac{AC^2}{4} + \frac{BC^2}{4} = \frac{AB^2}{4}$，即$\boldsymbol{S_1 = S_2 + S_3}$。
(2) 由半圆面积公式得：$S_1=\frac{1}{2}π · (\frac{AB}{2})^2 = \frac{π AB^2}{8}$，$S_2=\frac{π BC^2}{8}$，$S_3=\frac{π AC^2}{8}$，
∵ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ $\frac{π AC^2}{8} + \frac{π BC^2}{8} = \frac{π AB^2}{8}$，即$\boldsymbol{S_1 = S_2 + S_3}$。
(3) 正确，理由如下：
阴影部分的面积 = 以AC为直径的半圆面积 + 以BC为直径的半圆面积 + $S_{△ ABC}$ - 以AB为直径的半圆面积
$= \frac{1}{2}π · (\frac{AC}{2})^2 + \frac{1}{2}π · (\frac{BC}{2})^2 + S_{△ ABC} - \frac{1}{2}π · (\frac{AB}{2})^2$
$= \frac{π}{8}(AC^2 + BC^2 - AB^2) + S_{△ ABC}$
∵ ∠ACB=90°，∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，即$AC^2 + BC^2 - AB^2=0$，
∴ 阴影部分的面积 = $S_{△ ABC}$，结论正确。
【拓展应用】
由题意得：$QC=PN$，$QC// GS// TH$，
∴ 平行四边形SQCA的面积 = 平行四边形APNG的面积 = 6，
平行四边形QTBC的面积 = 平行四边形PBHN的面积，
∵ $S_{ABHG} = S_{APNG} + S_{PBHN} = 8$，
∴ 平行四边形QTBC的面积 = $8 - 6 = 2$。
最终答案依次为：$\boldsymbol{18}$；$\boldsymbol{S_1=S_2+S_3}$；$\boldsymbol{S_1=S_2+S_3}$；正确，理由如上；$\boldsymbol{2}$。
【问题解决】
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
由题意得$S_1=AB^2=25$，$S_2=BC^2=7$，
∴ $AC^2 = AB^2 - BC^2 = 25 - 7 = 18$。
【变式探究】
(1) 设等腰直角三角形斜边长为$x$，则其面积为$\frac{1}{2} · (\frac{x}{\sqrt{2}})^2 = \frac{x^2}{4}$，
∴ $S_1=\frac{AB^2}{4}$，$S_2=\frac{BC^2}{4}$，$S_3=\frac{AC^2}{4}$，
∵ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ $\frac{AC^2}{4} + \frac{BC^2}{4} = \frac{AB^2}{4}$，即$\boldsymbol{S_1 = S_2 + S_3}$。
(2) 由半圆面积公式得：$S_1=\frac{1}{2}π · (\frac{AB}{2})^2 = \frac{π AB^2}{8}$，$S_2=\frac{π BC^2}{8}$，$S_3=\frac{π AC^2}{8}$，
∵ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ $\frac{π AC^2}{8} + \frac{π BC^2}{8} = \frac{π AB^2}{8}$，即$\boldsymbol{S_1 = S_2 + S_3}$。
(3) 正确，理由如下：
阴影部分的面积 = 以AC为直径的半圆面积 + 以BC为直径的半圆面积 + $S_{△ ABC}$ - 以AB为直径的半圆面积
$= \frac{1}{2}π · (\frac{AC}{2})^2 + \frac{1}{2}π · (\frac{BC}{2})^2 + S_{△ ABC} - \frac{1}{2}π · (\frac{AB}{2})^2$
$= \frac{π}{8}(AC^2 + BC^2 - AB^2) + S_{△ ABC}$
∵ ∠ACB=90°，∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，即$AC^2 + BC^2 - AB^2=0$，
∴ 阴影部分的面积 = $S_{△ ABC}$，结论正确。
【拓展应用】
由题意得：$QC=PN$，$QC// GS// TH$，
∴ 平行四边形SQCA的面积 = 平行四边形APNG的面积 = 6，
平行四边形QTBC的面积 = 平行四边形PBHN的面积，
∵ $S_{ABHG} = S_{APNG} + S_{PBHN} = 8$，
∴ 平行四边形QTBC的面积 = $8 - 6 = 2$。
最终答案依次为：$\boldsymbol{18}$；$\boldsymbol{S_1=S_2+S_3}$；$\boldsymbol{S_1=S_2+S_3}$；正确，理由如上；$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
本题围绕勾股定理展开系列探究，核心思路是将各外作图形的面积用直角△ABC的三边（AB、BC、AC）的平方表示，再结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$推导面积关系。解题时先根据对应图形的面积公式，建立$S_1、S_2、S_3$和三边长平方的联系，再代入勾股定理化简即可；拓展应用部分利用平行四边形同底等高面积相等的性质，将侧边平行四边形面积转化为底边AB上平行四边形的两部分面积，结合已知条件计算即可。
【解析】
问题解决
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
由正方形面积等于边长平方可知：$S_1=AB^2=25$，$S_2=BC^2=7$，
因此$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 25 - 7 = 18$。
变式探究
(1) 设等腰直角三角形斜边长为$x$，由等腰直角三角形性质得直角边长为$\frac{x}{\sqrt{2}}$，面积为$\frac{1}{2} × (\frac{x}{\sqrt{2}})^2 = \frac{x^2}{4}$。
因此$S_1=\frac{AB^2}{4}$，$S_2=\frac{BC^2}{4}$，$S_3=\frac{AC^2}{4}$。
结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，两边同时除以4得：$\frac{AC^2}{4} + \frac{BC^2}{4} = \frac{AB^2}{4}$，即$S_1=S_2+S_3$。
(2) 由半圆面积公式，直径为$d$的半圆面积为$\frac{1}{2} × π × (\frac{d}{2})^2 = \frac{π d^2}{8}$。
因此$S_1=\frac{π AB^2}{8}$，$S_2=\frac{π BC^2}{8}$，$S_3=\frac{π AC^2}{8}$。
结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，两边同时乘$\frac{π}{8}$得：$\frac{π AC^2}{8} + \frac{π BC^2}{8} = \frac{π AB^2}{8}$，即$S_1=S_2+S_3$。
(3) 结论正确，理由如下：
阴影部分面积 = 以AC为直径的半圆面积 + 以BC为直径的半圆面积 + $S_{△ ABC}$ - 以AB为直径的半圆面积
代入半圆面积公式得：
$= \frac{1}{2}π · (\frac{AC}{2})^2 + \frac{1}{2}π · (\frac{BC}{2})^2 + S_{△ ABC} - \frac{1}{2}π · (\frac{AB}{2})^2$
提取公因式得：
$= \frac{π}{8} (AC^2 + BC^2 - AB^2) + S_{△ ABC}$
∵$∠ ACB=90°$，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，即$AC^2+BC^2-AB^2=0$，
∴阴影部分面积 $= 0 + S_{△ ABC}$，即阴影部分面积等于$Rt△ ABC$的面积，结论正确。
拓展应用
∵$QC// GS$，且$QC=PN$，平行四边形SQCA与平行四边形APNG同底（$QC=PN$）、等高（平行线QC和GS间距离相等），因此$S_{平行四边形SQCA} = S_{平行四边形APNG} =6$；
同理，平行四边形QTBC与平行四边形PBHN面积相等。
又
∵$S_{平行四边形ABHG} = S_{平行四边形APNG} + S_{平行四边形PBHN} =8$，
∴$S_{平行四边形QTBC} = 8 - 6 =2$。
【答案】
$18$；$S_1=S_2+S_3$；$S_1=S_2+S_3$；正确，理由见解析；$2$
【知识点】
勾股定理；图形面积计算；平行四边形的性质
【点评】
本题是勾股定理的拓展探究类问题，通过在直角三角形三边外作不同类型的图形，推导面积之间的关系，有效考查了知识迁移能力和综合运用几何性质解决问题的能力。
【难度系数】
0.65
本题围绕勾股定理展开系列探究，核心思路是将各外作图形的面积用直角△ABC的三边（AB、BC、AC）的平方表示，再结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$推导面积关系。解题时先根据对应图形的面积公式，建立$S_1、S_2、S_3$和三边长平方的联系，再代入勾股定理化简即可；拓展应用部分利用平行四边形同底等高面积相等的性质，将侧边平行四边形面积转化为底边AB上平行四边形的两部分面积，结合已知条件计算即可。
【解析】
问题解决
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
由正方形面积等于边长平方可知：$S_1=AB^2=25$，$S_2=BC^2=7$，
因此$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 25 - 7 = 18$。
变式探究
(1) 设等腰直角三角形斜边长为$x$，由等腰直角三角形性质得直角边长为$\frac{x}{\sqrt{2}}$，面积为$\frac{1}{2} × (\frac{x}{\sqrt{2}})^2 = \frac{x^2}{4}$。
因此$S_1=\frac{AB^2}{4}$，$S_2=\frac{BC^2}{4}$，$S_3=\frac{AC^2}{4}$。
结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，两边同时除以4得：$\frac{AC^2}{4} + \frac{BC^2}{4} = \frac{AB^2}{4}$，即$S_1=S_2+S_3$。
(2) 由半圆面积公式，直径为$d$的半圆面积为$\frac{1}{2} × π × (\frac{d}{2})^2 = \frac{π d^2}{8}$。
因此$S_1=\frac{π AB^2}{8}$，$S_2=\frac{π BC^2}{8}$，$S_3=\frac{π AC^2}{8}$。
结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，两边同时乘$\frac{π}{8}$得：$\frac{π AC^2}{8} + \frac{π BC^2}{8} = \frac{π AB^2}{8}$，即$S_1=S_2+S_3$。
(3) 结论正确，理由如下：
阴影部分面积 = 以AC为直径的半圆面积 + 以BC为直径的半圆面积 + $S_{△ ABC}$ - 以AB为直径的半圆面积
代入半圆面积公式得：
$= \frac{1}{2}π · (\frac{AC}{2})^2 + \frac{1}{2}π · (\frac{BC}{2})^2 + S_{△ ABC} - \frac{1}{2}π · (\frac{AB}{2})^2$
提取公因式得：
$= \frac{π}{8} (AC^2 + BC^2 - AB^2) + S_{△ ABC}$
∵$∠ ACB=90°$，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，即$AC^2+BC^2-AB^2=0$，
∴阴影部分面积 $= 0 + S_{△ ABC}$，即阴影部分面积等于$Rt△ ABC$的面积，结论正确。
拓展应用
∵$QC// GS$，且$QC=PN$，平行四边形SQCA与平行四边形APNG同底（$QC=PN$）、等高（平行线QC和GS间距离相等），因此$S_{平行四边形SQCA} = S_{平行四边形APNG} =6$；
同理，平行四边形QTBC与平行四边形PBHN面积相等。
又
∵$S_{平行四边形ABHG} = S_{平行四边形APNG} + S_{平行四边形PBHN} =8$，
∴$S_{平行四边形QTBC} = 8 - 6 =2$。
【答案】
$18$；$S_1=S_2+S_3$；$S_1=S_2+S_3$；正确，理由见解析；$2$
【知识点】
勾股定理；图形面积计算；平行四边形的性质
【点评】
本题是勾股定理的拓展探究类问题，通过在直角三角形三边外作不同类型的图形，推导面积之间的关系，有效考查了知识迁移能力和综合运用几何性质解决问题的能力。
【难度系数】
0.65
