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7. 如图5，一支长为15 cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3 cm、4 cm、12 cm，那么这支铅笔露在笔筒外部分的长度x的范围是（）
A.$2\ \mathrm{cm} ≤ x ≤ 5\ \mathrm{cm}$
B.$2\ \mathrm{cm} ≤ x ≤ 3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm} ≤ x ≤ 5\ \mathrm{cm}$
D.$9\ \mathrm{cm} ≤ x ≤ 12\ \mathrm{cm}$
A.$2\ \mathrm{cm} ≤ x ≤ 5\ \mathrm{cm}$
B.$2\ \mathrm{cm} ≤ x ≤ 3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm} ≤ x ≤ 5\ \mathrm{cm}$
D.$9\ \mathrm{cm} ≤ x ≤ 12\ \mathrm{cm}$
答案
B
解析
【分析】
要确定铅笔露在笔筒外长度的范围，需先找到铅笔在笔筒内部长度的最值：露在外面的长度=铅笔总长度-笔筒内铅笔长度，因此当笔筒内铅笔长度最短时，外露长度最长；当笔筒内铅笔长度最长时，外露长度最短。首先判断最短的内部长度：铅笔沿笔筒竖直棱放置时，内部长度就是笔筒的高；再判断最长的内部长度：铅笔沿长方体体对角线放置时内部长度最长，需用两次勾股定理计算体对角线长度，最后即可求出外露长度的范围。
【解析】
解：①求外露长度的最大值：
当铅笔沿笔筒的高竖直放置时，笔筒内铅笔长度最短，为12cm，
此时外露长度$x_{\mathrm{max}}=15-12=3\ \mathrm{cm}$。
②求外露长度的最小值：
当铅笔沿长方体的体对角线放置时，笔筒内铅笔长度最长。
先算底面长方形（长4cm、宽3cm）的对角线长，由勾股定理得：
底面对角线长$=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$，
再算长方体体对角线长（底面对角线和高12cm构成直角三角形的斜边）：
体对角线长$=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$，
此时外露长度$x_{\mathrm{min}}=15-13=2\ \mathrm{cm}$。
因此$x$的范围是$2\ \mathrm{cm} ≤ x ≤ 3\ \mathrm{cm}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，长方体的特征
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的典型应用，解题核心是找到铅笔在容器内的两种极限放置方式，将实际问题转化为直角三角形求边长的问题，解题时注意两次运用勾股定理计算不要出错。
【难度系数】
0.7
要确定铅笔露在笔筒外长度的范围，需先找到铅笔在笔筒内部长度的最值：露在外面的长度=铅笔总长度-笔筒内铅笔长度，因此当笔筒内铅笔长度最短时，外露长度最长；当笔筒内铅笔长度最长时，外露长度最短。首先判断最短的内部长度：铅笔沿笔筒竖直棱放置时，内部长度就是笔筒的高；再判断最长的内部长度：铅笔沿长方体体对角线放置时内部长度最长，需用两次勾股定理计算体对角线长度，最后即可求出外露长度的范围。
【解析】
解：①求外露长度的最大值：
当铅笔沿笔筒的高竖直放置时，笔筒内铅笔长度最短，为12cm，
此时外露长度$x_{\mathrm{max}}=15-12=3\ \mathrm{cm}$。
②求外露长度的最小值：
当铅笔沿长方体的体对角线放置时，笔筒内铅笔长度最长。
先算底面长方形（长4cm、宽3cm）的对角线长，由勾股定理得：
底面对角线长$=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$，
再算长方体体对角线长（底面对角线和高12cm构成直角三角形的斜边）：
体对角线长$=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$，
此时外露长度$x_{\mathrm{min}}=15-13=2\ \mathrm{cm}$。
因此$x$的范围是$2\ \mathrm{cm} ≤ x ≤ 3\ \mathrm{cm}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，长方体的特征
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的典型应用，解题核心是找到铅笔在容器内的两种极限放置方式，将实际问题转化为直角三角形求边长的问题，解题时注意两次运用勾股定理计算不要出错。
【难度系数】
0.7
8. 如图6,在$Rt△ ABC$中,$AB=9$,$BC=6$,$∠ B=90°$,将$△ ABC$折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为 ()
A.$\frac{5}{3}$
B.$\frac{5}{2}$
C.4
D.5
A.$\frac{5}{3}$
B.$\frac{5}{2}$
C.4
D.5
答案
C
解析
【分析】
遇到折叠类问题，首先利用折叠的性质得到相等的线段，本题折叠后点A与D重合，可得AN=DN。其次D是BC中点，可先求出BD的长度。我们可以设BN的长为未知数，将DN用含未知数的式子表示，再结合∠B是直角，在Rt△DBN中利用勾股定理列方程，即可求出BN的长度。
【解析】
设BN的长为$ x $，
∵ $ AB=9 $，
∴ $ AN=AB-BN=9-x $，
由折叠的性质可得：$ DN=AN=9-x $，
∵ D是BC的中点，$ BC=6 $，
∴ $ BD=\frac{1}{2}BC=3 $，
又
∵ $ ∠B=90° $，在$ Rt△DBN $中，根据勾股定理得：
$ BN^2 + BD^2 = DN^2 $，
代入得：$ x^2 + 3^2 = (9-x)^2 $，
展开：$ x^2 +9 = 81 -18x +x^2 $，
消去$ x^2 $，移项得：$ 18x=72 $，
解得：$ x=4 $，即BN的长为4。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；中点定义
【点评】
本题是几何折叠的典型基础题，解题关键是利用折叠的性质实现线段的等量转化，将相关线段集中到同一个直角三角形中，再结合勾股定理列方程求解，体现了数形结合和方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类问题，首先利用折叠的性质得到相等的线段，本题折叠后点A与D重合，可得AN=DN。其次D是BC中点，可先求出BD的长度。我们可以设BN的长为未知数，将DN用含未知数的式子表示，再结合∠B是直角，在Rt△DBN中利用勾股定理列方程，即可求出BN的长度。
【解析】
设BN的长为$ x $，
∵ $ AB=9 $，
∴ $ AN=AB-BN=9-x $，
由折叠的性质可得：$ DN=AN=9-x $，
∵ D是BC的中点，$ BC=6 $，
∴ $ BD=\frac{1}{2}BC=3 $，
又
∵ $ ∠B=90° $，在$ Rt△DBN $中，根据勾股定理得：
$ BN^2 + BD^2 = DN^2 $，
代入得：$ x^2 + 3^2 = (9-x)^2 $，
展开：$ x^2 +9 = 81 -18x +x^2 $，
消去$ x^2 $，移项得：$ 18x=72 $，
解得：$ x=4 $，即BN的长为4。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；中点定义
【点评】
本题是几何折叠的典型基础题，解题关键是利用折叠的性质实现线段的等量转化，将相关线段集中到同一个直角三角形中，再结合勾股定理列方程求解，体现了数形结合和方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
9. 图7是$6×6$的正方形网格，点A、B均在格点上.如果点C也在此正方形网格的格点上，且$∠ ACB=90°$，则满足条件的点C共有（）
A.3个
B.4个
C.6个
D.8个
A.3个
B.4个
C.6个
D.8个
答案
C
解析
【分析】
要找到满足∠ACB=90°的格点C，可依据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角，因此点C的轨迹是以AB为直径的圆，我们只需找出该圆经过的、除A、B外的格点即可。解题时可先建立平面直角坐标系，确定AB的中点（圆心）和半径，再根据距离公式枚举符合条件的整数坐标点，注意排除A、B两点。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令点A坐标为(1,2)，点B坐标为(5,4)。
1. 确定圆心与半径：
AB的中点（即圆心）坐标为$( \frac{1+5}{2},\frac{2+4}{2} )=(3,3)$，
AB的长度为$AB=\sqrt{(5-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，因此圆的半径$r=\sqrt{5}$。
2. 列方程求格点：
设格点C的坐标为$(x,y)$（x、y均为0到6之间的整数，符合6×6网格的格点范围），则点C到圆心的距离等于半径，即：
$(x-3)^2+(y-3)^2=(\sqrt{5})^2=5$
由于x、y是整数，两个平方数的和为5，仅存在$1+4$和$4+1$两种拆分方式：
当$(x-3)^2=1$，$(y-3)^2=4$时：
解得$x=2或4$，$y=1或5$，得到格点(2,1)、(2,5)、(4,1)、(4,5)，共4个有效点。
当$(x-3)^2=4$，$(y-3)^2=1$时：
解得$x=1或5$，$y=2或4$，其中(1,2)为点A、(5,4)为点B，无法构成∠ACB，需排除，剩余有效格点为(1,4)、(5,2)，共2个。
3. 合计有效点：$4+2=6$个。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理，格点问题求解
【点评】
本题综合考查圆的性质与格点计算，核心是通过圆周角定理推论确定点C的轨迹，避免盲目枚举格点，解题时要注意排除A、B两点，防止多算，同时要熟练掌握整数平方的特征，快速筛选符合条件的坐标。
【难度系数】
0.6
要找到满足∠ACB=90°的格点C，可依据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角，因此点C的轨迹是以AB为直径的圆，我们只需找出该圆经过的、除A、B外的格点即可。解题时可先建立平面直角坐标系，确定AB的中点（圆心）和半径，再根据距离公式枚举符合条件的整数坐标点，注意排除A、B两点。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令点A坐标为(1,2)，点B坐标为(5,4)。
1. 确定圆心与半径：
AB的中点（即圆心）坐标为$( \frac{1+5}{2},\frac{2+4}{2} )=(3,3)$，
AB的长度为$AB=\sqrt{(5-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，因此圆的半径$r=\sqrt{5}$。
2. 列方程求格点：
设格点C的坐标为$(x,y)$（x、y均为0到6之间的整数，符合6×6网格的格点范围），则点C到圆心的距离等于半径，即：
$(x-3)^2+(y-3)^2=(\sqrt{5})^2=5$
由于x、y是整数，两个平方数的和为5，仅存在$1+4$和$4+1$两种拆分方式：
当$(x-3)^2=1$，$(y-3)^2=4$时：
解得$x=2或4$，$y=1或5$，得到格点(2,1)、(2,5)、(4,1)、(4,5)，共4个有效点。
当$(x-3)^2=4$，$(y-3)^2=1$时：
解得$x=1或5$，$y=2或4$，其中(1,2)为点A、(5,4)为点B，无法构成∠ACB，需排除，剩余有效格点为(1,4)、(5,2)，共2个。
3. 合计有效点：$4+2=6$个。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理，格点问题求解
【点评】
本题综合考查圆的性质与格点计算，核心是通过圆周角定理推论确定点C的轨迹，避免盲目枚举格点，解题时要注意排除A、B两点，防止多算，同时要熟练掌握整数平方的特征，快速筛选符合条件的坐标。
【难度系数】
0.6
10. 如图8,在长方形$ABCD$中,$AD=6$,$AB=10$.若将长方形$ABCD$沿$DE$折叠,使点$C$落在$AB$边上的点$F$处,则线段$CE$的长为 ()
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{17}{30}$
C.$\dfrac{10}{3}$
D.$10$
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{17}{30}$
C.$\dfrac{10}{3}$
D.$10$
答案
C
解析
【分析】
解决本题可按以下思路推导：首先结合长方形性质得到边长和直角的条件，再利用折叠前后对应边相等的性质，把已知和未知的线段关联起来，先在Rt△ADF中用勾股定理算出AF的长度，得到FB的长后，设CE为未知数，将CE、BE、FB放到同一个直角三角形中，用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，$AD=6$，$AB=10$
∴$AD=BC=6$，$AB=CD=10$，$∠A=∠B=90°$
根据折叠的性质可得：$DF=DC=10$，$CE=FE$，$∠DFE=∠C=90°$
在$Rt△ ADF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{DF^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
∴$FB=AB-AF=10-8=2$
设$CE=x$，则$FE=x$，$BE=BC-CE=6-x$
在$Rt△ BEF$中，由勾股定理得：$FE^2=FB^2+BE^2$
代入得：$x^2=2^2+(6-x)^2$
展开化简：$x^2=4+36-12x+x^2$，即$12x=40$
解得$x=\frac{10}{3}$，即CE的长为$\frac{10}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，长方形的性质
【点评】
本题是典型的折叠类几何计算问题，核心解题技巧是通过折叠性质转化相等线段，再结合勾股定理构造方程求解，是几何中数形结合思想的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
解决本题可按以下思路推导：首先结合长方形性质得到边长和直角的条件，再利用折叠前后对应边相等的性质，把已知和未知的线段关联起来，先在Rt△ADF中用勾股定理算出AF的长度，得到FB的长后，设CE为未知数，将CE、BE、FB放到同一个直角三角形中，用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，$AD=6$，$AB=10$
∴$AD=BC=6$，$AB=CD=10$，$∠A=∠B=90°$
根据折叠的性质可得：$DF=DC=10$，$CE=FE$，$∠DFE=∠C=90°$
在$Rt△ ADF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{DF^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
∴$FB=AB-AF=10-8=2$
设$CE=x$，则$FE=x$，$BE=BC-CE=6-x$
在$Rt△ BEF$中，由勾股定理得：$FE^2=FB^2+BE^2$
代入得：$x^2=2^2+(6-x)^2$
展开化简：$x^2=4+36-12x+x^2$，即$12x=40$
解得$x=\frac{10}{3}$，即CE的长为$\frac{10}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，长方形的性质
【点评】
本题是典型的折叠类几何计算问题，核心解题技巧是通过折叠性质转化相等线段，再结合勾股定理构造方程求解，是几何中数形结合思想的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
11.(2025·扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究,提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出,不仅简化了勾股数的生成过程,也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3、4、5;②5、12、13;③7、24、25;④9、40、41;……根据上述规律,写出第⑤组勾股数为.
答案
解：观察已知勾股数的规律：
第n组的第一个数为$2n+1$，第二个数为$\frac{(2n+1)^2 -1}{2}$，第三个数比第二个数大1。
当$n=5$时，
第一个数：$2×5+1=11$，
第二个数：$\frac{11^2 -1}{2}=\frac{121-1}{2}=60$，
第三个数：$60+1=61$，
验证得$11^2 + 60^2 = 61^2$，满足勾股数定义。
故第⑤组勾股数为$\boldsymbol{11、60、61}$。
第n组的第一个数为$2n+1$，第二个数为$\frac{(2n+1)^2 -1}{2}$，第三个数比第二个数大1。
当$n=5$时，
第一个数：$2×5+1=11$，
第二个数：$\frac{11^2 -1}{2}=\frac{121-1}{2}=60$，
第三个数：$60+1=61$，
验证得$11^2 + 60^2 = 61^2$，满足勾股数定义。
故第⑤组勾股数为$\boldsymbol{11、60、61}$。
解析
【分析】
我们可以分步探究已知勾股数的规律：第一步观察每组的第一个数：①组3、②组5、③组7、④组9，均为连续奇数，对应第n组的第一个数可表示为$2n+1$；第二步观察每组后两个数，发现每组后两个数是连续正整数，第三个数比第二个数大1，结合勾股定理可推导得出第二个数的通用表达式；最后将n=5代入规律式计算，再验证结果满足勾股数定义即可。
【解析】
观察已知勾股数，总结规律如下：
第n组勾股数的第一个数为$2n+1$，第二个数为$\frac{(2n+1)^2 -1}{2}$，第三个数为第二个数加1。
计算第⑤组勾股数，即取$n=5$：
第一个数：$2×5+1=11$
第二个数：$\frac{11^2 -1}{2}=\frac{121-1}{2}=60$
第三个数：$60+1=61$
验证：$11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2$，符合勾股数的定义。
【答案】
11、60、61
【知识点】
勾股数定义；数字规律探究
【点评】
本题结合传统数学文化背景，考查数字规律归纳能力与勾股数的应用，需要从已知样例中提炼通用规律再代入计算，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
我们可以分步探究已知勾股数的规律：第一步观察每组的第一个数：①组3、②组5、③组7、④组9，均为连续奇数，对应第n组的第一个数可表示为$2n+1$；第二步观察每组后两个数，发现每组后两个数是连续正整数，第三个数比第二个数大1，结合勾股定理可推导得出第二个数的通用表达式；最后将n=5代入规律式计算，再验证结果满足勾股数定义即可。
【解析】
观察已知勾股数，总结规律如下：
第n组勾股数的第一个数为$2n+1$，第二个数为$\frac{(2n+1)^2 -1}{2}$，第三个数为第二个数加1。
计算第⑤组勾股数，即取$n=5$：
第一个数：$2×5+1=11$
第二个数：$\frac{11^2 -1}{2}=\frac{121-1}{2}=60$
第三个数：$60+1=61$
验证：$11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2$，符合勾股数的定义。
【答案】
11、60、61
【知识点】
勾股数定义；数字规律探究
【点评】
本题结合传统数学文化背景，考查数字规律归纳能力与勾股数的应用，需要从已知样例中提炼通用规律再代入计算，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图9,BC是新建快速公路,长度为10 km,∠A=90°,AB=6 km,AC=8 km,一小镇位于点A,现在该小镇要修一条公路到达快速公路,则修这条公路的最短长度为km. 
答案
解：过点A作AD⊥BC于点D，由垂线段最短可知，AD的长即为所修公路的最短长度。
∵ ∠BAC=90°，AB=6 km，AC=8 km，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB · AC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24\ (\mathrm{km}^2)$。
又∵ BC=10 km，且$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} BC · AD$，
∴ $\frac{1}{2} × 10 × AD = 24$，
解得 $AD = 4.8$。
$\boldsymbol{4.8}$
∵ ∠BAC=90°，AB=6 km，AC=8 km，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB · AC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24\ (\mathrm{km}^2)$。
又∵ BC=10 km，且$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} BC · AD$，
∴ $\frac{1}{2} × 10 × AD = 24$，
解得 $AD = 4.8$。
$\boldsymbol{4.8}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确点到直线的所有连线中垂线段最短，因此小镇A到快速公路BC的最短公路长度就是点A到BC的垂线段的长度。接下来计算这条垂线段的长度：△ABC是直角三角形，它的面积有两种计算方式，一是用两条直角边乘积的一半计算，二是用斜边乘斜边上的高（即所求垂线段长度）的一半计算，利用两种方式计算的面积相等列方程，即可求出垂线段的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，根据垂线段最短可知，AD的长即为所修公路的最短长度。
∵ ∠BAC=90°，AB=6 km，AC=8 km，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB · AC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24\ (\mathrm{km}^2)$。
又
∵ BC=10 km，且$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} BC · AD$，
∴ $\frac{1}{2} × 10 × AD = 24$，
解得 $AD = 4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
垂线段最短；三角形面积计算；等面积法求线段长
【点评】
本题是几何实际应用类基础题，解题核心是先利用垂线段的性质确定最短路径，再通过等面积法计算垂线段长度，这种利用面积相等求线段长的方法在几何计算中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确点到直线的所有连线中垂线段最短，因此小镇A到快速公路BC的最短公路长度就是点A到BC的垂线段的长度。接下来计算这条垂线段的长度：△ABC是直角三角形，它的面积有两种计算方式，一是用两条直角边乘积的一半计算，二是用斜边乘斜边上的高（即所求垂线段长度）的一半计算，利用两种方式计算的面积相等列方程，即可求出垂线段的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，根据垂线段最短可知，AD的长即为所修公路的最短长度。
∵ ∠BAC=90°，AB=6 km，AC=8 km，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB · AC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24\ (\mathrm{km}^2)$。
又
∵ BC=10 km，且$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} BC · AD$，
∴ $\frac{1}{2} × 10 × AD = 24$，
解得 $AD = 4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
垂线段最短；三角形面积计算；等面积法求线段长
【点评】
本题是几何实际应用类基础题，解题核心是先利用垂线段的性质确定最短路径，再通过等面积法计算垂线段长度，这种利用面积相等求线段长的方法在几何计算中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
