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1. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ()
A.6、8、10
B.1、2、$\sqrt{3}$
C.7、24、25
D.$\sqrt{3}$、$\sqrt{4}$、$\sqrt{5}$
A.6、8、10
B.1、2、$\sqrt{3}$
C.7、24、25
D.$\sqrt{3}$、$\sqrt{4}$、$\sqrt{5}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路如下：要判断一组数能否作为直角三角形的三边长，只需依据勾股定理的逆定理，先找到每组数中的最长边，再计算两条较短边的平方和，验证其是否等于最长边的平方：若相等则可以构成直角三角形，若不相等则不能构成，逐一验证四个选项即可得到答案。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，对各选项逐一验证：
A选项：三边长为6、8、10，最长边为10
$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$
即$6^2 + 8^2 = 10^2$，可以作为直角三角形的三边长，不符合题意；
B选项：三边长为1、$\sqrt{3}$、2，最长边为2
$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$，$2^2 = 4$
即$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 2^2$，可以作为直角三角形的三边长，不符合题意；
C选项：三边长为7、24、25，最长边为25
$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$
即$7^2 + 24^2 = 25^2$，可以作为直角三角形的三边长，不符合题意；
D选项：三边长为$\sqrt{3}$、$\sqrt{4}$、$\sqrt{5}$，最长边为$\sqrt{5}$
$(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{4})^2 = 3 + 4 = 7$，$(\sqrt{5})^2 = 5$
$7 ≠ 5$，不满足勾股定理逆定理，不能作为直角三角形的三边长，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握勾股定理逆定理的验证方法，解题时注意先确定每组的最长边再计算，避免因边长顺序混淆出现计算失误。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路如下：要判断一组数能否作为直角三角形的三边长，只需依据勾股定理的逆定理，先找到每组数中的最长边，再计算两条较短边的平方和，验证其是否等于最长边的平方：若相等则可以构成直角三角形，若不相等则不能构成，逐一验证四个选项即可得到答案。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，对各选项逐一验证：
A选项：三边长为6、8、10，最长边为10
$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$
即$6^2 + 8^2 = 10^2$，可以作为直角三角形的三边长，不符合题意；
B选项：三边长为1、$\sqrt{3}$、2，最长边为2
$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$，$2^2 = 4$
即$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 2^2$，可以作为直角三角形的三边长，不符合题意；
C选项：三边长为7、24、25，最长边为25
$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$
即$7^2 + 24^2 = 25^2$，可以作为直角三角形的三边长，不符合题意；
D选项：三边长为$\sqrt{3}$、$\sqrt{4}$、$\sqrt{5}$，最长边为$\sqrt{5}$
$(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{4})^2 = 3 + 4 = 7$，$(\sqrt{5})^2 = 5$
$7 ≠ 5$，不满足勾股定理逆定理，不能作为直角三角形的三边长，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握勾股定理逆定理的验证方法，解题时注意先确定每组的最长边再计算，避免因边长顺序混淆出现计算失误。
【难度系数】
0.8
2. 已知△ABC的三边长分别是6、8、10,则△ABC的面积是 ()
A.12
B.15
C.20
D.24
A.12
B.15
C.20
D.24
答案
D
解析
【分析】
首先观察三角形的三边长6、8、10，我们可以先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。确定三角形形状后，再代入对应面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：已知△ABC的三边长分别为6、8、10，
先计算各边的平方：
$6^2=36$，$8^2=64$，$10^2=100$
因为$36+64=100$，即$6^2+8^2=10^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：△ABC是直角三角形，且两条直角边长为6和8，斜边长为10。
根据直角三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}× 直角边× 直角边$，
代入数据得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×8=24$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再代入面积公式计算，熟记常见的勾股数可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
首先观察三角形的三边长6、8、10，我们可以先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。确定三角形形状后，再代入对应面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：已知△ABC的三边长分别为6、8、10，
先计算各边的平方：
$6^2=36$，$8^2=64$，$10^2=100$
因为$36+64=100$，即$6^2+8^2=10^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：△ABC是直角三角形，且两条直角边长为6和8，斜边长为10。
根据直角三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}× 直角边× 直角边$，
代入数据得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×8=24$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再代入面积公式计算，熟记常见的勾股数可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
3. 如图，原来从A村到B村需要沿路$A→C→B(∠C=90°)$绕过两地间的一片湖，现在A、B间建好桥后，就可直接从A村到B村。若$AC=5\ \mathrm{km}$，$BC=12\ \mathrm{km}$，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（）
A.$2\ \mathrm{km}$
B.$4\ \mathrm{km}$
C.$10\ \mathrm{km}$
D.$14\ \mathrm{km}$
A.$2\ \mathrm{km}$
B.$4\ \mathrm{km}$
C.$10\ \mathrm{km}$
D.$14\ \mathrm{km}$
答案
B
解析
【分析】
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，且∠C=90°，要求建好桥后减少的路程，需要先求出直接通行的AB长度，再用原来的路程（AC+BC）减去AB的长度即可。解题步骤为：第一步利用勾股定理计算斜边AB的长度，第二步计算原路程与现路程的差值，对应选出答案即可。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5km，BC=12km
∴根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{km}$
原来从A到B的路程为$AC+BC=5+12=17\ \mathrm{km}$
则减少的路程为$17-13=4\ \mathrm{km}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；路程差计算
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类基础题，解题关键是先利用勾股定理求出直线路程AB的长度，再通过路程作差得到结果，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，且∠C=90°，要求建好桥后减少的路程，需要先求出直接通行的AB长度，再用原来的路程（AC+BC）减去AB的长度即可。解题步骤为：第一步利用勾股定理计算斜边AB的长度，第二步计算原路程与现路程的差值，对应选出答案即可。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5km，BC=12km
∴根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{km}$
原来从A到B的路程为$AC+BC=5+12=17\ \mathrm{km}$
则减少的路程为$17-13=4\ \mathrm{km}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；路程差计算
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类基础题，解题关键是先利用勾股定理求出直线路程AB的长度，再通过路程作差得到结果，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
4. 如图2,直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为$S_1$、$S_2$、$S_3$,则$S_1$、$S_2$、$S_3$的关系是 ()
A.$S_1+S_2=S_3$
B.$S_1^2+S_2^2=S_3^2$
C.$S_1+S_2＞S_3$
D.$S_1+S_2＜S_3$
A.$S_1+S_2=S_3$
B.$S_1^2+S_2^2=S_3^2$
C.$S_1+S_2＞S_3$
D.$S_1+S_2＜S_3$
答案
A
解析
【分析】
要判断三个半圆面积的关系，我们可以先把三个半圆的面积用直角三角形的三边表示出来，再结合直角三角形的勾股定理推导三者的等量关系。首先回忆半圆的面积公式，先设出直角三角形的三条边长，分别写出$S_1$、$S_2$、$S_3$的表达式，再利用勾股定理$a^2+b^2=c^2$化简$S_1+S_2$，对比$S_3$的表达式就能得出结论。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长度分别为$a$、$b$，斜边长度为$c$，根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
根据半圆面积公式$S_{半圆}=\frac{1}{2}π r^2$，可得：
$S_1=\frac{1}{2}π · (\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$
$S_2=\frac{1}{2}π · (\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$
$S_3=\frac{1}{2}π · (\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$
那么$S_1 + S_2 = \frac{π a^2}{8} + \frac{π b^2}{8} = \frac{π(a^2 + b^2)}{8}$，将$a^2 + b^2 = c^2$代入得：
$S_1 + S_2 = \frac{π c^2}{8} = S_3$
因此三者关系为$S_1 + S_2 = S_3$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，圆的面积计算
【点评】
本题是勾股定理与图形面积的结合应用题，解题核心是将面积关系转化为边长的平方关系，结合勾股定理即可快速推导，侧重对基础公式运用能力的考察。
【难度系数】
0.8
要判断三个半圆面积的关系，我们可以先把三个半圆的面积用直角三角形的三边表示出来，再结合直角三角形的勾股定理推导三者的等量关系。首先回忆半圆的面积公式，先设出直角三角形的三条边长，分别写出$S_1$、$S_2$、$S_3$的表达式，再利用勾股定理$a^2+b^2=c^2$化简$S_1+S_2$，对比$S_3$的表达式就能得出结论。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长度分别为$a$、$b$，斜边长度为$c$，根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
根据半圆面积公式$S_{半圆}=\frac{1}{2}π r^2$，可得：
$S_1=\frac{1}{2}π · (\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$
$S_2=\frac{1}{2}π · (\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$
$S_3=\frac{1}{2}π · (\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$
那么$S_1 + S_2 = \frac{π a^2}{8} + \frac{π b^2}{8} = \frac{π(a^2 + b^2)}{8}$，将$a^2 + b^2 = c^2$代入得：
$S_1 + S_2 = \frac{π c^2}{8} = S_3$
因此三者关系为$S_1 + S_2 = S_3$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，圆的面积计算
【点评】
本题是勾股定理与图形面积的结合应用题，解题核心是将面积关系转化为边长的平方关系，结合勾股定理即可快速推导，侧重对基础公式运用能力的考察。
【难度系数】
0.8
5. 如图3,在数轴上,点A、B表示的数分别为0、2,BC⊥AB于点B,且BC=1.连接AC,在AC上截取CD=BC,以点A为圆心、AD的长为半径画弧,交线段AB于点E,则点E表示的实数是 ()
A.1
B.$\sqrt{5}+1$
C.2
D.$\sqrt{5}-1$
A.1
B.$\sqrt{5}+1$
C.2
D.$\sqrt{5}-1$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，存在直角三角形，首先想到用勾股定理求斜边AC的长度；再结合已知CD=BC，可求出线段AD的长度；最后根据同圆半径相等，得到AE=AD，结合点A在数轴原点的位置，即可确定点E表示的实数。
【解析】
解：由题意可知，AB=2-0=2，BC=1，∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
∵CD=BC=1
∴AD=AC-CD=$\sqrt{5}-1$
∵以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于E
∴AE=AD=$\sqrt{5}-1$
又
∵点A表示的数为0
∴点E表示的实数是$\sqrt{5}-1$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，圆的半径相等，实数与数轴
【点评】
本题是数轴与几何计算的结合题，解题的核心是先借助勾股定理求出斜边长度，再结合圆的性质得到所求线段长度，进而对应数轴上的数值，难度不大，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，存在直角三角形，首先想到用勾股定理求斜边AC的长度；再结合已知CD=BC，可求出线段AD的长度；最后根据同圆半径相等，得到AE=AD，结合点A在数轴原点的位置，即可确定点E表示的实数。
【解析】
解：由题意可知，AB=2-0=2，BC=1，∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
∵CD=BC=1
∴AD=AC-CD=$\sqrt{5}-1$
∵以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于E
∴AE=AD=$\sqrt{5}-1$
又
∵点A表示的数为0
∴点E表示的实数是$\sqrt{5}-1$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，圆的半径相等，实数与数轴
【点评】
本题是数轴与几何计算的结合题，解题的核心是先借助勾股定理求出斜边长度，再结合圆的性质得到所求线段长度，进而对应数轴上的数值，难度不大，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
6. 如图4①,某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动. 如图4②,当张角为∠BAF时,顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm,此时底部边缘A处与C处之间的距离AC为24 cm.小组成员调整张角的大小继续探究,最后发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点),顶部边缘D处到桌面的距离DE为20 cm,则底部边缘A处与E处之间的距离AE为 ()
A.15 cm
B.18 cm
C.21 cm
D.24 cm
A.15 cm
B.18 cm
C.21 cm
D.24 cm
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要抓住隐含条件：笔记本屏幕的长度固定，即AB=AD，且BC、DE都垂直于桌面，所以△ABC和△ADE都是直角三角形。我们可以先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长度，得到AD的长度后，再在Rt△ADE中利用勾股定理求出AE的长度。
【解析】
由题意得：∠C=∠DEA=90°，AB=AD（笔记本屏幕长度为固定值）。
在Rt△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，根据勾股定理：
$AB^2=BC^2+AC^2=7^2+24^2=49+576=625$
∴$AB=25\mathrm{cm}$，故$AD=AB=25\mathrm{cm}$。
在Rt△ADE中，DE=20cm，AD=25cm，根据勾股定理：
$AE^2+DE^2=AD^2$
∴$AE^2=AD^2-DE^2=25^2-20^2=625-400=225$
∴$AE=15\mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，实际问题几何建模
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的应用，解题的关键是找到题中的隐含不变量（屏幕长度），将实际问题转化为直角三角形的计算问题，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要抓住隐含条件：笔记本屏幕的长度固定，即AB=AD，且BC、DE都垂直于桌面，所以△ABC和△ADE都是直角三角形。我们可以先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长度，得到AD的长度后，再在Rt△ADE中利用勾股定理求出AE的长度。
【解析】
由题意得：∠C=∠DEA=90°，AB=AD（笔记本屏幕长度为固定值）。
在Rt△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，根据勾股定理：
$AB^2=BC^2+AC^2=7^2+24^2=49+576=625$
∴$AB=25\mathrm{cm}$，故$AD=AB=25\mathrm{cm}$。
在Rt△ADE中，DE=20cm，AD=25cm，根据勾股定理：
$AE^2+DE^2=AD^2$
∴$AE^2=AD^2-DE^2=25^2-20^2=625-400=225$
∴$AE=15\mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，实际问题几何建模
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的应用，解题的关键是找到题中的隐含不变量（屏幕长度），将实际问题转化为直角三角形的计算问题，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
