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19. (12分)在$△ ABC$中,$BC=a$,$CA=b$,$AB=c$.若$∠ C$为直角,则$a^2+b^2=c^2$.若$∠ C$为锐角或钝角,则$a^2+b^2$与$c^2$之间有怎样的大小关系呢?我们一起进行探究吧.
(1)阅读并填空:如图16①,若$∠ C$为锐角,则$a^2+b^2＞c^2$.
证明:如图16②,过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$,则$BD=BC-CD=a-CD$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD^2=AB^2-BD^2$,
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AD^2=$,
∴.
即$c^2-(a-CD)^2=b^2-CD^2$,
∴$a^2+b^2-c^2=2a· CD$.
∵$a＞0$,$CD＞0$,$\therefore a^2+b^2-c^2＞0$,$\therefore a^2+b^2＞c^2$.
(2)解答问题:如图16③,若$∠ C$为钝角,试推导$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系.
(1)阅读并填空:如图16①,若$∠ C$为锐角,则$a^2+b^2＞c^2$.
证明:如图16②,过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$,则$BD=BC-CD=a-CD$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD^2=AB^2-BD^2$,
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AD^2=$,
∴.
即$c^2-(a-CD)^2=b^2-CD^2$,
∴$a^2+b^2-c^2=2a· CD$.
∵$a＞0$,$CD＞0$,$\therefore a^2+b^2-c^2＞0$,$\therefore a^2+b^2＞c^2$.
(2)解答问题:如图16③,若$∠ C$为钝角,试推导$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系.
答案
解：(1) $\boldsymbol{b^2 - CD^2}$；$\boldsymbol{AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2}$
(2) 过点$A$作$AD ⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$，
则$BD = BC + CD = a + CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD^2 = AB^2 - BD^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD^2 = AC^2 - CD^2 = b^2 - CD^2$，
$\therefore AB^2 - BD^2 = b^2 - CD^2$，
即$c^2 - (a + CD)^2 = b^2 - CD^2$，
展开整理得：
$c^2 - a^2 - 2a· CD - CD^2 = b^2 - CD^2$，
$\therefore a^2 + b^2 - c^2 = -2a· CD$。
$\because a＞0$，$CD＞0$，
$\therefore -2a· CD ＜ 0$，即$a^2 + b^2 - c^2 ＜ 0$，
$\therefore a^2 + b^2 ＜ c^2$。
(2) 过点$A$作$AD ⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$，
则$BD = BC + CD = a + CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD^2 = AB^2 - BD^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD^2 = AC^2 - CD^2 = b^2 - CD^2$，
$\therefore AB^2 - BD^2 = b^2 - CD^2$，
即$c^2 - (a + CD)^2 = b^2 - CD^2$，
展开整理得：
$c^2 - a^2 - 2a· CD - CD^2 = b^2 - CD^2$，
$\therefore a^2 + b^2 - c^2 = -2a· CD$。
$\because a＞0$，$CD＞0$，
$\therefore -2a· CD ＜ 0$，即$a^2 + b^2 - c^2 ＜ 0$，
$\therefore a^2 + b^2 ＜ c^2$。
解析
【分析】
（1）第一小问推导锐角三角形的边长关系，核心是利用公共高$AD$的平方作为中间量建立等式：在$\mathrm{Rt}△ACD$中可直接由勾股定理写出$AD^2$的表达式，再结合$\mathrm{Rt}△ABD$中$AD^2$的表达式，通过等量代换即可得到对应等式。
（2）第二小问探究钝角三角形的情况，类比锐角情形的推导思路，先过$A$作$BC$延长线的垂线构造直角三角形，再以高$AD$的平方为中间量，结合勾股定理建立等式，整理代数式后根据$a$、$CD$均为正数判断$a^2+b^2-c^2$的符号，即可得出二者大小关系。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理可得$AD^2=AC^2-CD^2=b^2-CD^2$；
由于两个直角三角形中的$AD$是同一条线段，因此$AD^2$相等，可得$AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2$。
(2) 过点$A$作$AD ⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$，
则$BD = BC + CD = a + CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 - BD^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 - CD^2 = b^2 - CD^2$，
$\therefore AB^2 - BD^2 = b^2 - CD^2$，
即$c^2 - (a + CD)^2 = b^2 - CD^2$，
展开整理得：$c^2 - a^2 - 2a· CD - CD^2 = b^2 - CD^2$，
$\therefore a^2 + b^2 - c^2 = -2a· CD$。
$\because a＞0$，$CD＞0$，
$\therefore -2a· CD ＜ 0$，即$a^2 + b^2 - c^2 ＜ 0$，
$\therefore a^2 + b^2 ＜ c^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{b^2 - CD^2}$；$\boldsymbol{AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2}$
(2) $\boldsymbol{a^2 + b^2 ＜ c^2}$
【知识点】
勾股定理；代数式变形；辅助线构造
【点评】
本题是勾股定理的拓展探究题，通过构造直角三角形将非直角三角形的边长关系转化为直角三角形的勾股问题，运用类比思想即可参照锐角情形推导钝角情形的结论，能有效锻炼学生的知识迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
（1）第一小问推导锐角三角形的边长关系，核心是利用公共高$AD$的平方作为中间量建立等式：在$\mathrm{Rt}△ACD$中可直接由勾股定理写出$AD^2$的表达式，再结合$\mathrm{Rt}△ABD$中$AD^2$的表达式，通过等量代换即可得到对应等式。
（2）第二小问探究钝角三角形的情况，类比锐角情形的推导思路，先过$A$作$BC$延长线的垂线构造直角三角形，再以高$AD$的平方为中间量，结合勾股定理建立等式，整理代数式后根据$a$、$CD$均为正数判断$a^2+b^2-c^2$的符号，即可得出二者大小关系。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理可得$AD^2=AC^2-CD^2=b^2-CD^2$；
由于两个直角三角形中的$AD$是同一条线段，因此$AD^2$相等，可得$AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2$。
(2) 过点$A$作$AD ⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$，
则$BD = BC + CD = a + CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 - BD^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 - CD^2 = b^2 - CD^2$，
$\therefore AB^2 - BD^2 = b^2 - CD^2$，
即$c^2 - (a + CD)^2 = b^2 - CD^2$，
展开整理得：$c^2 - a^2 - 2a· CD - CD^2 = b^2 - CD^2$，
$\therefore a^2 + b^2 - c^2 = -2a· CD$。
$\because a＞0$，$CD＞0$，
$\therefore -2a· CD ＜ 0$，即$a^2 + b^2 - c^2 ＜ 0$，
$\therefore a^2 + b^2 ＜ c^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{b^2 - CD^2}$；$\boldsymbol{AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2}$
(2) $\boldsymbol{a^2 + b^2 ＜ c^2}$
【知识点】
勾股定理；代数式变形；辅助线构造
【点评】
本题是勾股定理的拓展探究题，通过构造直角三角形将非直角三角形的边长关系转化为直角三角形的勾股问题，运用类比思想即可参照锐角情形推导钝角情形的结论，能有效锻炼学生的知识迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
