18. (12分)机动车和非机动车“各行其道”,可以确保各类交通工具在各自的道路上顺畅行驶,避免相互干扰,从而降低交通风险,减少拥堵和延误,提高道路通行效率,缓解城市交通压力.为了提高市民“各行其道”的意识,某区宣传车对广大出行群众进行“各行其道”宣传.如图15,一笔直公路MN,村庄A到公路MN的距离为600 m,若在宣传车P方圆1 000 m以内能听到广播宣传,那么宣传车P在公路MN上沿MN方向行驶时:

(1)村庄A能否听到宣传?请说明理由.
(2)如果村庄A能听到宣传,已知宣传车P的速度是200 m/min,那么村庄A总共能听到多长时间的宣传?

解：
(1) 村庄A能听到宣传，理由如下：
∵ 村庄A到公路MN的距离为600 m，600 m ＜ 1000 m，
∴ 村庄A能听到宣传。
(2) 过点A作AB⊥MN于点B，则AB=600 m。
设宣传车行驶到点C处时村庄A刚好开始听到宣传，行驶到点D处时村庄A刚好结束听到宣传，则AC=AD=1000 m。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{1000^2-600^2}=800\ \mathrm{m}$
同理可得$BD=800\ \mathrm{m}$，
∴ $CD=BC+BD=800+800=1600\ \mathrm{m}$。
宣传车的速度为200 m/min，因此村庄A能听到宣传的总时间为：
$1600÷200=8\ \mathrm{min}$
答：村庄A总共能听到8分钟的宣传。

【分析】
（1）判断村庄能否听到宣传的核心依据是：村庄到公路的最短距离（即点到直线的垂线段长度）是否小于广播的有效半径1000m。如果最短距离小于半径，说明公路上存在到A点距离不超过1000m的位置，村庄就能听到宣传，反之则不能。
（2）若能听到宣传，首先要找到两个临界位置：宣传车行驶到这两个位置时，到A点的距离恰好等于1000m，两个位置之间的路段就是村庄能听到宣传的行驶路段。过A作MN的垂线构造直角三角形，用勾股定理算出该路段长度后，再根据“时间=路程÷速度”即可求出总时长。
【解析】
(1) 村庄A能听到宣传，理由如下：
∵ 村庄A到公路MN的距离为600 m，$600\ \mathrm{m} ＜ 1000\ \mathrm{m}$，说明公路上存在点P到A的距离小于等于1000m，
∴ 村庄A能听到宣传。
(2) 过点A作$AB⊥ MN$于点B，则$AB=600\ \mathrm{m}$。
设宣传车行驶到点C处时村庄A刚好开始听到宣传，行驶到点D处时村庄A刚好结束听到宣传，则$AC=AD=1000\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{1000^2-600^2}=800\ \mathrm{m}$
同理可得$BD=800\ \mathrm{m}$，
∴ $CD=BC+BD=800+800=1600\ \mathrm{m}$。
已知宣传车的速度为$200\ \mathrm{m/min}$，因此村庄A能听到宣传的总时间为：
$t=\frac{CD}{v}=\frac{1600}{200}=8\ \mathrm{min}$
【答案】
(1) 村庄A能听到宣传，理由见解析；(2) $\boxed{8\ \mathrm{min}}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 点到直线的距离
3. 行程问题计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查数学知识的应用，解题关键是将实际问题转化为几何模型，找到广播有效影响的临界位置，再利用勾股定理计算求解，能很好地锻炼学生把数学知识和实际问题结合的应用能力。
【难度系数】
0.7