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16. (12分)校园里现有一块四边形的空地ABCD,如图13所示.为了强化实践育人,有效开展劳动教育和综合实践活动,学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地.经学校课外实践活动小组测量得知,∠BAD=90°,AD=3 m,AB=4 m,BC=13 m,CD=12 m.根据你所学过的知识解决下列问题:
(1)求证:∠BDC=90°;
(2)求四边形ABCD的面积.
(1)求证:∠BDC=90°;
(2)求四边形ABCD的面积.
答案
(1) 证明：
连接BD。
∵ ∠BAD=90°，AD=3 m，AB=4 m，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 4^2 + 3^2 = 25$，
∴ $BD = 5\ \mathrm{m}$。
∵ $CD=12\ \mathrm{m}$，$BC=13\ \mathrm{m}$，
∴ $BD^2 + CD^2 = 25 + 12^2 = 169$，$BC^2 = 13^2 = 169$，
∴ $BD^2 + CD^2 = BC^2$，
由勾股定理逆定理可得△BDC是直角三角形，且$∠ BDC=90°$。
(2) 解：
四边形ABCD的面积为$△ ABD$和$△ BDC$的面积之和。
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × AD = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6\ (\mathrm{m}^2)$，
$S_{△ BDC} = \frac{1}{2} × BD × CD = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30\ (\mathrm{m}^2)$，
∴ $S_{ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BDC} = 6 + 30 = 36\ (\mathrm{m}^2)$。
答：四边形ABCD的面积为$36\ \mathrm{m}^2$。
连接BD。
∵ ∠BAD=90°，AD=3 m，AB=4 m，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 4^2 + 3^2 = 25$，
∴ $BD = 5\ \mathrm{m}$。
∵ $CD=12\ \mathrm{m}$，$BC=13\ \mathrm{m}$，
∴ $BD^2 + CD^2 = 25 + 12^2 = 169$，$BC^2 = 13^2 = 169$，
∴ $BD^2 + CD^2 = BC^2$，
由勾股定理逆定理可得△BDC是直角三角形，且$∠ BDC=90°$。
(2) 解：
四边形ABCD的面积为$△ ABD$和$△ BDC$的面积之和。
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × AD = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6\ (\mathrm{m}^2)$，
$S_{△ BDC} = \frac{1}{2} × BD × CD = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30\ (\mathrm{m}^2)$，
∴ $S_{ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BDC} = 6 + 30 = 36\ (\mathrm{m}^2)$。
答：四边形ABCD的面积为$36\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 要证明∠BDC=90°，首先观察到△ABD是直角三角形，已知两条直角边的长度，可先通过勾股定理求出斜边BD的长度；得到BD长度后，△BDC的三条边长均为已知量，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，若满足即可通过勾股定理的逆定理证明△BDC是直角三角形，且最长边BC对应的角∠BDC为直角。
(2) 四边形ABCD是不规则四边形，无法直接用公式计算面积，可采用割补法，将其分割为△ABD和△BDC两个直角三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到四边形ABCD的总面积。
【解析】
(1) 证明：
连接BD。
∵ ∠BAD=90°，AD=3 m，AB=4 m，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 4^2 + 3^2 = 25$，
∴ $BD = 5\ \mathrm{m}$。
∵ $CD=12\ \mathrm{m}$，$BC=13\ \mathrm{m}$，
∴ $BD^2 + CD^2 = 25 + 12^2 = 169$，$BC^2 = 13^2 = 169$，
∴ $BD^2 + CD^2 = BC^2$，
由勾股定理逆定理可得△BDC是直角三角形，且$∠ BDC=90°$。
(2) 解：
四边形ABCD的面积为△ABD和△BDC的面积之和。
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × AD = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6\ (\mathrm{m}^2)$，
$S_{△ BDC} = \frac{1}{2} × BD × CD = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30\ (\mathrm{m}^2)$，
∴ $S_{ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BDC} = 6 + 30 = 36\ (\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1) 已证∠BDC=90°；
(2) 四边形ABCD的面积为$36\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的综合应用类题目，解题的核心是通过连接辅助线BD，将不规则四边形转化为两个直角三角形求解，既考察了直角三角形的判定方法，也考察了不规则图形面积的计算思路，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠BDC=90°，首先观察到△ABD是直角三角形，已知两条直角边的长度，可先通过勾股定理求出斜边BD的长度；得到BD长度后，△BDC的三条边长均为已知量，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，若满足即可通过勾股定理的逆定理证明△BDC是直角三角形，且最长边BC对应的角∠BDC为直角。
(2) 四边形ABCD是不规则四边形，无法直接用公式计算面积，可采用割补法，将其分割为△ABD和△BDC两个直角三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到四边形ABCD的总面积。
【解析】
(1) 证明：
连接BD。
∵ ∠BAD=90°，AD=3 m，AB=4 m，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 4^2 + 3^2 = 25$，
∴ $BD = 5\ \mathrm{m}$。
∵ $CD=12\ \mathrm{m}$，$BC=13\ \mathrm{m}$，
∴ $BD^2 + CD^2 = 25 + 12^2 = 169$，$BC^2 = 13^2 = 169$，
∴ $BD^2 + CD^2 = BC^2$，
由勾股定理逆定理可得△BDC是直角三角形，且$∠ BDC=90°$。
(2) 解：
四边形ABCD的面积为△ABD和△BDC的面积之和。
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × AD = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6\ (\mathrm{m}^2)$，
$S_{△ BDC} = \frac{1}{2} × BD × CD = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30\ (\mathrm{m}^2)$，
∴ $S_{ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BDC} = 6 + 30 = 36\ (\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1) 已证∠BDC=90°；
(2) 四边形ABCD的面积为$36\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的综合应用类题目，解题的核心是通过连接辅助线BD，将不规则四边形转化为两个直角三角形求解，既考察了直角三角形的判定方法，也考察了不规则图形面积的计算思路，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
17. (12分)小东和小明要测量校园里的一块四边形场地$ABCD$(如图14所示)的周长,其中边$CD$上有水池及建筑物遮挡,没有办法直接测量其长度.小东经测量知,$AB=AD=5\ \mathrm{m}$,$∠ A=60°$,$BC=12\ \mathrm{m}$,$∠ ABC=150°$.
小明说根据小东所得的数据可以求出$CD$的长度,你同意小明的说法吗?若同意,请求出$CD$的长度;若不同意,请说明理由.
小明说根据小东所得的数据可以求出$CD$的长度,你同意小明的说法吗?若同意,请求出$CD$的长度;若不同意,请说明理由.
答案
解：同意小明的说法。
连接BD，
∵ AB=AD，∠A=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ BD=AB=5 m，∠ABD=60°。
∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠DBC=∠ABC - ∠ABD = 150° - 60° = 90°，
∴ △BCD是直角三角形。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CD^2 = BD^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，
∴ CD=13 m（边长取正值）。
答：CD的长度为13 m。
连接BD，
∵ AB=AD，∠A=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ BD=AB=5 m，∠ABD=60°。
∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠DBC=∠ABC - ∠ABD = 150° - 60° = 90°，
∴ △BCD是直角三角形。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CD^2 = BD^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，
∴ CD=13 m（边长取正值）。
答：CD的长度为13 m。
解析
【分析】
要解决该问题，可通过构造辅助线将四边形转化为熟悉的特殊三角形求解。首先观察已知条件：AB=AD且∠A=60°，符合“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定，因此先连接BD，证明△ABD是等边三角形，得到BD的长度和∠ABD的度数；再结合已知的∠ABC=150°，计算∠DBC的度数，判断△BCD的形状，最后利用特殊三角形的性质求出CD的长度。
【解析】
同意小明的说法，求解过程如下：
连接BD，
∵ AB=AD，∠A=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ BD=AB=5 m，∠ABD=60°。
∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠DBC=∠ABC - ∠ABD = 150° - 60° = 90°，即△BCD是直角三角形。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CD^2 = BD^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，
∵ CD为边长，取正值，
∴ $CD=\sqrt{169}=13\ \mathrm{m}$。
【答案】
同意小明的说法，CD的长度为13 m。
【知识点】
1.等边三角形的判定与性质 2.勾股定理 3.直角三角形的判定
【点评】
本题是四边形转化为三角形求解的典型题目，核心考查转化的数学思想，通过连接对角线将四边形拆分为等边三角形和直角三角形两个特殊图形，利用特殊三角形的性质即可快速求解。解题的关键是根据“邻边相等+60°角”的特征想到构造等边三角形的辅助线做法。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，可通过构造辅助线将四边形转化为熟悉的特殊三角形求解。首先观察已知条件：AB=AD且∠A=60°，符合“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定，因此先连接BD，证明△ABD是等边三角形，得到BD的长度和∠ABD的度数；再结合已知的∠ABC=150°，计算∠DBC的度数，判断△BCD的形状，最后利用特殊三角形的性质求出CD的长度。
【解析】
同意小明的说法，求解过程如下：
连接BD，
∵ AB=AD，∠A=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ BD=AB=5 m，∠ABD=60°。
∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠DBC=∠ABC - ∠ABD = 150° - 60° = 90°，即△BCD是直角三角形。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CD^2 = BD^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，
∵ CD为边长，取正值，
∴ $CD=\sqrt{169}=13\ \mathrm{m}$。
【答案】
同意小明的说法，CD的长度为13 m。
【知识点】
1.等边三角形的判定与性质 2.勾股定理 3.直角三角形的判定
【点评】
本题是四边形转化为三角形求解的典型题目，核心考查转化的数学思想，通过连接对角线将四边形拆分为等边三角形和直角三角形两个特殊图形，利用特殊三角形的性质即可快速求解。解题的关键是根据“邻边相等+60°角”的特征想到构造等边三角形的辅助线做法。
【难度系数】
0.7
