登录
11. 如图8，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心、AB为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则MN的长是。
答案
解：连接AN，由题意可知，每个小正方形边长为1，因此半径$AN=AB=4$。
过点N作网格竖线的垂线，可得A到N的竖直距离为3，在直角三角形中，由勾股定理得A到N的水平距离为$\sqrt{AN^2 - 3^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
点M在过B的竖直线与最上方网格线的交点处，A到M的水平距离为4，因此线段$MN=4-\sqrt{7}$。
答案：$\boldsymbol{4-\sqrt{7}}$
过点N作网格竖线的垂线，可得A到N的竖直距离为3，在直角三角形中，由勾股定理得A到N的水平距离为$\sqrt{AN^2 - 3^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
点M在过B的竖直线与最上方网格线的交点处，A到M的水平距离为4，因此线段$MN=4-\sqrt{7}$。
答案：$\boldsymbol{4-\sqrt{7}}$
解析
【分析】
解题时首先结合圆的性质，明确同圆半径相等，可得AN=AB，先算出AB的长度得到AN的长度；要求MN的长，观察可知MN位于最上方的水平网格线上，MN的长度等于点A到点M的水平距离减去点A到点N的水平距离；接下来构造以AN为斜边的直角三角形，已知直角三角形的斜边AN和竖直直角边的长度，用勾股定理即可算出A到N的水平距离，最后作差就能得到MN的长度。
【解析】
解：连接AN，
∵网格中每个小正方形的边长为1，
∴AB=4，根据同圆的半径相等，可得AN=AB=4。
观察可知点A到最上方网格线的竖直距离为3，在AN、竖直距离、A到N的水平距离构成的直角三角形中，由勾股定理可得：
A到N的水平距离为$\sqrt{AN^2 - 3^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
∵点M是点B正上方与最上方网格线的交点，A到M的水平距离为4，
∴$MN=4-\sqrt{7}$。
【答案】
$\boldsymbol{4-\sqrt{7}}$
【知识点】
圆的半径相等，勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题是网格背景下的几何计算题，解题的关键是利用圆的性质得到相等线段，通过构造直角三角形运用勾股定理求解未知线段，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合圆的性质，明确同圆半径相等，可得AN=AB，先算出AB的长度得到AN的长度；要求MN的长，观察可知MN位于最上方的水平网格线上，MN的长度等于点A到点M的水平距离减去点A到点N的水平距离；接下来构造以AN为斜边的直角三角形，已知直角三角形的斜边AN和竖直直角边的长度，用勾股定理即可算出A到N的水平距离，最后作差就能得到MN的长度。
【解析】
解：连接AN，
∵网格中每个小正方形的边长为1，
∴AB=4，根据同圆的半径相等，可得AN=AB=4。
观察可知点A到最上方网格线的竖直距离为3，在AN、竖直距离、A到N的水平距离构成的直角三角形中，由勾股定理可得：
A到N的水平距离为$\sqrt{AN^2 - 3^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
∵点M是点B正上方与最上方网格线的交点，A到M的水平距离为4，
∴$MN=4-\sqrt{7}$。
【答案】
$\boldsymbol{4-\sqrt{7}}$
【知识点】
圆的半径相等，勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题是网格背景下的几何计算题，解题的关键是利用圆的性质得到相等线段，通过构造直角三角形运用勾股定理求解未知线段，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
12. 如图9,所有阴影部分四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形.若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18,则正方形B的面积为.
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
本题考查勾股定理与正方形面积的结合应用，解题思路如下：首先明确勾股定理的几何意义：直角三角形两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积；观察图形可知左右两个直角三角形共用同一个中间正方形，我们可以先通过右侧直角三角形求出中间正方形的面积，再通过左侧直角三角形求出正方形B的面积。
【解析】
设中间阴影正方形的面积为$ S $。
1. 观察右侧直角三角形：根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应正方形面积满足：$ S + S_C = S_D $。
已知$ S_C=6 $，$ S_D=18 $，代入得：$ S = S_D - S_C = 18 - 6 = 12 $。
2. 观察左侧直角三角形：同理可得$ S_A + S_B = S $。
已知$ S_A=4 $，$ S=12 $，代入得：$ S_B = S - S_A = 12 - 4 = 8 $。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何意义的典型应用，解题关键是找到两个直角三角形共用的中间正方形作为桥梁，建立已知正方形面积和待求正方形面积的关系，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
本题考查勾股定理与正方形面积的结合应用，解题思路如下：首先明确勾股定理的几何意义：直角三角形两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积；观察图形可知左右两个直角三角形共用同一个中间正方形，我们可以先通过右侧直角三角形求出中间正方形的面积，再通过左侧直角三角形求出正方形B的面积。
【解析】
设中间阴影正方形的面积为$ S $。
1. 观察右侧直角三角形：根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应正方形面积满足：$ S + S_C = S_D $。
已知$ S_C=6 $，$ S_D=18 $，代入得：$ S = S_D - S_C = 18 - 6 = 12 $。
2. 观察左侧直角三角形：同理可得$ S_A + S_B = S $。
已知$ S_A=4 $，$ S=12 $，代入得：$ S_B = S - S_A = 12 - 4 = 8 $。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何意义的典型应用，解题关键是找到两个直角三角形共用的中间正方形作为桥梁，建立已知正方形面积和待求正方形面积的关系，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
13. 在一次数学实践活动中,宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形,如图 10 所示.设直角三角形较长的直角边边长为b,较短的直角边边长为a,大正方形边长为c.请你写出a、b、c之间的关系式是.(化到最简)
图 10
图 11
图 10
图 11
答案
$\boldsymbol{a^2 + b^2 = c^2}$
解析
【分析】
本题可通过面积法求解：拼接得到的大正方形面积有两种表示方式，一是直接用大正方形边长$c$计算，二是拆分为4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和。先确定小正方形的边长为$b-a$，再分别计算两种表示方式下的大正方形面积，令二者相等后化简即可得到$a、b、c$的关系。
【解析】
解：大正方形的面积可通过两种方法计算：
1. 由大正方形边长直接计算：$S_{\mathrm{大正方形}}=c^2$
2. 由各部分面积之和计算：
单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
中间小正方形的边长为$b-a$，因此小正方形的面积为$(b-a)^2$；
可得$S_{\mathrm{大正方形}}=2ab+(b-a)^2$。
两种方式表示的面积相等，因此：
$c^2=2ab+(b-a)^2$
展开并化简右侧：
$c^2=2ab+b^2-2ab+a^2$
$c^2=a^2+b^2$
【答案】
$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
1. 勾股定理的证明
2. 面积法构造等量关系
3. 完全平方公式
【点评】
本题是勾股定理经典证明模型“赵爽弦图”的应用，核心考查数形结合思想，通过几何图形面积的不同表达形式建立等式，结合整式化简推导结论，兼顾了几何图形认知和代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
本题可通过面积法求解：拼接得到的大正方形面积有两种表示方式，一是直接用大正方形边长$c$计算，二是拆分为4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和。先确定小正方形的边长为$b-a$，再分别计算两种表示方式下的大正方形面积，令二者相等后化简即可得到$a、b、c$的关系。
【解析】
解：大正方形的面积可通过两种方法计算：
1. 由大正方形边长直接计算：$S_{\mathrm{大正方形}}=c^2$
2. 由各部分面积之和计算：
单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
中间小正方形的边长为$b-a$，因此小正方形的面积为$(b-a)^2$；
可得$S_{\mathrm{大正方形}}=2ab+(b-a)^2$。
两种方式表示的面积相等，因此：
$c^2=2ab+(b-a)^2$
展开并化简右侧：
$c^2=2ab+b^2-2ab+a^2$
$c^2=a^2+b^2$
【答案】
$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
1. 勾股定理的证明
2. 面积法构造等量关系
3. 完全平方公式
【点评】
本题是勾股定理经典证明模型“赵爽弦图”的应用，核心考查数形结合思想，通过几何图形面积的不同表达形式建立等式，结合整式化简推导结论，兼顾了几何图形认知和代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
14. 如图11,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$BC=6$,把$Rt△ ABC$沿$BD$折叠,使点$C$落在$AB$边的点$E$处,则$AD$的长为.
答案
解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，
$\therefore AB = 10$。
由折叠的性质可知：$BE = BC = 6$，$DE = CD$，$∠ BED = ∠ C = 90°$，
$\therefore AE = AB - BE = 10 - 6 = 4$，$∠ AED = 90°$。
设$AD = x$，则$CD = AC - AD = 8 - x$，故$DE = 8 - x$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2 = AE^2 + DE^2$，
即 $x^2 = 4^2 + (8 - x)^2$，
展开得 $x^2 = 16 + 64 - 16x + x^2$，
化简得 $16x = 80$，
解得 $x = 5$。
$\therefore AD$的长为$\boldsymbol{5}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，
$\therefore AB = 10$。
由折叠的性质可知：$BE = BC = 6$，$DE = CD$，$∠ BED = ∠ C = 90°$，
$\therefore AE = AB - BE = 10 - 6 = 4$，$∠ AED = 90°$。
设$AD = x$，则$CD = AC - AD = 8 - x$，故$DE = 8 - x$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2 = AE^2 + DE^2$，
即 $x^2 = 4^2 + (8 - x)^2$，
展开得 $x^2 = 16 + 64 - 16x + x^2$，
化简得 $16x = 80$，
解得 $x = 5$。
$\therefore AD$的长为$\boldsymbol{5}$。
解析
【分析】
解题时首先针对已知的Rt△ABC，已知两条直角边的长度，可优先通过勾股定理求出斜边AB的长度。遇到折叠类问题时，需明确折叠前后对应图形全等，对应边、对应角相等，由此可得到BE、DE的等量关系，同时推出∠AED为直角。要求AD的长，可设AD为未知数，用含未知数的式子表示出DE的长度，最后在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，
$\therefore AB = 10$。
由折叠的性质可知：$BE = BC = 6$，$DE = CD$，$∠ BED = ∠ C = 90°$，
$\therefore AE = AB - BE = 10 - 6 = 4$，$∠ AED = 180° - ∠BED = 90°$。
设$AD = x$，则$CD = AC - AD = 8 - x$，故$DE = 8 - x$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2 = AE^2 + DE^2$，
即 $x^2 = 4^2 + (8 - x)^2$，
展开得 $x^2 = 16 + 64 - 16x + x^2$，
化简得 $16x = 80$，
解得 $x = 5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；一元一次方程应用
【点评】
本题是几何折叠问题的典型基础题，解题关键是利用折叠的性质转化边和角的条件，再结合勾股定理建立方程求解，能很好地考察学生的几何转化能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先针对已知的Rt△ABC，已知两条直角边的长度，可优先通过勾股定理求出斜边AB的长度。遇到折叠类问题时，需明确折叠前后对应图形全等，对应边、对应角相等，由此可得到BE、DE的等量关系，同时推出∠AED为直角。要求AD的长，可设AD为未知数，用含未知数的式子表示出DE的长度，最后在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，
$\therefore AB = 10$。
由折叠的性质可知：$BE = BC = 6$，$DE = CD$，$∠ BED = ∠ C = 90°$，
$\therefore AE = AB - BE = 10 - 6 = 4$，$∠ AED = 180° - ∠BED = 90°$。
设$AD = x$，则$CD = AC - AD = 8 - x$，故$DE = 8 - x$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2 = AE^2 + DE^2$，
即 $x^2 = 4^2 + (8 - x)^2$，
展开得 $x^2 = 16 + 64 - 16x + x^2$，
化简得 $16x = 80$，
解得 $x = 5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；一元一次方程应用
【点评】
本题是几何折叠问题的典型基础题，解题关键是利用折叠的性质转化边和角的条件，再结合勾股定理建立方程求解，能很好地考察学生的几何转化能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共58分)
15.(10分)爱知中学体育组为方便学生使用体育器材,丰富课余生活,增强身体素质,计划在道路m上建立一个体育器材放置点E,同时向C、D两栋教学楼提供器材.已知:如图12,D到道路m的距离DA=20 m,C到道路m的距离CB=10 m,A、B两地的距离AB=50 m.现要求放置点E到C、D两栋教学楼的距离相等.
(1)请利用圆规与直尺在直线m上作出点E(不写作法,保留作图痕迹);
(2)计算器材放置点E到A处的距离.
15.(10分)爱知中学体育组为方便学生使用体育器材,丰富课余生活,增强身体素质,计划在道路m上建立一个体育器材放置点E,同时向C、D两栋教学楼提供器材.已知:如图12,D到道路m的距离DA=20 m,C到道路m的距离CB=10 m,A、B两地的距离AB=50 m.现要求放置点E到C、D两栋教学楼的距离相等.
(1)请利用圆规与直尺在直线m上作出点E(不写作法,保留作图痕迹);
(2)计算器材放置点E到A处的距离.
答案
解：(1) 连接CD，分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线与直线m交于点E，点E即为所求，保留所有作图圆弧痕迹。
(2) 设$AE=x\ \mathrm{m}$，则$BE=(50-x)\ \mathrm{m}$。
由题意可知$DA⊥ m$，$CB⊥ m$，即$∠ DAE=∠ EBC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DAE$中，由勾股定理得：
$DE^2 = AD^2 + AE^2 = 20^2 + x^2$。
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，由勾股定理得：
$CE^2 = BE^2 + BC^2 = (50-x)^2 + 10^2$。
因为$DE=CE$，所以$DE^2=CE^2$，代入得：
$20^2 + x^2 = (50-x)^2 + 10^2$
整理得：
$400 + x^2 = 2600 - 100x + x^2$
消去$x^2$后解得：
$x=22$
答：器材放置点E到A处的距离为22 m。
(2) 设$AE=x\ \mathrm{m}$，则$BE=(50-x)\ \mathrm{m}$。
由题意可知$DA⊥ m$，$CB⊥ m$，即$∠ DAE=∠ EBC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DAE$中，由勾股定理得：
$DE^2 = AD^2 + AE^2 = 20^2 + x^2$。
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，由勾股定理得：
$CE^2 = BE^2 + BC^2 = (50-x)^2 + 10^2$。
因为$DE=CE$，所以$DE^2=CE^2$，代入得：
$20^2 + x^2 = (50-x)^2 + 10^2$
整理得：
$400 + x^2 = 2600 - 100x + x^2$
消去$x^2$后解得：
$x=22$
答：器材放置点E到A处的距离为22 m。
解析
【分析】
(1) 要在直线m上找到到C、D两点距离相等的点E，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只需作出线段CD的垂直平分线，它与直线m的交点即为所求的点E。
(2) 求AE的长度时，由题意可知DA、CB均垂直于直线m，因此△DAE和△EBC都是直角三角形。我们可以设AE=x m，那么BE=(50-x)m，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出DE²和CE²，再结合DE=CE的条件列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接CD，分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线与直线m交于点E，点E即为所求，保留所有作图圆弧痕迹。
(2) 设$AE=x\ \mathrm{m}$，则$BE=(50-x)\ \mathrm{m}$。
由题意可知$DA⊥ m$，$CB⊥ m$，即$∠ DAE=∠ EBC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DAE$中，由勾股定理得：
$DE^2 = AD^2 + AE^2 = 20^2 + x^2$。
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，由勾股定理得：
$CE^2 = BE^2 + BC^2 = (50-x)^2 + 10^2$。
因为$DE=CE$，所以$DE^2=CE^2$，代入得：
$20^2 + x^2 = (50-x)^2 + 10^2$
整理得：
$400 + x^2 = 2600 - 100x + x^2$
消去$x^2$后解得：
$x=22$
【答案】
(1) 作图见解析；(2) $\boxed{22\ \mathrm{m}}$
【知识点】
垂直平分线的性质、勾股定理、方程的应用
【点评】
本题是结合生活实际的几何基础题，既考查了基本作图能力，又考查了利用勾股定理建立方程求解线段长度的方法，是几何与代数结合的典型基础题型，需要熟练掌握相关知识点的应用。
【难度系数】
0.75
(1) 要在直线m上找到到C、D两点距离相等的点E，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只需作出线段CD的垂直平分线，它与直线m的交点即为所求的点E。
(2) 求AE的长度时，由题意可知DA、CB均垂直于直线m，因此△DAE和△EBC都是直角三角形。我们可以设AE=x m，那么BE=(50-x)m，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出DE²和CE²，再结合DE=CE的条件列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接CD，分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线与直线m交于点E，点E即为所求，保留所有作图圆弧痕迹。
(2) 设$AE=x\ \mathrm{m}$，则$BE=(50-x)\ \mathrm{m}$。
由题意可知$DA⊥ m$，$CB⊥ m$，即$∠ DAE=∠ EBC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DAE$中，由勾股定理得：
$DE^2 = AD^2 + AE^2 = 20^2 + x^2$。
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，由勾股定理得：
$CE^2 = BE^2 + BC^2 = (50-x)^2 + 10^2$。
因为$DE=CE$，所以$DE^2=CE^2$，代入得：
$20^2 + x^2 = (50-x)^2 + 10^2$
整理得：
$400 + x^2 = 2600 - 100x + x^2$
消去$x^2$后解得：
$x=22$
【答案】
(1) 作图见解析；(2) $\boxed{22\ \mathrm{m}}$
【知识点】
垂直平分线的性质、勾股定理、方程的应用
【点评】
本题是结合生活实际的几何基础题，既考查了基本作图能力，又考查了利用勾股定理建立方程求解线段长度的方法，是几何与代数结合的典型基础题型，需要熟练掌握相关知识点的应用。
【难度系数】
0.75
