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6. 小彬用3D打印机制作了一个底面周长为8 cm、高为3 cm的圆柱形粮仓模型，如图3，BC是底面直径，AB是高。现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A、C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）
A.$8π$ cm
B.$16π$ cm
C.10 cm
D.5 cm
A.$8π$ cm
B.$16π$ cm
C.10 cm
D.5 cm
答案
C
解析
【分析】
要求圆柱侧面装饰带的最短长度，属于立体图形的最短路径问题，解题思路为：首先将圆柱侧面展开为平面长方形（平面内两点之间线段最短），明确展开后长方形的长对应圆柱底面周长、宽对应圆柱的高；再确定A、C两点在展开图中的位置，BC是底面直径，因此展开后B到C的水平距离为底面周长的一半；最后在直角三角形中用勾股定理求出单段AC的长度，结合装饰带绕侧面一圈的要求，总长度为2倍AC长度即可求解。
【解析】
将圆柱的侧面沿AB剪开，展开得到长方形：
1. 长方形的长 = 圆柱底面周长 = 8 cm，长方形的宽 = 圆柱的高AB = 3 cm；
2. 因为BC是底面直径，所以底面圆周上B到C的弧长为周长的一半，即 $8÷2=4\ \mathrm{cm}$，也就是展开图中直角边BC的长度为4 cm；
3. 在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$
4. 装饰带绕侧面一圈且经过A、C两点，因此最短长度为 $2× AC=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开图；勾股定理的应用；最短路径问题
【点评】
本题核心是将立体图形的最短路径问题转化为平面图形的线段长度问题，解题的关键是正确展开圆柱侧面，准确找到两点在展开图中的相对位置，计算时要注意装饰带是绕侧面一圈，避免漏乘2导致出错。
【难度系数】
0.6
要求圆柱侧面装饰带的最短长度，属于立体图形的最短路径问题，解题思路为：首先将圆柱侧面展开为平面长方形（平面内两点之间线段最短），明确展开后长方形的长对应圆柱底面周长、宽对应圆柱的高；再确定A、C两点在展开图中的位置，BC是底面直径，因此展开后B到C的水平距离为底面周长的一半；最后在直角三角形中用勾股定理求出单段AC的长度，结合装饰带绕侧面一圈的要求，总长度为2倍AC长度即可求解。
【解析】
将圆柱的侧面沿AB剪开，展开得到长方形：
1. 长方形的长 = 圆柱底面周长 = 8 cm，长方形的宽 = 圆柱的高AB = 3 cm；
2. 因为BC是底面直径，所以底面圆周上B到C的弧长为周长的一半，即 $8÷2=4\ \mathrm{cm}$，也就是展开图中直角边BC的长度为4 cm；
3. 在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$
4. 装饰带绕侧面一圈且经过A、C两点，因此最短长度为 $2× AC=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开图；勾股定理的应用；最短路径问题
【点评】
本题核心是将立体图形的最短路径问题转化为平面图形的线段长度问题，解题的关键是正确展开圆柱侧面，准确找到两点在展开图中的相对位置，计算时要注意装饰带是绕侧面一圈，避免漏乘2导致出错。
【难度系数】
0.6
7. 如图4是两个型号的圆柱形笔筒，粗细相同，高度分别是8 cm和12 cm，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为4 cm和2 cm，则铅笔的长为（）
A.19 cm
B.21 cm
C.23 cm
D.25 cm
A.19 cm
B.21 cm
C.23 cm
D.25 cm
答案
C
解析
【分析】
解题时先明确题中的两个不变量：一是两个笔筒粗细相同，即底面直径相等；二是铅笔的总长度固定。铅笔斜放在圆柱形笔筒中时，铅笔在笔筒内部的长度、笔筒的高度、笔筒的底面直径刚好构成直角三角形，其中笔筒内部的铅笔长度为斜边。我们可以通过设未知数，结合勾股定理表示出底面直径的平方，利用直径相等列方程即可求解铅笔长度。
【解析】
设铅笔的长度为$ x $ cm，笔筒的底面直径为$ d $ cm。
根据勾股定理，将铅笔放入高度为8cm的笔筒时：
$ d^2 + 8^2 = (x - 4)^2 $ ①
将铅笔放入高度为12cm的笔筒时：
$ d^2 + 12^2 = (x - 2)^2 $ ②
因为两个笔筒底面直径相同，所以$ d^2 $相等，联立①②消去$ d^2 $可得：
$ (x - 4)^2 - 8^2 = (x - 2)^2 - 12^2 $
展开计算：
$ x^2 - 8x + 16 - 64 = x^2 - 4x + 4 - 144 $
整理得：$ -4x = -92 $
解得：$ x = 23 $
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活场景出题，解题关键是找到题中的不变量，将实际场景转化为直角三角形模型，利用勾股定理建立等量关系求解，考查了建模思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先明确题中的两个不变量：一是两个笔筒粗细相同，即底面直径相等；二是铅笔的总长度固定。铅笔斜放在圆柱形笔筒中时，铅笔在笔筒内部的长度、笔筒的高度、笔筒的底面直径刚好构成直角三角形，其中笔筒内部的铅笔长度为斜边。我们可以通过设未知数，结合勾股定理表示出底面直径的平方，利用直径相等列方程即可求解铅笔长度。
【解析】
设铅笔的长度为$ x $ cm，笔筒的底面直径为$ d $ cm。
根据勾股定理，将铅笔放入高度为8cm的笔筒时：
$ d^2 + 8^2 = (x - 4)^2 $ ①
将铅笔放入高度为12cm的笔筒时：
$ d^2 + 12^2 = (x - 2)^2 $ ②
因为两个笔筒底面直径相同，所以$ d^2 $相等，联立①②消去$ d^2 $可得：
$ (x - 4)^2 - 8^2 = (x - 2)^2 - 12^2 $
展开计算：
$ x^2 - 8x + 16 - 64 = x^2 - 4x + 4 - 144 $
整理得：$ -4x = -92 $
解得：$ x = 23 $
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活场景出题，解题关键是找到题中的不变量，将实际场景转化为直角三角形模型，利用勾股定理建立等量关系求解，考查了建模思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
8. 赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果.古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理.图5①是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”.若图5①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图5②，则图5②中大正方形的面积为（）
A.44
B.40
C.36
D.24
A.44
B.40
C.36
D.24
答案
A
解析
【分析】
解题时先结合赵爽弦图的特征分析各边长的关系：首先图①中大正方形的边长为直角三角形的弦c，其面积对应c²，结合勾股定理可直接得到a²+b²的值；其次图①中小正方形的边长为股与勾的差(b-a)，其面积对应(b-a)²，将该式展开后代入a²+b²的值即可求出2ab的值；最后观察图②可知新的大正方形边长为勾与股的和(a+b)，其面积为(a+b)²，展开后将已求的a²+b²和2ab代入即可计算出结果。
【解析】
设直角三角形的勾长为a，股长为b，弦长为c。
1. 根据图①的大正方形面积为24，可得：$c^2=24$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2 = 24$。
2. 图①中小正方形面积为4，小正方形边长为$b-a$，因此：$(b-a)^2=4$，展开完全平方公式得$a^2 - 2ab + b^2 = 4$。
3. 将$a^2 + b^2=24$代入上式，得$24 - 2ab = 4$，解得$2ab=20$。
4. 观察图②，拼成的大正方形边长为$a+b$，其面积为$(a+b)^2$，展开得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 24 + 20 = 44$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；正方形面积计算
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为背景，考查数形结合思想的应用，需要学生准确从图形中提取边长的数量关系，将几何图形的面积计算和代数的完全平方公式、勾股定理结合起来求解，是几何代数综合类的基础典型题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合赵爽弦图的特征分析各边长的关系：首先图①中大正方形的边长为直角三角形的弦c，其面积对应c²，结合勾股定理可直接得到a²+b²的值；其次图①中小正方形的边长为股与勾的差(b-a)，其面积对应(b-a)²，将该式展开后代入a²+b²的值即可求出2ab的值；最后观察图②可知新的大正方形边长为勾与股的和(a+b)，其面积为(a+b)²，展开后将已求的a²+b²和2ab代入即可计算出结果。
【解析】
设直角三角形的勾长为a，股长为b，弦长为c。
1. 根据图①的大正方形面积为24，可得：$c^2=24$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2 = 24$。
2. 图①中小正方形面积为4，小正方形边长为$b-a$，因此：$(b-a)^2=4$，展开完全平方公式得$a^2 - 2ab + b^2 = 4$。
3. 将$a^2 + b^2=24$代入上式，得$24 - 2ab = 4$，解得$2ab=20$。
4. 观察图②，拼成的大正方形边长为$a+b$，其面积为$(a+b)^2$，展开得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 24 + 20 = 44$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；正方形面积计算
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为背景，考查数形结合思想的应用，需要学生准确从图形中提取边长的数量关系，将几何图形的面积计算和代数的完全平方公式、勾股定理结合起来求解，是几何代数综合类的基础典型题。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共18分)
9. 如图6,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$.若$AB=15$,则$AB^2+AC^2+BC^2=$.
9. 如图6,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$.若$AB=15$,则$AB^2+AC^2+BC^2=$.
答案
$\boldsymbol{450}$
解析
【分析】
首先明确题目给出的是直角三角形，∠C为直角，斜边是AB。解题时先回忆勾股定理的内容：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，由此可得AC²+BC²=AB²，将该关系代入待求的式子，就能把原式转化为只含AB的表达式，最后代入AB的数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°
∴ △ABC是直角三角形，AB为斜边
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
∴ $AB^2 + AC^2 + BC^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$
又
∵ $AB=15$
∴ $2AB^2 = 2×15^2 = 2×225 = 450$
【答案】
$\boldsymbol{450}$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是基础题型，主要考查勾股定理的直接应用，解题的关键是利用勾股定理完成直角边平方和与斜边平方的替换，简化计算过程，计算时注意平方运算的准确性即可。
【难度系数】
0.9
首先明确题目给出的是直角三角形，∠C为直角，斜边是AB。解题时先回忆勾股定理的内容：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，由此可得AC²+BC²=AB²，将该关系代入待求的式子，就能把原式转化为只含AB的表达式，最后代入AB的数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°
∴ △ABC是直角三角形，AB为斜边
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
∴ $AB^2 + AC^2 + BC^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$
又
∵ $AB=15$
∴ $2AB^2 = 2×15^2 = 2×225 = 450$
【答案】
$\boldsymbol{450}$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是基础题型，主要考查勾股定理的直接应用，解题的关键是利用勾股定理完成直角边平方和与斜边平方的替换，简化计算过程，计算时注意平方运算的准确性即可。
【难度系数】
0.9
10. 如图7,以$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边为边分别向外作正方形,它们的面积分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$.若$S_1+S_2+S_3=90$,则$S_1$的值为.
答案
$\boldsymbol{45}$
解析
【分析】
解题时首先明确正方形面积与直角三角形边长的对应关系：正方形的面积等于对应边长的平方，因此$S_1$、$S_2$、$S_3$分别对应$\mathrm{Rt}△ABC$三条边的平方。再结合勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可推导出两个直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积，即$S_2+S_3=S_1$。最后将该关系代入已知的面积和条件，即可求出$S_1$的值。
【解析】
设$\mathrm{Rt}△ABC$的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
根据正方形面积公式可得：$S_2=a^2$，$S_3=b^2$，$S_1=c^2$。
∵$△ ABC$是直角三角形，由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$，
∴$S_2 + S_3 = S_1$。
已知$S_1 + S_2 + S_3 = 90$，将$S_2 + S_3 = S_1$代入得：
$S_1 + S_1 = 90$，
即$2S_1=90$，
解得$S_1=45$。
【答案】
$\boldsymbol{45}$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积相结合，核心是理解勾股定理的几何意义，即直角三角形两条直角边对应的正方形面积和等于斜边对应的正方形面积，解题过程中只要找准面积和边长的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确正方形面积与直角三角形边长的对应关系：正方形的面积等于对应边长的平方，因此$S_1$、$S_2$、$S_3$分别对应$\mathrm{Rt}△ABC$三条边的平方。再结合勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可推导出两个直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积，即$S_2+S_3=S_1$。最后将该关系代入已知的面积和条件，即可求出$S_1$的值。
【解析】
设$\mathrm{Rt}△ABC$的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
根据正方形面积公式可得：$S_2=a^2$，$S_3=b^2$，$S_1=c^2$。
∵$△ ABC$是直角三角形，由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$，
∴$S_2 + S_3 = S_1$。
已知$S_1 + S_2 + S_3 = 90$，将$S_2 + S_3 = S_1$代入得：
$S_1 + S_1 = 90$，
即$2S_1=90$，
解得$S_1=45$。
【答案】
$\boldsymbol{45}$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积相结合，核心是理解勾股定理的几何意义，即直角三角形两条直角边对应的正方形面积和等于斜边对应的正方形面积，解题过程中只要找准面积和边长的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
