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1. 下列各组数是勾股数的是 （）
A.4、5、6
B.6、8、10
C.$3^2$、$4^2$、$5^2$
D.7、12、13
A.4、5、6
B.6、8、10
C.$3^2$、$4^2$、$5^2$
D.7、12、13
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确勾股数的判定标准：勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是三个数中两个较小数的平方和等于最大数的平方。接下来我们只需按照这个标准逐个验证四个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数，我们逐个验证选项：
A选项：$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不满足勾股定理，不是勾股数；
B选项：$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，即$6^2+8^2=10^2$，且三个数均为正整数，是勾股数；
C选项：三个数分别为$9$、$16$、$25$，$9^2+16^2=81+256=337$，$25^2=625$，$337≠625$，不满足勾股定理，不是勾股数；
D选项：$7^2+12^2=49+144=193$，$13^2=169$，$193≠169$，不满足勾股定理，不是勾股数。
综上，符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的概念；勾股定理的应用
【点评】
本题考查勾股数的判定，属于基础题型，解题时要牢记勾股数的两个判定条件，不能仅凭数字特征直接判断，需结合勾股定理计算验证，熟练记忆常见的勾股数可以提升解题速度。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确勾股数的判定标准：勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是三个数中两个较小数的平方和等于最大数的平方。接下来我们只需按照这个标准逐个验证四个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数，我们逐个验证选项：
A选项：$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不满足勾股定理，不是勾股数；
B选项：$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，即$6^2+8^2=10^2$，且三个数均为正整数，是勾股数；
C选项：三个数分别为$9$、$16$、$25$，$9^2+16^2=81+256=337$，$25^2=625$，$337≠625$，不满足勾股定理，不是勾股数；
D选项：$7^2+12^2=49+144=193$，$13^2=169$，$193≠169$，不满足勾股定理，不是勾股数。
综上，符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的概念；勾股定理的应用
【点评】
本题考查勾股数的判定，属于基础题型，解题时要牢记勾股数的两个判定条件，不能仅凭数字特征直接判断，需结合勾股定理计算验证，熟练记忆常见的勾股数可以提升解题速度。
【难度系数】
0.8
2. 下列各图是以直角三角形三边为边,在三角形外部画正方形得到的,每个正方形中的数字及字母S表示该正方形的面积.其中S的值恰好等于10的是 ()
答案
$\boxed{D}$
解析
【分析】
解决本题的核心是运用勾股定理的几何意义：以直角三角形三边为边向外作正方形时，两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。我们只需结合每个图形的直角位置，判断哪些正方形对应直角边、哪个对应斜边，再列式计算S的值，选出等于10的选项即可。
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，正方形面积等于边长的平方，因此直角边对应正方形的面积和等于斜边对应正方形的面积：
选项A：S是斜边对应的正方形面积，故$ S = 5 + 15 = 20 $，不符合要求；
选项B：S是斜边对应的正方形面积，故$ S = 8 + 6 = 14 $，不符合要求；
选项C：8是斜边对应的正方形面积，故$ 6 + S = 8 $，解得$ S = 2 $，不符合要求；
选项D：15是斜边对应的正方形面积，故$ 5 + S = 15 $，解得$ S = 10 $，符合要求。
【答案】
$\boxed{D}$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积相结合，无需计算边长，直接通过面积的和差关系即可求解，是勾股定理几何应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是运用勾股定理的几何意义：以直角三角形三边为边向外作正方形时，两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。我们只需结合每个图形的直角位置，判断哪些正方形对应直角边、哪个对应斜边，再列式计算S的值，选出等于10的选项即可。
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，正方形面积等于边长的平方，因此直角边对应正方形的面积和等于斜边对应正方形的面积：
选项A：S是斜边对应的正方形面积，故$ S = 5 + 15 = 20 $，不符合要求；
选项B：S是斜边对应的正方形面积，故$ S = 8 + 6 = 14 $，不符合要求；
选项C：8是斜边对应的正方形面积，故$ 6 + S = 8 $，解得$ S = 2 $，不符合要求；
选项D：15是斜边对应的正方形面积，故$ 5 + S = 15 $，解得$ S = 10 $，符合要求。
【答案】
$\boxed{D}$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积相结合，无需计算边长，直接通过面积的和差关系即可求解，是勾股定理几何应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 用反证法证明“若$a+b≥0$，则a、b至少有一个不小于0”时，第一步应假设 （）
A.a、b都小于0
B.a、b不都小于0
C.a、b都不小于0
D.a、b都大于0
A.a、b都小于0
B.a、b不都小于0
C.a、b都不小于0
D.a、b都大于0
答案
A
解析
【分析】
解答这道题首先要回忆反证法的基本步骤：反证法第一步需要假设原命题的结论不成立，也就是找到原命题结论的反面。首先拆分原命题，结论是“a、b至少有一个不小于0”，我们先明确“至少有一个不小于0”的含义：a≥0或b≥0（包含两个都≥0的情况），它的反面就是不存在任何一个数不小于0，也就是a和b两个数都小于0，对应选项即可得到答案。
【解析】
反证法的第一步为：假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论是“a、b至少有一个不小于0”，该结论的否定为“a、b都小于0”，因此第一步应假设a、b都小于0。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题核心是准确找到原命题结论的否定形式，需注意“至少有一个”这类存在量词的否定对应“全部都”这类全称量词，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
解答这道题首先要回忆反证法的基本步骤：反证法第一步需要假设原命题的结论不成立，也就是找到原命题结论的反面。首先拆分原命题，结论是“a、b至少有一个不小于0”，我们先明确“至少有一个不小于0”的含义：a≥0或b≥0（包含两个都≥0的情况），它的反面就是不存在任何一个数不小于0，也就是a和b两个数都小于0，对应选项即可得到答案。
【解析】
反证法的第一步为：假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论是“a、b至少有一个不小于0”，该结论的否定为“a、b都小于0”，因此第一步应假设a、b都小于0。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题核心是准确找到原命题结论的否定形式，需注意“至少有一个”这类存在量词的否定对应“全部都”这类全称量词，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
4.“方胜”是中国古代的一种首饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥. 如图1，将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1 cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D、B'之间的距离为 （）
A.1 cm
B.2 cm
C.$(\sqrt{2}-1)$ cm
D.$(\sqrt{8}-1)$ cm
A.1 cm
B.2 cm
C.$(\sqrt{2}-1)$ cm
D.$(\sqrt{8}-1)$ cm
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先，要求点D和B'的距离，观察可知D、B'、B三点共线，因此只需先求出原正方形对角线BD的长度，再结合平移的距离求出BB'的长度，最后用BD的长度减去BB'的长度即可得到DB'的长度。第一步计算BD的长度时，可利用正方形的性质结合勾股定理求解；第二步确定BB'的长度时，利用平移的性质，平移距离等于对应点连线的长度，题目已给出平移距离为1cm，因此BB'=1cm。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为2cm的正方形，
∴BC=CD=2cm，∠C=90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}\ \mathrm{cm}$，
∵正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，
根据平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，
∴$BB'=1\ \mathrm{cm}$，且B'在线段BD上，
∴$DB'=BD-BB'=(\sqrt{8}-1)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，平移的性质，正方形的性质
【点评】
本题结合传统“方胜”图案出题，将数学知识与传统文化结合，趣味性较强，解题的核心是掌握平移的性质和正方形对角线的计算方法，属于对基础知识的综合考察。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先，要求点D和B'的距离，观察可知D、B'、B三点共线，因此只需先求出原正方形对角线BD的长度，再结合平移的距离求出BB'的长度，最后用BD的长度减去BB'的长度即可得到DB'的长度。第一步计算BD的长度时，可利用正方形的性质结合勾股定理求解；第二步确定BB'的长度时，利用平移的性质，平移距离等于对应点连线的长度，题目已给出平移距离为1cm，因此BB'=1cm。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为2cm的正方形，
∴BC=CD=2cm，∠C=90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}\ \mathrm{cm}$，
∵正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，
根据平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，
∴$BB'=1\ \mathrm{cm}$，且B'在线段BD上，
∴$DB'=BD-BB'=(\sqrt{8}-1)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，平移的性质，正方形的性质
【点评】
本题结合传统“方胜”图案出题，将数学知识与传统文化结合，趣味性较强，解题的核心是掌握平移的性质和正方形对角线的计算方法，属于对基础知识的综合考察。
【难度系数】
0.7
5. 如图2，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5 m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图2①所示，人只要移至距该门口4 m及4 m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如图2②所示，一个身高1.5 m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶C到门铃A的距离为 （）
A.3 m
B.4 m
C.5 m
D.6 m
A.3 m
B.4 m
C.5 m
D.6 m
答案
C
解析
【分析】
遇到这类实际应用类的几何题，首先要将实际场景转化为数学模型：我们过学生头顶C作水平线垂直于门铃A所在的墙面，垂足记为B，即可得到Rt△ABC。首先计算垂直方向的边长AB：门铃离地高度减去学生身高就是AB的长度；水平方向的边长BC就是学生到门口的距离（门铃恰好响起说明学生到门口距离为4m），最后用勾股定理即可求出斜边AC的长度，也就是学生头顶到门铃的距离。
【解析】
过点C作CB⊥AB，垂足为B，由题意可知：
AB = 4.5m - 1.5m = 3m，
BC = 4m，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
代入数值计算：
$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
∵AC为距离，取正数
∴$AC = 5m$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，解题的核心是准确构造直角三角形，找到对应直角边的长度，再代入勾股定理计算即可，解题时要注意区分各段长度的实际意义，避免代错数值。
【难度系数】
0.8
遇到这类实际应用类的几何题，首先要将实际场景转化为数学模型：我们过学生头顶C作水平线垂直于门铃A所在的墙面，垂足记为B，即可得到Rt△ABC。首先计算垂直方向的边长AB：门铃离地高度减去学生身高就是AB的长度；水平方向的边长BC就是学生到门口的距离（门铃恰好响起说明学生到门口距离为4m），最后用勾股定理即可求出斜边AC的长度，也就是学生头顶到门铃的距离。
【解析】
过点C作CB⊥AB，垂足为B，由题意可知：
AB = 4.5m - 1.5m = 3m，
BC = 4m，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
代入数值计算：
$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
∵AC为距离，取正数
∴$AC = 5m$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，解题的核心是准确构造直角三角形，找到对应直角边的长度，再代入勾股定理计算即可，解题时要注意区分各段长度的实际意义，避免代错数值。
【难度系数】
0.8
