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12. 某校“综合与实践”小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动,他们经过思考、讨论,制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量,测量结果见下表(不完整).
(1)请根据以上测量结果,帮助小组求出学校旗杆AB的高.
(2)如图16,淇淇同学进行第三次操作:沿射线BD方向前行至点E处,再次将绳子拉直,测得此时绳子末端F到地面的距离EF=1 m,求点F到旗杆AB的距离.(图中的点均在同一平面内,结果保留根号)
(1)请根据以上测量结果,帮助小组求出学校旗杆AB的高.
(2)如图16,淇淇同学进行第三次操作:沿射线BD方向前行至点E处,再次将绳子拉直,测得此时绳子末端F到地面的距离EF=1 m,求点F到旗杆AB的距离.(图中的点均在同一平面内,结果保留根号)
答案
解：
(1) 设旗杆AB的高为$x\ \mathrm{m}$，由题意可知，绳子的总长度为$(x+2)\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ BD$，$\therefore ∠ ABD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB^2 + BD^2 = AD^2$
代入$BD=6$，$AD=x+2$，得：
$x^2 + 6^2 = (x+2)^2$
展开化简：
$x^2 + 36 = x^2 + 4x + 4$
解得$x=8$。
(2) 过点$F$作$FG⊥ AB$于点$G$。
$\because AB⊥ BD$，$EF⊥ BD$，$\therefore$ 四边形$BEFG$是矩形，
$\therefore BG=EF=1\ \mathrm{m}$，
$\therefore AG = AB - BG = 8 - 1 =7\ \mathrm{m}$。
由绳子长度不变得$AF=AD=8+2=10\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AGF$中，由勾股定理得：
$AG^2 + GF^2 = AF^2$
代入数值：
$7^2 + GF^2 = 10^2$
解得$GF^2=51$，$\because GF＞0$，$\therefore GF=\sqrt{51}\ \mathrm{m}$。
答：学校旗杆$AB$的高为$8\ \mathrm{m}$，点$F$到旗杆$AB$的距离为$\sqrt{51}\ \mathrm{m}$。
(1) 设旗杆AB的高为$x\ \mathrm{m}$，由题意可知，绳子的总长度为$(x+2)\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ BD$，$\therefore ∠ ABD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB^2 + BD^2 = AD^2$
代入$BD=6$，$AD=x+2$，得：
$x^2 + 6^2 = (x+2)^2$
展开化简：
$x^2 + 36 = x^2 + 4x + 4$
解得$x=8$。
(2) 过点$F$作$FG⊥ AB$于点$G$。
$\because AB⊥ BD$，$EF⊥ BD$，$\therefore$ 四边形$BEFG$是矩形，
$\therefore BG=EF=1\ \mathrm{m}$，
$\therefore AG = AB - BG = 8 - 1 =7\ \mathrm{m}$。
由绳子长度不变得$AF=AD=8+2=10\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AGF$中，由勾股定理得：
$AG^2 + GF^2 = AF^2$
代入数值：
$7^2 + GF^2 = 10^2$
解得$GF^2=51$，$\because GF＞0$，$\therefore GF=\sqrt{51}\ \mathrm{m}$。
答：学校旗杆$AB$的高为$8\ \mathrm{m}$，点$F$到旗杆$AB$的距离为$\sqrt{51}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
（1）首先由题意可知旗杆AB垂直于地面BD，因此△ABD为直角三角形，已知绳子长度比旗杆高度多2m，BD长为6m，我们可设旗杆AB的高为x m，那么绳子长度（即Rt△ABD的斜边AD长）为(x+2)m，直接利用勾股定理列一元一次方程即可求解旗杆高度。
（2）要求点F到旗杆AB的距离，可过点F作FG⊥AB于点G，FG即为所求距离。由AB、EF都垂直于BD，可判定四边形BEFG是矩形，利用矩形对边相等的性质得BG=EF=1m，进而求出AG的长度；再结合绳子长度不变，可得AF=AD，最后在Rt△AGF中利用勾股定理即可求出FG的长度。
【解析】
(1) 设旗杆AB的高为$x\ \mathrm{m}$，由题意可知，绳子的总长度为$(x+2)\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ BD$，$\therefore ∠ ABD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB^2 + BD^2 = AD^2$
代入$BD=6$，$AD=x+2$，得：
$x^2 + 6^2 = (x+2)^2$
展开化简：
$x^2 + 36 = x^2 + 4x + 4$
解得$x=8$。
(2) 过点$F$作$FG⊥ AB$于点$G$。
$\because AB⊥ BD$，$EF⊥ BD$，$\therefore$ 四边形$BEFG$是矩形，
$\therefore BG=EF=1\ \mathrm{m}$，
$\therefore AG = AB - BG = 8 - 1 =7\ \mathrm{m}$。
由绳子长度不变得$AF=AD=8+2=10\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AGF$中，由勾股定理得：
$AG^2 + GF^2 = AF^2$
代入数值：
$7^2 + GF^2 = 10^2$
解得$GF^2=51$，$\because GF＞0$，$\therefore GF=\sqrt{51}\ \mathrm{m}$。
【答案】
学校旗杆$AB$的高为$8\ \mathrm{m}$，点$F$到旗杆$AB$的距离为$\sqrt{51}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题以实际测量旗杆高度为背景，将生活中的实际问题转化为几何模型，重点考查勾股定理和矩形性质的灵活运用，解题时要注意抓住绳子长度不变这一隐含条件，合理构造辅助线即可顺利求解，能有效提升学生的数学建模和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）首先由题意可知旗杆AB垂直于地面BD，因此△ABD为直角三角形，已知绳子长度比旗杆高度多2m，BD长为6m，我们可设旗杆AB的高为x m，那么绳子长度（即Rt△ABD的斜边AD长）为(x+2)m，直接利用勾股定理列一元一次方程即可求解旗杆高度。
（2）要求点F到旗杆AB的距离，可过点F作FG⊥AB于点G，FG即为所求距离。由AB、EF都垂直于BD，可判定四边形BEFG是矩形，利用矩形对边相等的性质得BG=EF=1m，进而求出AG的长度；再结合绳子长度不变，可得AF=AD，最后在Rt△AGF中利用勾股定理即可求出FG的长度。
【解析】
(1) 设旗杆AB的高为$x\ \mathrm{m}$，由题意可知，绳子的总长度为$(x+2)\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ BD$，$\therefore ∠ ABD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB^2 + BD^2 = AD^2$
代入$BD=6$，$AD=x+2$，得：
$x^2 + 6^2 = (x+2)^2$
展开化简：
$x^2 + 36 = x^2 + 4x + 4$
解得$x=8$。
(2) 过点$F$作$FG⊥ AB$于点$G$。
$\because AB⊥ BD$，$EF⊥ BD$，$\therefore$ 四边形$BEFG$是矩形，
$\therefore BG=EF=1\ \mathrm{m}$，
$\therefore AG = AB - BG = 8 - 1 =7\ \mathrm{m}$。
由绳子长度不变得$AF=AD=8+2=10\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AGF$中，由勾股定理得：
$AG^2 + GF^2 = AF^2$
代入数值：
$7^2 + GF^2 = 10^2$
解得$GF^2=51$，$\because GF＞0$，$\therefore GF=\sqrt{51}\ \mathrm{m}$。
【答案】
学校旗杆$AB$的高为$8\ \mathrm{m}$，点$F$到旗杆$AB$的距离为$\sqrt{51}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题以实际测量旗杆高度为背景，将生活中的实际问题转化为几何模型，重点考查勾股定理和矩形性质的灵活运用，解题时要注意抓住绳子长度不变这一隐含条件，合理构造辅助线即可顺利求解，能有效提升学生的数学建模和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
