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10. 如图13,某中学有一块不规则四边形的空地ABCD,学校计划在空地上铺悬浮地板,经测量,∠ABC=90°,BC=6 m,AB=8 m,AD=26 m,CD=24 m.
(1)求空地ABCD的面积.
(2)若每铺1 m²的悬浮地板需要120元,则总共需投入多少元?
(1)求空地ABCD的面积.
(2)若每铺1 m²的悬浮地板需要120元,则总共需投入多少元?
答案
解：(1) 连接AC。
∵ ∠ABC=90°，AB=8 m，BC=6 m，
由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，
∴ $AC = 10\ \mathrm{m}$。
在△ACD中，$AC=10\ \mathrm{m}$，$CD=24\ \mathrm{m}$，$AD=26\ \mathrm{m}$，
∵ $AC^2 + CD^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$，
$AD^2 = 26^2 = 676$，
∴ $AC^2 + CD^2 = AD^2$，
∴ △ACD是直角三角形，$∠ ACD=90°$。
∴ $S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD}$
$= \frac{1}{2} × AB × BC + \frac{1}{2} × AC × CD$
$= \frac{1}{2} × 8 × 6 + \frac{1}{2} × 10 × 24$
$= 24 + 120$
$= 144\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 总投入费用为：$144 × 120 = 17280\ (\mathrm{元})$
答：(1) 空地ABCD的面积为$144\ \mathrm{m}^2$；(2) 总共需投入17280元。
∵ ∠ABC=90°，AB=8 m，BC=6 m，
由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，
∴ $AC = 10\ \mathrm{m}$。
在△ACD中，$AC=10\ \mathrm{m}$，$CD=24\ \mathrm{m}$，$AD=26\ \mathrm{m}$，
∵ $AC^2 + CD^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$，
$AD^2 = 26^2 = 676$，
∴ $AC^2 + CD^2 = AD^2$，
∴ △ACD是直角三角形，$∠ ACD=90°$。
∴ $S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD}$
$= \frac{1}{2} × AB × BC + \frac{1}{2} × AC × CD$
$= \frac{1}{2} × 8 × 6 + \frac{1}{2} × 10 × 24$
$= 24 + 120$
$= 144\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 总投入费用为：$144 × 120 = 17280\ (\mathrm{元})$
答：(1) 空地ABCD的面积为$144\ \mathrm{m}^2$；(2) 总共需投入17280元。
解析
【分析】
要求不规则四边形ABCD的面积，没有直接可用的面积公式，因此考虑连接AC作辅助线，将四边形分割为两个三角形求解。首先在Rt△ABC中，已知两条直角边的长度，可通过勾股定理求出斜边AC的长度；再将AC的长度代入△ACD的三边中，利用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形后，分别计算两个直角三角形的面积，求和即可得到四边形的总面积。第二问用求得的总面积乘每平方米悬浮地板的费用，就能得出总投入金额。
【解析】
(1) 连接AC。
∵ ∠ABC=90°，AB=8 m，BC=6 m，
由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，
∴ $AC = 10\ \mathrm{m}$。
在△ACD中，$AC=10\ \mathrm{m}$，$CD=24\ \mathrm{m}$，$AD=26\ \mathrm{m}$，
∵ $AC^2 + CD^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$，
$AD^2 = 26^2 = 676$，
∴ $AC^2 + CD^2 = AD^2$，
∴ △ACD是直角三角形，$∠ACD=90°$。
∴ $S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ABC} + S_{△ACD}$
$= \frac{1}{2} × AB × BC + \frac{1}{2} × AC × CD$
$= \frac{1}{2} × 8 × 6 + \frac{1}{2} × 10 × 24$
$= 24 + 120$
$= 144\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 总投入费用为：$144 × 120 = 17280\ (\mathrm{元})$
【答案】
(1) 空地ABCD的面积为$144\ \mathrm{m}^2$；(2) 总共需投入17280元。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类题目，解题的关键是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形，将陌生的不规则图形面积问题转化为熟悉的直角三角形面积问题，考查了对勾股定理及其逆定理的应用能力，以及转化思想的运用。
【难度系数】
0.8
要求不规则四边形ABCD的面积，没有直接可用的面积公式，因此考虑连接AC作辅助线，将四边形分割为两个三角形求解。首先在Rt△ABC中，已知两条直角边的长度，可通过勾股定理求出斜边AC的长度；再将AC的长度代入△ACD的三边中，利用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形后，分别计算两个直角三角形的面积，求和即可得到四边形的总面积。第二问用求得的总面积乘每平方米悬浮地板的费用，就能得出总投入金额。
【解析】
(1) 连接AC。
∵ ∠ABC=90°，AB=8 m，BC=6 m，
由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，
∴ $AC = 10\ \mathrm{m}$。
在△ACD中，$AC=10\ \mathrm{m}$，$CD=24\ \mathrm{m}$，$AD=26\ \mathrm{m}$，
∵ $AC^2 + CD^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$，
$AD^2 = 26^2 = 676$，
∴ $AC^2 + CD^2 = AD^2$，
∴ △ACD是直角三角形，$∠ACD=90°$。
∴ $S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ABC} + S_{△ACD}$
$= \frac{1}{2} × AB × BC + \frac{1}{2} × AC × CD$
$= \frac{1}{2} × 8 × 6 + \frac{1}{2} × 10 × 24$
$= 24 + 120$
$= 144\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 总投入费用为：$144 × 120 = 17280\ (\mathrm{元})$
【答案】
(1) 空地ABCD的面积为$144\ \mathrm{m}^2$；(2) 总共需投入17280元。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类题目，解题的关键是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形，将陌生的不规则图形面积问题转化为熟悉的直角三角形面积问题，考查了对勾股定理及其逆定理的应用能力，以及转化思想的运用。
【难度系数】
0.8
11. 如图14,一只蜘蛛在一个长方体木块的顶点A处,一只苍蝇在这个长方体上与顶点A相对的B处,蜘蛛急于捉住苍蝇,沿着长方体的表面向上爬,它要从顶点A爬到顶点B处,有无数条路线.其中最短的路线长度是多少?
答案
解：分三种情况将长方体表面展开，利用勾股定理计算A、B两点间的线段长度：
① 把长为4、高为6的侧面和长为3、高为6的侧面展开在同一平面，得到直角三角形的两条直角边分别为$4+3=7$，$6$，
由勾股定理得此时AB的长度为：$\sqrt{7^2 + 6^2} = \sqrt{85}$；
② 把长为4、高为6的侧面和长为4、宽为3的上底面展开在同一平面，得到直角三角形的两条直角边分别为$4$，$6+3=9$，
由勾股定理得此时AB的长度为：$\sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{97}$；
③ 把长为3、高为6的侧面和长为4、宽为3的上底面展开在同一平面，得到直角三角形的两条直角边分别为$3$，$4+6=10$，
由勾股定理得此时AB的长度为：$\sqrt{3^2 + 10^2} = \sqrt{109}$。
因为$\sqrt{85} ＜ \sqrt{97} ＜ \sqrt{109}$，所以最短路线长度为$\sqrt{85}$。
答：最短的路线长度是$\sqrt{85}$。
① 把长为4、高为6的侧面和长为3、高为6的侧面展开在同一平面，得到直角三角形的两条直角边分别为$4+3=7$，$6$，
由勾股定理得此时AB的长度为：$\sqrt{7^2 + 6^2} = \sqrt{85}$；
② 把长为4、高为6的侧面和长为4、宽为3的上底面展开在同一平面，得到直角三角形的两条直角边分别为$4$，$6+3=9$，
由勾股定理得此时AB的长度为：$\sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{97}$；
③ 把长为3、高为6的侧面和长为4、宽为3的上底面展开在同一平面，得到直角三角形的两条直角边分别为$3$，$4+6=10$，
由勾股定理得此时AB的长度为：$\sqrt{3^2 + 10^2} = \sqrt{109}$。
因为$\sqrt{85} ＜ \sqrt{97} ＜ \sqrt{109}$，所以最短路线长度为$\sqrt{85}$。
答：最短的路线长度是$\sqrt{85}$。
解析
【分析】
要求长方体表面从A到B的最短路线，由于爬行路径只能沿长方体表面，所以需要先将长方体的表面展开为平面图形，根据“两点之间，线段最短”，最短路径就是展开后A、B两点间的线段长度。因为长方体有三组不同的相邻面组合可以展开到同一平面，所以需要分三种情况分别计算路径长度，最后比较三个长度的大小，最小的结果就是最短路线长度。
【解析】
分三种情况将长方体表面展开，利用勾股定理计算A、B两点间的线段长度：
① 把长为4、高为6的侧面和长为3、高为6的侧面展开在同一平面，得到直角三角形的两条直角边分别为$4+3=7$，$6$，
由勾股定理得此时AB的长度为：$\sqrt{7^2 + 6^2} = \sqrt{85}$；
② 把长为4、高为6的侧面和长为4、宽为3的上底面展开在同一平面，得到直角三角形的两条直角边分别为$4$，$6+3=9$，
由勾股定理得此时AB的长度为：$\sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{97}$；
③ 把长为3、高为6的侧面和长为4、宽为3的上底面展开在同一平面，得到直角三角形的两条直角边分别为$3$，$4+6=10$，
由勾股定理得此时AB的长度为：$\sqrt{3^2 + 10^2} = \sqrt{109}$。
因为$\sqrt{85} ＜ \sqrt{97} ＜ \sqrt{109}$，所以最短路线长度为$\sqrt{85}$。
【答案】
$\sqrt{85}$
【知识点】
勾股定理的应用；最短路径求解；长方体表面展开
【点评】
本题是勾股定理在实际路径问题中的典型应用，核心是掌握“化立体为平面”的转化思想，解题时需注意分类讨论所有可能的表面展开方式，避免遗漏情况导致结果错误，通过比较不同展开方式下的路径长度即可得到最短路径。
【难度系数】
0.6
要求长方体表面从A到B的最短路线，由于爬行路径只能沿长方体表面，所以需要先将长方体的表面展开为平面图形，根据“两点之间，线段最短”，最短路径就是展开后A、B两点间的线段长度。因为长方体有三组不同的相邻面组合可以展开到同一平面，所以需要分三种情况分别计算路径长度，最后比较三个长度的大小，最小的结果就是最短路线长度。
【解析】
分三种情况将长方体表面展开，利用勾股定理计算A、B两点间的线段长度：
① 把长为4、高为6的侧面和长为3、高为6的侧面展开在同一平面，得到直角三角形的两条直角边分别为$4+3=7$，$6$，
由勾股定理得此时AB的长度为：$\sqrt{7^2 + 6^2} = \sqrt{85}$；
② 把长为4、高为6的侧面和长为4、宽为3的上底面展开在同一平面，得到直角三角形的两条直角边分别为$4$，$6+3=9$，
由勾股定理得此时AB的长度为：$\sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{97}$；
③ 把长为3、高为6的侧面和长为4、宽为3的上底面展开在同一平面，得到直角三角形的两条直角边分别为$3$，$4+6=10$，
由勾股定理得此时AB的长度为：$\sqrt{3^2 + 10^2} = \sqrt{109}$。
因为$\sqrt{85} ＜ \sqrt{97} ＜ \sqrt{109}$，所以最短路线长度为$\sqrt{85}$。
【答案】
$\sqrt{85}$
【知识点】
勾股定理的应用；最短路径求解；长方体表面展开
【点评】
本题是勾股定理在实际路径问题中的典型应用，核心是掌握“化立体为平面”的转化思想，解题时需注意分类讨论所有可能的表面展开方式，避免遗漏情况导致结果错误，通过比较不同展开方式下的路径长度即可得到最短路径。
【难度系数】
0.6
