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7. (2025·连云港)如图10,长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,则梯子顶端的高度h为m.
答案
$\boldsymbol{2.4}$
解析
【分析】
由题意可知墙面与地面互相垂直，因此梯子、墙面、地面恰好构成直角三角形，其中梯子长度为直角三角形的斜边，已知斜边长和一条直角边的长度，要求梯子顶端的高度h，直接利用勾股定理即可计算求解。
【解析】
解：
∵墙面与地面垂直，
∴梯子、墙面、地面构成直角三角形，梯子为斜边。
根据勾股定理可得：
$\begin{aligned}h^2 + 1.8^2 &= 3^2 \\h^2 &= 9 - 3.24 \\h^2 &= 5.76\end{aligned}$
由于h为长度，是正数，因此$h=\sqrt{5.76}=2.4$。
【答案】
$\boldsymbol{2.4}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，再结合勾股定理计算未知边，考查学生的建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
由题意可知墙面与地面互相垂直，因此梯子、墙面、地面恰好构成直角三角形，其中梯子长度为直角三角形的斜边，已知斜边长和一条直角边的长度，要求梯子顶端的高度h，直接利用勾股定理即可计算求解。
【解析】
解：
∵墙面与地面垂直，
∴梯子、墙面、地面构成直角三角形，梯子为斜边。
根据勾股定理可得：
$\begin{aligned}h^2 + 1.8^2 &= 3^2 \\h^2 &= 9 - 3.24 \\h^2 &= 5.76\end{aligned}$
由于h为长度，是正数，因此$h=\sqrt{5.76}=2.4$。
【答案】
$\boldsymbol{2.4}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，再结合勾股定理计算未知边，考查学生的建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
8. 为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年5月份启动改造，9月份正式竣工通车。此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅。如图11是吊车安装“中华灯”的示意图，已知AB为吊车起重臂，长为20 m，点B到路灯杆的水平距离BC为16 m，点B到地面的竖直距离为2 m，则起重臂顶端A离地面的高度为 m.
答案
解：由题意可知，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=20 m，BC=16 m。
根据勾股定理，得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{m}$
已知点B到地面的竖直距离为2 m，因此起重臂顶端A离地面的高度为：
$12 + 2 = 14\ \mathrm{m}$
答：起重臂顶端A离地面的高度为14 m。
根据勾股定理，得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{m}$
已知点B到地面的竖直距离为2 m，因此起重臂顶端A离地面的高度为：
$12 + 2 = 14\ \mathrm{m}$
答：起重臂顶端A离地面的高度为14 m。
解析
【分析】
解题时先将实际问题转化为直角三角形的几何问题：首先明确△ABC是∠ACB=90°的直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，第一步可利用勾股定理求出直角边AC的长度（即A点比B点高出的竖直距离），第二步将AC的长度加上B点到地面的竖直距离2m，即可得到A点离地面的总高度。
【解析】
由题意可知，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=20 m，BC=16 m。
根据勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{m}$
已知点B到地面的竖直距离为2 m，因此起重臂顶端A离地面的高度为：
$12 + 2 = 14\ \mathrm{m}$
【答案】
14
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活实际中的典型基础应用，解题关键是将实际场景抽象为直角三角形数学模型，结合已知条件求解即可，整体逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
解题时先将实际问题转化为直角三角形的几何问题：首先明确△ABC是∠ACB=90°的直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，第一步可利用勾股定理求出直角边AC的长度（即A点比B点高出的竖直距离），第二步将AC的长度加上B点到地面的竖直距离2m，即可得到A点离地面的总高度。
【解析】
由题意可知，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=20 m，BC=16 m。
根据勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{m}$
已知点B到地面的竖直距离为2 m，因此起重臂顶端A离地面的高度为：
$12 + 2 = 14\ \mathrm{m}$
【答案】
14
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活实际中的典型基础应用，解题关键是将实际场景抽象为直角三角形数学模型，结合已知条件求解即可，整体逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
9. 如图12,在笔直的公路AB旁有一座山,为方便运输货物,现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处,已知C处与公路上的停靠站A的距离为15 km,与公路上的另一停靠站B的距离为20 km,停靠站A、B之间的距离为25 km,且CD⊥AB.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由；
(2)求公路CD的长.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由；
(2)求公路CD的长.
答案
解：
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵ AC=15 km，BC=20 km，AB=25 km，
∴ $AC^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$，
$AB^2 = 25^2 = 625$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
(2) ∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$，
代入数据得：$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × CD$，
解得 $CD=12\ \mathrm{km}$。
答：公路CD的长为12 km。
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵ AC=15 km，BC=20 km，AB=25 km，
∴ $AC^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$，
$AB^2 = 25^2 = 625$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
(2) ∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$，
代入数据得：$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × CD$，
解得 $CD=12\ \mathrm{km}$。
答：公路CD的长为12 km。
解析
【分析】
(1)判断三角形形状时，已知三边长度，可优先用勾股定理的逆定理验证：先计算两条较短边的平方和，再计算最长边的平方，若二者相等，即可判定三角形为直角三角形，最长边对应的角为直角。
(2)求CD的长度时，CD是AB边上的高，结合第一问得出的△ABC是直角三角形的结论，可利用等面积法：三角形面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用底AB乘高CD的一半计算，建立等式即可求出CD的长。
【解析】
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵ AC=15 km，BC=20 km，AB=25 km，
∴ $AC^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$，
$AB^2 = 25^2 = 625$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ACB=90°$。
(2)
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $S_{△ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$，
代入数据得：$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × CD$，
化简得$300=25CD$，解得 $CD=12\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) △ABC是直角三角形，∠ACB=90°；
(2) 公路CD的长为12 km。
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是勾股定理相关知识的基础应用题型，第一问直接考查勾股定理逆定理的使用，第二问的等面积法是直角三角形中求高的常用方法，熟练掌握该思路可快速解决同类计算问题。
【难度系数】
0.8
(1)判断三角形形状时，已知三边长度，可优先用勾股定理的逆定理验证：先计算两条较短边的平方和，再计算最长边的平方，若二者相等，即可判定三角形为直角三角形，最长边对应的角为直角。
(2)求CD的长度时，CD是AB边上的高，结合第一问得出的△ABC是直角三角形的结论，可利用等面积法：三角形面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用底AB乘高CD的一半计算，建立等式即可求出CD的长。
【解析】
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵ AC=15 km，BC=20 km，AB=25 km，
∴ $AC^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$，
$AB^2 = 25^2 = 625$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ACB=90°$。
(2)
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $S_{△ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$，
代入数据得：$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × CD$，
化简得$300=25CD$，解得 $CD=12\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) △ABC是直角三角形，∠ACB=90°；
(2) 公路CD的长为12 km。
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是勾股定理相关知识的基础应用题型，第一问直接考查勾股定理逆定理的使用，第二问的等面积法是直角三角形中求高的常用方法，熟练掌握该思路可快速解决同类计算问题。
【难度系数】
0.8
