登录
1. 车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为0.9 dm、1.2 dm、1.5 dm，则三角形零件的面积是 ()
A.1.35 dm²
B.0.9 dm²
C.0.75 dm²
D.0.54 dm²
A.1.35 dm²
B.0.9 dm²
C.0.75 dm²
D.0.54 dm²
答案
D
解析
【分析】
要求三角形的面积，首先观察给出的三边长，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形：先计算两条较短边的平方和，再与最长边的平方比较，若相等则为直角三角形，两条短边即为直角边，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
首先计算三边的平方：
$0.9^2 = 0.81$，$1.2^2 = 1.44$，$1.5^2 = 2.25$
因为$0.81 + 1.44 = 2.25$，即$0.9^2 + 1.2^2 = 1.5^2$
根据勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形，且两条直角边长为0.9 dm、1.2 dm。
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（a、b为直角边），可得：
$S=\frac{1}{2} × 0.9 × 1.2 = 0.54 \ \mathrm{dm}^2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用类题目，解题核心是先通过边长的平方关系判断三角形为直角三角形，再代入面积公式计算，熟练掌握勾股定理逆定理就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要求三角形的面积，首先观察给出的三边长，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形：先计算两条较短边的平方和，再与最长边的平方比较，若相等则为直角三角形，两条短边即为直角边，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
首先计算三边的平方：
$0.9^2 = 0.81$，$1.2^2 = 1.44$，$1.5^2 = 2.25$
因为$0.81 + 1.44 = 2.25$，即$0.9^2 + 1.2^2 = 1.5^2$
根据勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形，且两条直角边长为0.9 dm、1.2 dm。
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（a、b为直角边），可得：
$S=\frac{1}{2} × 0.9 × 1.2 = 0.54 \ \mathrm{dm}^2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用类题目，解题核心是先通过边长的平方关系判断三角形为直角三角形，再代入面积公式计算，熟练掌握勾股定理逆定理就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图5,将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点$C'$上.若$AB=6,BC=9$,则BF的长为 ()
A.$3\sqrt{2}$
B.4
C.4.5
D.5
A.$3\sqrt{2}$
B.4
C.4.5
D.5
答案
B
解析
【分析】
这是一道折叠与勾股定理结合的几何计算题，解题思路如下：第一步，根据折叠的性质，可知折叠前后对应边相等，因此FC=FC'，将未知线段建立关联；第二步，利用长方形的性质可知∠B为直角，△BC'F是直角三角形，且已知C'是AB中点，可先求出BC'的长度；第三步，设BF的长为未知数，用含未知数的式子表示出FC'的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，
∵C'是AB的中点，AB=6，
∴BC' = $\frac{1}{2}$AB = 3，
由折叠的性质可得：FC' = FC，
设BF = x，
∵BC=9，
∴FC = BC - BF = 9 - x，
∴FC' = 9 - x，
在Rt△BC'F中，由勾股定理得：
$BF^2 + BC'^2 = FC'^2$，
即 $x^2 + 3^2 = (9 - x)^2$，
展开得：$x^2 + 9 = 81 - 18x + x^2$，
化简得：18x = 72，
解得：x=4，
即BF的长为4。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是几何折叠类的典型题型，解题核心是利用折叠性质得到相等线段，再通过勾股定理建立方程求解，考察了学生的数形结合能力与方程思想的应用，是勾股定理实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.7
这是一道折叠与勾股定理结合的几何计算题，解题思路如下：第一步，根据折叠的性质，可知折叠前后对应边相等，因此FC=FC'，将未知线段建立关联；第二步，利用长方形的性质可知∠B为直角，△BC'F是直角三角形，且已知C'是AB中点，可先求出BC'的长度；第三步，设BF的长为未知数，用含未知数的式子表示出FC'的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，
∵C'是AB的中点，AB=6，
∴BC' = $\frac{1}{2}$AB = 3，
由折叠的性质可得：FC' = FC，
设BF = x，
∵BC=9，
∴FC = BC - BF = 9 - x，
∴FC' = 9 - x，
在Rt△BC'F中，由勾股定理得：
$BF^2 + BC'^2 = FC'^2$，
即 $x^2 + 3^2 = (9 - x)^2$，
展开得：$x^2 + 9 = 81 - 18x + x^2$，
化简得：18x = 72，
解得：x=4，
即BF的长为4。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是几何折叠类的典型题型，解题核心是利用折叠性质得到相等线段，再通过勾股定理建立方程求解，考察了学生的数形结合能力与方程思想的应用，是勾股定理实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图6,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离BC为0.7 m,梯子顶端到地面的距离AC为2.4 m,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端到地面的距离A'D为1.5 m,则小巷的宽为 ()
A.2.5 m
B.2.6 m
C.2.7 m
D.2.8 m
图6 图7
A.2.5 m
B.2.6 m
C.2.7 m
D.2.8 m
图6 图7
答案
C
解析
【分析】
解题时首先抓住不变量：梯子的长度始终不变，左右两侧的墙均与地面垂直，因此会形成两个直角三角形。我们可以先在左墙对应的直角三角形中，利用勾股定理求出梯子的长度，再在右墙对应的直角三角形中，利用勾股定理求出梯子底端到右墙角的距离，最后将两段距离相加即可得到小巷的宽度。
【解析】
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2.4m，BC=0.7m，
由勾股定理得：$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 2.4^2 + 0.7^2 = 5.76 + 0.49 = 6.25$，
∴ $AB = 2.5\mathrm{m}$（长度取正值）。
∵ 梯子长度保持不变，
∴ $A'B = AB = 2.5\mathrm{m}$。
在Rt△A'BD中，∠A'DB=90°，$A'D=1.5\mathrm{m}$，
由勾股定理得：$BD^2 = A'B^2 - A'D^2 = 2.5^2 - 1.5^2 = 6.25 - 2.25 = 4$，
∴ $BD = 2\mathrm{m}$（长度取正值）。
∴ 小巷的宽$CD = BC + BD = 0.7 + 2 = 2.7\mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用，解题的核心是发现梯子长度不变的隐含条件，通过两次运用勾股定理分别求出相关线段长度即可得到结果，注重考查对基础定理的理解和运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住不变量：梯子的长度始终不变，左右两侧的墙均与地面垂直，因此会形成两个直角三角形。我们可以先在左墙对应的直角三角形中，利用勾股定理求出梯子的长度，再在右墙对应的直角三角形中，利用勾股定理求出梯子底端到右墙角的距离，最后将两段距离相加即可得到小巷的宽度。
【解析】
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2.4m，BC=0.7m，
由勾股定理得：$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 2.4^2 + 0.7^2 = 5.76 + 0.49 = 6.25$，
∴ $AB = 2.5\mathrm{m}$（长度取正值）。
∵ 梯子长度保持不变，
∴ $A'B = AB = 2.5\mathrm{m}$。
在Rt△A'BD中，∠A'DB=90°，$A'D=1.5\mathrm{m}$，
由勾股定理得：$BD^2 = A'B^2 - A'D^2 = 2.5^2 - 1.5^2 = 6.25 - 2.25 = 4$，
∴ $BD = 2\mathrm{m}$（长度取正值）。
∴ 小巷的宽$CD = BC + BD = 0.7 + 2 = 2.7\mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用，解题的核心是发现梯子长度不变的隐含条件，通过两次运用勾股定理分别求出相关线段长度即可得到结果，注重考查对基础定理的理解和运用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图7,有一个绳索拉直的木马秋千,绳索AB的长度为5 m,若将它往水平方向向前推进3 m(即$DE=3$ m),且绳索保持拉直的状态,则此时木马上升的高度为 ()
A.1 m
B.$\sqrt{2}$ m
C.2 m
D.4 m
A.1 m
B.$\sqrt{2}$ m
C.2 m
D.4 m
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要抓住题目中的不变量：绳索的长度始终为5m，木马水平向前推进的距离为3m。我们可以将实际问题转化为直角三角形的计算问题：构造直角三角形，利用勾股定理求出推进后绳索的竖直投影长度，再用原来绳索的竖直总长度减去该投影长度，即可得到木马上升的高度。
【解析】
设绳索顶端为点A，初始时木马在点B，AB竖直向下，长度为5m；推进后木马在点C，此时绳索AC长度仍为5m，过C作CF垂直AB于F，可得水平位移CF=DE=3m。
在Rt△AFC中，根据勾股定理：
$AF = \sqrt{AC^2 - CF^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{m}$
木马上升的高度为$AB - AF = 5 - 4 = 1\ \mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，解题的核心是抓住绳索长度不变的隐含条件，正确构造直角三角形将实际问题转化为几何计算问题，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时首先要抓住题目中的不变量：绳索的长度始终为5m，木马水平向前推进的距离为3m。我们可以将实际问题转化为直角三角形的计算问题：构造直角三角形，利用勾股定理求出推进后绳索的竖直投影长度，再用原来绳索的竖直总长度减去该投影长度，即可得到木马上升的高度。
【解析】
设绳索顶端为点A，初始时木马在点B，AB竖直向下，长度为5m；推进后木马在点C，此时绳索AC长度仍为5m，过C作CF垂直AB于F，可得水平位移CF=DE=3m。
在Rt△AFC中，根据勾股定理：
$AF = \sqrt{AC^2 - CF^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{m}$
木马上升的高度为$AB - AF = 5 - 4 = 1\ \mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，解题的核心是抓住绳索长度不变的隐含条件，正确构造直角三角形将实际问题转化为几何计算问题，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
5. 如图8,在直角三角形ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC.若BD=2,则点D到AC的距离是.
图8 图9
图8 图9
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题时首先从题干条件切入：已知AD是∠BAC的角平分线，要求点D到AC的距离，优先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确∠BAC的两条边是AB和AC，点D到AB的距离就是BD的长度（因为∠B=90°，BD⊥AB），结合角平分线性质即可推出点D到AC的距离和BD长度相等，进而得到结果。
【解析】
过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE的长即为点D到AC的距离。
∵ ∠B=90°，
∴ DB⊥AB，
又
∵ AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=BD，
已知BD=2，
∴ DE=2，即点D到AC的距离为2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是基础应用题，核心考查对角平分线性质的理解和运用，解题关键是准确找到角平分线上的点到角两边对应的距离，牢记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先从题干条件切入：已知AD是∠BAC的角平分线，要求点D到AC的距离，优先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确∠BAC的两条边是AB和AC，点D到AB的距离就是BD的长度（因为∠B=90°，BD⊥AB），结合角平分线性质即可推出点D到AC的距离和BD长度相等，进而得到结果。
【解析】
过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE的长即为点D到AC的距离。
∵ ∠B=90°，
∴ DB⊥AB，
又
∵ AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=BD，
已知BD=2，
∴ DE=2，即点D到AC的距离为2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是基础应用题，核心考查对角平分线性质的理解和运用，解题关键是准确找到角平分线上的点到角两边对应的距离，牢记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6. 图9为某楼梯侧面示意图,测得楼梯的长为5 m,高3 m,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少为 m.
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
要计算地毯的最小长度，首先需明确地毯覆盖的是楼梯所有的竖直台阶面和水平台阶面。我们可以利用平移的思路：将所有竖直台阶的高度向上平移，总高度恰好等于楼梯的总高3m；将所有水平台阶的长度向左平移，总长度恰好等于楼梯底部的水平宽度。因此我们只需要先用勾股定理求出楼梯的水平宽度，再将水平宽度与楼梯总高相加，即可得到地毯的最小长度。
【解析】
由题意可知，楼梯侧面为直角三角形，斜边长为5m，竖直直角边长（楼梯高）为3m。
设楼梯的水平宽度为$x\ \mathrm{m}$，根据勾股定理得：
$x^2 + 3^2 = 5^2$
计算得：$x^2 = 25 - 9 = 16$
因为长度为正数，所以$x = 4$。
结合平移的性质，地毯的最小长度 = 水平总长度 + 竖直总高度 = $4 + 3 = 7(\mathrm{m})$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
勾股定理的应用；平移的性质
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的灵活运用，解题的核心是通过平移思想将分散的台阶线段转化为直角三角形两条直角边的和，避开了直接使用楼梯斜长计算的误区，能很好地锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
要计算地毯的最小长度，首先需明确地毯覆盖的是楼梯所有的竖直台阶面和水平台阶面。我们可以利用平移的思路：将所有竖直台阶的高度向上平移，总高度恰好等于楼梯的总高3m；将所有水平台阶的长度向左平移，总长度恰好等于楼梯底部的水平宽度。因此我们只需要先用勾股定理求出楼梯的水平宽度，再将水平宽度与楼梯总高相加，即可得到地毯的最小长度。
【解析】
由题意可知，楼梯侧面为直角三角形，斜边长为5m，竖直直角边长（楼梯高）为3m。
设楼梯的水平宽度为$x\ \mathrm{m}$，根据勾股定理得：
$x^2 + 3^2 = 5^2$
计算得：$x^2 = 25 - 9 = 16$
因为长度为正数，所以$x = 4$。
结合平移的性质，地毯的最小长度 = 水平总长度 + 竖直总高度 = $4 + 3 = 7(\mathrm{m})$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
勾股定理的应用；平移的性质
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的灵活运用，解题的核心是通过平移思想将分散的台阶线段转化为直角三角形两条直角边的和，避开了直接使用楼梯斜长计算的误区，能很好地锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
