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9. 如图4,一个牧童在小河南4 km的A处牧马,此时他正位于小屋B的西8 km、北7 km处,他想把马牵到小河边去饮水,然后回小屋.牧童要完成这件事情所走的最短路程是多少?
答案
解：
作点A关于小河所在直线的对称点A'，连接A'B，交小河边于点P，由对称性可知AP+PB = A'P + PB = A'B，线段A'B的长度即为所求的最短路程。
由题意得：
点A到小河的距离为4 km，因此点A'到小河的距离也为4 km，AA' = 4 + 4 = 8 km。
已知A位于小屋B的西8 km、北7 km处，因此A'与B的东西方向水平距离为8 km，南北方向竖直距离为7 + 8 = 15 km。
在以A'、B为端点的直角三角形中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\ \mathrm{km}$
答：牧童要完成这件事情所走的最短路程是17 km。
作点A关于小河所在直线的对称点A'，连接A'B，交小河边于点P，由对称性可知AP+PB = A'P + PB = A'B，线段A'B的长度即为所求的最短路程。
由题意得：
点A到小河的距离为4 km，因此点A'到小河的距离也为4 km，AA' = 4 + 4 = 8 km。
已知A位于小屋B的西8 km、北7 km处，因此A'与B的东西方向水平距离为8 km，南北方向竖直距离为7 + 8 = 15 km。
在以A'、B为端点的直角三角形中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\ \mathrm{km}$
答：牧童要完成这件事情所走的最短路程是17 km。
解析
【分析】
这是典型的“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：①要找到小河边的饮水点，使牧童从A到饮水点再到B的总路程最短，根据轴对称性质，可作点A关于小河所在直线的对称点A'，此时任意饮水点P都满足AP=A'P，总路程AP+PB就转化为A'P+PB；②根据“两点之间线段最短”，可知当P在A'B与小河的交点时，A'P+PB最小，即为A'B的长度；③接下来确定A'与B的水平、竖直距离，构造直角三角形，用勾股定理计算A'B的长度即可。
【解析】
解：作点A关于小河所在直线的对称点A'，连接A'B，交小河边于点P。
由轴对称的性质可知，对小河边上任意一点P，都有AP = A'P，因此总路程AP+PB = A'P + PB。根据两点之间线段最短，线段A'B的长度就是所求的最短路程。
根据题意计算线段长度：
∵点A到小河的距离为4 km，
∴点A'到小河的距离也为4 km，故AA' = 4+4 = 8 km；
∵A位于小屋B的西8 km、北7 km处，
∴A'与B的东西方向水平距离为8 km，南北方向竖直距离为7 + 8 = 15 km；
在由A'、B两点的水平、竖直连线构成的直角三角形中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\ \mathrm{km}$
【答案】
17 km
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是最短路径在实际生活中的应用，解题的核心是熟练掌握“将军饮马”模型作对称点转化线段的方法，再准确找出直角三角形的两条直角边的长度，结合勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.6
这是典型的“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：①要找到小河边的饮水点，使牧童从A到饮水点再到B的总路程最短，根据轴对称性质，可作点A关于小河所在直线的对称点A'，此时任意饮水点P都满足AP=A'P，总路程AP+PB就转化为A'P+PB；②根据“两点之间线段最短”，可知当P在A'B与小河的交点时，A'P+PB最小，即为A'B的长度；③接下来确定A'与B的水平、竖直距离，构造直角三角形，用勾股定理计算A'B的长度即可。
【解析】
解：作点A关于小河所在直线的对称点A'，连接A'B，交小河边于点P。
由轴对称的性质可知，对小河边上任意一点P，都有AP = A'P，因此总路程AP+PB = A'P + PB。根据两点之间线段最短，线段A'B的长度就是所求的最短路程。
根据题意计算线段长度：
∵点A到小河的距离为4 km，
∴点A'到小河的距离也为4 km，故AA' = 4+4 = 8 km；
∵A位于小屋B的西8 km、北7 km处，
∴A'与B的东西方向水平距离为8 km，南北方向竖直距离为7 + 8 = 15 km；
在由A'、B两点的水平、竖直连线构成的直角三角形中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\ \mathrm{km}$
【答案】
17 km
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是最短路径在实际生活中的应用，解题的核心是熟练掌握“将军饮马”模型作对称点转化线段的方法，再准确找出直角三角形的两条直角边的长度，结合勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.6
10. 勾股定理是一个基本的几何定理,在我国西汉时期算书《周髀算经》中就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数,这样的直角三角形叫“整数直角三角形”,这三个整数叫做一组“勾股数”.如:3、4、5,5、12、13,8、15、17,等等,都是勾股数.
(1)如果$a$、$b$、$c$是一组勾股数,即满足$a^2 + b^2 = c^2$,则$ka$、$kb$、$kc$($k$为正整数)也是一组勾股数.如:5、12、13是一组勾股数,则也是一组勾股数.
(2)世界上第一次给出的勾股数公式,收集在我国的《九章算术》中,书中提到:当$a=\frac{1}{2}(m^2 - n^2)$,$b=mn$,$c=\frac{1}{2}(m^2 + n^2)$($m$、$n$为正整数,$m＞n$)时,$a$、$b$、$c$构成一组勾股数.请证明满足以上公式的$a$、$b$、$c$是一组勾股数.
(1)如果$a$、$b$、$c$是一组勾股数,即满足$a^2 + b^2 = c^2$,则$ka$、$kb$、$kc$($k$为正整数)也是一组勾股数.如:5、12、13是一组勾股数,则也是一组勾股数.
(2)世界上第一次给出的勾股数公式,收集在我国的《九章算术》中,书中提到:当$a=\frac{1}{2}(m^2 - n^2)$,$b=mn$,$c=\frac{1}{2}(m^2 + n^2)$($m$、$n$为正整数,$m＞n$)时,$a$、$b$、$c$构成一组勾股数.请证明满足以上公式的$a$、$b$、$c$是一组勾股数.
答案
解：
(1) 10、24、26（答案不唯一，取任意正整数k对应的5k、12k、13k均正确）
(2) 证明：
计算$a^2 + b^2$：
$\begin{aligned}a^2 + b^2&=[\frac{1}{2}(m^2 - n^2)]^2 + (mn)^2\\&=\frac{1}{4}(m^4 - 2m^2n^2 + n^4) + m^2n^2\\&=\frac{1}{4}m^4 - \frac{1}{2}m^2n^2 + \frac{1}{4}n^4 + m^2n^2\\&=\frac{1}{4}m^4 + \frac{1}{2}m^2n^2 + \frac{1}{4}n^4\\&=\frac{1}{4}(m^4 + 2m^2n^2 + n^4)\\&=[\frac{1}{2}(m^2 + n^2)]^2\end{aligned}$
又$c=\frac{1}{2}(m^2 + n^2)$，因此$c^2=[\frac{1}{2}(m^2 + n^2)]^2$，可得$a^2 + b^2 = c^2$。
因为m、n为正整数，$m＞n$，所以a、b、c均为正整数，因此a、b、c构成一组勾股数。
(1) 10、24、26（答案不唯一，取任意正整数k对应的5k、12k、13k均正确）
(2) 证明：
计算$a^2 + b^2$：
$\begin{aligned}a^2 + b^2&=[\frac{1}{2}(m^2 - n^2)]^2 + (mn)^2\\&=\frac{1}{4}(m^4 - 2m^2n^2 + n^4) + m^2n^2\\&=\frac{1}{4}m^4 - \frac{1}{2}m^2n^2 + \frac{1}{4}n^4 + m^2n^2\\&=\frac{1}{4}m^4 + \frac{1}{2}m^2n^2 + \frac{1}{4}n^4\\&=\frac{1}{4}(m^4 + 2m^2n^2 + n^4)\\&=[\frac{1}{2}(m^2 + n^2)]^2\end{aligned}$
又$c=\frac{1}{2}(m^2 + n^2)$，因此$c^2=[\frac{1}{2}(m^2 + n^2)]^2$，可得$a^2 + b^2 = c^2$。
因为m、n为正整数，$m＞n$，所以a、b、c均为正整数，因此a、b、c构成一组勾股数。
解析
【分析】
（1）题干明确给出规律：若a、b、c是勾股数，k为正整数，则ka、kb、kc也为勾股数。我们只需给k取任意正整数，将5、12、13分别乘k就能得到符合要求的勾股数。
（2）要判定三个数是勾股数，需满足两个条件：①三个数均为正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。因此我们先计算$a^2+b^2$，通过整式化简验证其等于$c^2$，再结合m、n的取值范围证明a、b、c都是正整数，即可完成证明。
【解析】
（1）取k=2（k为任意正整数均可），则对应三个数为：$5×2=10$，$12×2=24$，$13×2=26$，即10、24、26是一组勾股数（答案不唯一）。
（2）证明：
先计算$a^2 + b^2$：
$\begin{aligned}a^2 + b^2&=[\frac{1}{2}(m^2 - n^2)]^2 + (mn)^2\\&=\frac{1}{4}(m^4 - 2m^2n^2 + n^4) + m^2n^2\\&=\frac{1}{4}m^4 - \frac{1}{2}m^2n^2 + \frac{1}{4}n^4 + m^2n^2\\&=\frac{1}{4}m^4 + \frac{1}{2}m^2n^2 + \frac{1}{4}n^4\\&=\frac{1}{4}(m^4 + 2m^2n^2 + n^4)\\&=[\frac{1}{2}(m^2 + n^2)]^2\end{aligned}$
已知$c=\frac{1}{2}(m^2 + n^2)$，因此$c^2=[\frac{1}{2}(m^2 + n^2)]^2$，可得$a^2 + b^2 = c^2$。
又因为m、n为正整数，且$m＞n$，所以a、b、c均为正整数，因此a、b、c构成一组勾股数。
【答案】
(1) 10、24、26（答案不唯一，取任意正整数k对应的5k、12k、13k均正确）
(2) 满足上述公式的a、b、c是一组勾股数，证明过程如上。
【知识点】
勾股数的概念；完全平方公式；整式化简
【点评】
本题结合我国古代数学文化考查勾股数的相关知识，第一问属于基础题，直接套用题干给出的规律即可求解；第二问侧重考查整式运算能力，核心是掌握勾股数的判定条件，整体注重对基础概念和运算能力的检验。
【难度系数】
0.75
（1）题干明确给出规律：若a、b、c是勾股数，k为正整数，则ka、kb、kc也为勾股数。我们只需给k取任意正整数，将5、12、13分别乘k就能得到符合要求的勾股数。
（2）要判定三个数是勾股数，需满足两个条件：①三个数均为正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。因此我们先计算$a^2+b^2$，通过整式化简验证其等于$c^2$，再结合m、n的取值范围证明a、b、c都是正整数，即可完成证明。
【解析】
（1）取k=2（k为任意正整数均可），则对应三个数为：$5×2=10$，$12×2=24$，$13×2=26$，即10、24、26是一组勾股数（答案不唯一）。
（2）证明：
先计算$a^2 + b^2$：
$\begin{aligned}a^2 + b^2&=[\frac{1}{2}(m^2 - n^2)]^2 + (mn)^2\\&=\frac{1}{4}(m^4 - 2m^2n^2 + n^4) + m^2n^2\\&=\frac{1}{4}m^4 - \frac{1}{2}m^2n^2 + \frac{1}{4}n^4 + m^2n^2\\&=\frac{1}{4}m^4 + \frac{1}{2}m^2n^2 + \frac{1}{4}n^4\\&=\frac{1}{4}(m^4 + 2m^2n^2 + n^4)\\&=[\frac{1}{2}(m^2 + n^2)]^2\end{aligned}$
已知$c=\frac{1}{2}(m^2 + n^2)$，因此$c^2=[\frac{1}{2}(m^2 + n^2)]^2$，可得$a^2 + b^2 = c^2$。
又因为m、n为正整数，且$m＞n$，所以a、b、c均为正整数，因此a、b、c构成一组勾股数。
【答案】
(1) 10、24、26（答案不唯一，取任意正整数k对应的5k、12k、13k均正确）
(2) 满足上述公式的a、b、c是一组勾股数，证明过程如上。
【知识点】
勾股数的概念；完全平方公式；整式化简
【点评】
本题结合我国古代数学文化考查勾股数的相关知识，第一问属于基础题，直接套用题干给出的规律即可求解；第二问侧重考查整式运算能力，核心是掌握勾股数的判定条件，整体注重对基础概念和运算能力的检验。
【难度系数】
0.75
