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15. 如图9,过边长为4的等边$△ ABC$的边AB上一点P,作$PE ⊥ AC$于点E,Q为BC延长线上一点,当$PA=CQ$时,连PQ交AC边于点D,则DE的长为.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
本题可通过构造全等三角形转化线段关系求解：首先观察到条件$PA=CQ$，考虑过点P作$PF // BC$交AC于F，先利用等边三角形的性质得到$△ APF$为等边三角形，从而推出$PF=CQ$，为证明三角形全等创造条件；再结合$PE ⊥ AC$，利用等腰三角形三线合一可得$AE=EF$；接着证明$△ PFD ≌ △ QCD$得到$FD=CD$，最后通过线段的和差关系可推出DE为AC的一半，代入边长计算即可。
【解析】
过点P作$PF // BC$，交AC于点F。
$\because △ ABC$是边长为4的等边三角形，
$\therefore ∠ A = ∠ ACB = 60°$，$AC=4$。
$\because PF // BC$，$\therefore ∠ PFA = ∠ ACB = 60°$，
$\therefore △ APF$是等边三角形，$\therefore AP=PF$。
又$\because PA=CQ$，$\therefore PF=CQ$。
$\because PE ⊥ AC$，$△ APF$是等边三角形，
$\therefore$ 根据等腰三角形三线合一，得$AE=EF=\frac{1}{2}AF$。
在$△ PFD$和$△ QCD$中：
$\begin{cases}∠ PDF = ∠ QDC \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\∠ PFD = ∠ QCD = 120° \\PF = CQ\end{cases}$
$\therefore △ PFD ≌ △ QCD \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore FD=CD=\frac{1}{2}CF$。
$\therefore DE = EF + FD = \frac{1}{2}AF + \frac{1}{2}CF = \frac{1}{2}(AF + CF) = \frac{1}{2}AC$，
代入$AC=4$，得$DE=\frac{1}{2} × 4 = 2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于等边三角形背景下的定值计算问题，核心解题思路是通过作平行线构造全等三角形，将分散的线段条件进行转化，结合等腰三角形三线合一的性质建立所求线段和已知边长的关系，对几何辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题可通过构造全等三角形转化线段关系求解：首先观察到条件$PA=CQ$，考虑过点P作$PF // BC$交AC于F，先利用等边三角形的性质得到$△ APF$为等边三角形，从而推出$PF=CQ$，为证明三角形全等创造条件；再结合$PE ⊥ AC$，利用等腰三角形三线合一可得$AE=EF$；接着证明$△ PFD ≌ △ QCD$得到$FD=CD$，最后通过线段的和差关系可推出DE为AC的一半，代入边长计算即可。
【解析】
过点P作$PF // BC$，交AC于点F。
$\because △ ABC$是边长为4的等边三角形，
$\therefore ∠ A = ∠ ACB = 60°$，$AC=4$。
$\because PF // BC$，$\therefore ∠ PFA = ∠ ACB = 60°$，
$\therefore △ APF$是等边三角形，$\therefore AP=PF$。
又$\because PA=CQ$，$\therefore PF=CQ$。
$\because PE ⊥ AC$，$△ APF$是等边三角形，
$\therefore$ 根据等腰三角形三线合一，得$AE=EF=\frac{1}{2}AF$。
在$△ PFD$和$△ QCD$中：
$\begin{cases}∠ PDF = ∠ QDC \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\∠ PFD = ∠ QCD = 120° \\PF = CQ\end{cases}$
$\therefore △ PFD ≌ △ QCD \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore FD=CD=\frac{1}{2}CF$。
$\therefore DE = EF + FD = \frac{1}{2}AF + \frac{1}{2}CF = \frac{1}{2}(AF + CF) = \frac{1}{2}AC$，
代入$AC=4$，得$DE=\frac{1}{2} × 4 = 2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于等边三角形背景下的定值计算问题，核心解题思路是通过作平行线构造全等三角形，将分散的线段条件进行转化，结合等腰三角形三线合一的性质建立所求线段和已知边长的关系，对几何辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共75分)
16.(8分)(2025·陕西)如图10，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD=AB，DE//AB，DE=BC.求证:BE=AC.
16.(8分)(2025·陕西)如图10，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD=AB，DE//AB，DE=BC.求证:BE=AC.
答案
证明：
∵ $DE// AB$，
∴ $∠ ABC = ∠ BDE$。
在$△ ABC$和$△ BDE$中，
$\{\begin{array}{l}AB = BD \\∠ ABC = ∠ BDE \\BC = DE\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ BDE(\mathrm{SAS})$，
∴ $BE = AC$。
∵ $DE// AB$，
∴ $∠ ABC = ∠ BDE$。
在$△ ABC$和$△ BDE$中，
$\{\begin{array}{l}AB = BD \\∠ ABC = ∠ BDE \\BC = DE\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ BDE(\mathrm{SAS})$，
∴ $BE = AC$。
解析
【分析】
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。首先观察待证线段BE、AC分别属于△BDE和△ABC，接下来推导两个三角形全等的条件：由DE//AB，根据平行线的性质可得一组内错角∠ABC=∠BDE，再结合题目给出的AB=BD、BC=DE的边相等条件，刚好满足SAS的全等判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ $DE// AB$，
∴ $∠ABC = ∠BDE$。
在$△ABC$和$△BDE$中：
$\begin{cases}AB = BD \\∠ABC = ∠BDE \\BC = DE\end{cases}$
∴ $△ABC ≌ △BDE(\mathrm{SAS})$，
∴ $BE = AC$。
【答案】
BE=AC，证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何证明的基础题型，核心考查全等三角形的判定与性质的应用，解题时可从待证结论出发逆向推导所需条件，结合平行线的性质即可快速找到证明思路，是全等三角形应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。首先观察待证线段BE、AC分别属于△BDE和△ABC，接下来推导两个三角形全等的条件：由DE//AB，根据平行线的性质可得一组内错角∠ABC=∠BDE，再结合题目给出的AB=BD、BC=DE的边相等条件，刚好满足SAS的全等判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ $DE// AB$，
∴ $∠ABC = ∠BDE$。
在$△ABC$和$△BDE$中：
$\begin{cases}AB = BD \\∠ABC = ∠BDE \\BC = DE\end{cases}$
∴ $△ABC ≌ △BDE(\mathrm{SAS})$，
∴ $BE = AC$。
【答案】
BE=AC，证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何证明的基础题型，核心考查全等三角形的判定与性质的应用，解题时可从待证结论出发逆向推导所需条件，结合平行线的性质即可快速找到证明思路，是全等三角形应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
17. (9分)如图11,在△ABC中,AB=AC,D、E分别在AC、AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.
答案
解：
设∠EBD = x，
∵ EB = DE，
∴ ∠EDB = ∠EBD = x，
∴ ∠AED = ∠EBD + ∠EDB = 2x，
∵ AD = DE，
∴ ∠A = ∠AED = 2x，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 2x + x = 3x，
∵ BC = BD，
∴ ∠C = ∠BDC = 3x，
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C = 3x，
在△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
即 2x + 3x + 3x = 180°，
解得 x = 22.5°，
∴ ∠A = 2x = 45°。
设∠EBD = x，
∵ EB = DE，
∴ ∠EDB = ∠EBD = x，
∴ ∠AED = ∠EBD + ∠EDB = 2x，
∵ AD = DE，
∴ ∠A = ∠AED = 2x，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 2x + x = 3x，
∵ BC = BD，
∴ ∠C = ∠BDC = 3x，
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C = 3x，
在△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
即 2x + 3x + 3x = 180°，
解得 x = 22.5°，
∴ ∠A = 2x = 45°。
解析
【分析】
题目给出多组相等的线段，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，将图中各个角用同一个未知数表示，最后根据三角形内角和为180°列方程求解。解题时先从最小的等腰三角形△DEB入手设未知数，再逐步向外推导∠A、∠ABC、∠C的表达式，最后代入内角和公式计算即可。
【解析】
设∠EBD = x，
∵ EB = DE，
∴ ∠EDB = ∠EBD = x，
根据三角形外角的性质，∠AED = ∠EBD + ∠EDB = 2x，
∵ AD = DE，
∴ ∠A = ∠AED = 2x，
同理，∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 2x + x = 3x，
∵ BC = BD，
∴ ∠C = ∠BDC = 3x，
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C = 3x，
在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
即 2x + 3x + 3x = 180°，
解得 x = 22.5°，
∴ ∠A = 2x = 45°。
【答案】
45°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，核心思路是通过设未知数将分散的角的等量关系串联起来，结合三角形相关角度性质列方程求解，解题时要注意理清角之间的位置关系，避免推导角度时出错。
【难度系数】
0.6
题目给出多组相等的线段，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，将图中各个角用同一个未知数表示，最后根据三角形内角和为180°列方程求解。解题时先从最小的等腰三角形△DEB入手设未知数，再逐步向外推导∠A、∠ABC、∠C的表达式，最后代入内角和公式计算即可。
【解析】
设∠EBD = x，
∵ EB = DE，
∴ ∠EDB = ∠EBD = x，
根据三角形外角的性质，∠AED = ∠EBD + ∠EDB = 2x，
∵ AD = DE，
∴ ∠A = ∠AED = 2x，
同理，∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 2x + x = 3x，
∵ BC = BD，
∴ ∠C = ∠BDC = 3x，
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C = 3x，
在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
即 2x + 3x + 3x = 180°，
解得 x = 22.5°，
∴ ∠A = 2x = 45°。
【答案】
45°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，核心思路是通过设未知数将分散的角的等量关系串联起来，结合三角形相关角度性质列方程求解，解题时要注意理清角之间的位置关系，避免推导角度时出错。
【难度系数】
0.6
