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9. 如图5,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,以点B为圆心,以BC的长为半径作弧交AB于点D,再分别以C、D为圆心,以大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线BE交AC于点F,连接DF.
下列结论不正确的是 ()
A.$AD=CF$
B.$BC=AF$
C.$∠ABE=36°$
D.$∠CFD=108°$
下列结论不正确的是 ()
A.$AD=CF$
B.$BC=AF$
C.$∠ABE=36°$
D.$∠CFD=108°$
答案
D
解析
【分析】
首先先根据等腰△ABC的顶角36°，计算出两个底角的度数，再结合尺规作图的特征，得出BD=BC、BE是∠ABC的角平分线；接下来先推导角的度数验证选项C，再结合等腰三角形等角对等边的性质推导边的等量关系，依次验证选项B、A；最后通过全等三角形的性质推导角的度数，验证选项D，找出错误的结论即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°，
由作图可知：BD=BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=72°÷2=36°，故选项C正确，不符合题意；
在△BFC中，∠BFC=180°-∠C-∠CBF=180°-72°-36°=72°，
∴∠BFC=∠C，
∴BC=BF，
又
∵∠ABF=∠BAC=36°，
∴AF=BF，
∴BC=AF，故选项B正确，不符合题意；
∵BD=BC，
∴BD=AF，
又
∵AB=AC，
∴AB-BD=AC-AF，即AD=CF，故选项A正确，不符合题意；
在△BDF和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}BD=BC\\ ∠ DBF=∠ CBF\\ BF=BF\end{array} $
∴△BDF≌△BCF（SAS），
∴∠BDF=∠BCF=72°，
∴∠ADF=180°-72°=108°，
在△ADF中，∠AFD=180°-∠A-∠ADF=180°-36°-108°=36°，
∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-36°=144°≠108°，故选项D错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，尺规作角平分线，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、等腰三角形的角度与线段关系推导，解题时需要逐步梳理边和角的等量关系，逐个验证选项，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先先根据等腰△ABC的顶角36°，计算出两个底角的度数，再结合尺规作图的特征，得出BD=BC、BE是∠ABC的角平分线；接下来先推导角的度数验证选项C，再结合等腰三角形等角对等边的性质推导边的等量关系，依次验证选项B、A；最后通过全等三角形的性质推导角的度数，验证选项D，找出错误的结论即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°，
由作图可知：BD=BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=72°÷2=36°，故选项C正确，不符合题意；
在△BFC中，∠BFC=180°-∠C-∠CBF=180°-72°-36°=72°，
∴∠BFC=∠C，
∴BC=BF，
又
∵∠ABF=∠BAC=36°，
∴AF=BF，
∴BC=AF，故选项B正确，不符合题意；
∵BD=BC，
∴BD=AF，
又
∵AB=AC，
∴AB-BD=AC-AF，即AD=CF，故选项A正确，不符合题意；
在△BDF和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}BD=BC\\ ∠ DBF=∠ CBF\\ BF=BF\end{array} $
∴△BDF≌△BCF（SAS），
∴∠BDF=∠BCF=72°，
∴∠ADF=180°-72°=108°，
在△ADF中，∠AFD=180°-∠A-∠ADF=180°-36°-108°=36°，
∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-36°=144°≠108°，故选项D错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，尺规作角平分线，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、等腰三角形的角度与线段关系推导，解题时需要逐步梳理边和角的等量关系，逐个验证选项，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10. 如图6,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B、C、E在同一直线上,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接FG,则有下列结论:①AE=BD;②AG=BF;③FG//BE;④CF=CG.其中正确结论的个数是
()
A.4
B.3
C.2
D.1
()
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
A
解析
【分析】
本题是共顶点等边三角形的结论验证题，解题思路如下：首先利用等边三角形边相等、角为60°的性质，通过SAS证明△BCD和△ACE全等，验证结论①；再利用第一步全等得到的角相等关系，通过ASA证明△BCF和△ACG全等，验证结论②和④；最后由CF=CG和∠FCG=60°判定△CFG是等边三角形，结合内错角相等验证结论③。
【解析】
已知△ABC和△DCE均为等边三角形，因此$BC=AC$，$DC=EC$，$∠ ACB=∠ DCE=60°$，又因为B、C、E共线，因此$∠ ACD=180°-60°-60°=60°$。
1. 验证结论①：
$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=120°$，$∠ ACE=∠ DCE+∠ ACD=120°$，
在$△ BCD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases} BC=AC \\ ∠ BCD=∠ ACE \\ DC=EC \end{cases}$
因此$△ BCD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，得$AE=BD$，结论①正确。
2. 验证结论②、④：
由$△ BCD≌△ ACE$可得$∠ FBC=∠ GAC$，
在$△ BCF$和$△ ACG$中：
$\begin{cases} ∠ FBC=∠ GAC \\ BC=AC \\ ∠ BCF=∠ ACG=60° \end{cases}$
因此$△ BCF≌△ ACG(\mathrm{ASA})$，得$BF=AG$，$CF=CG$，结论②、④正确。
3. 验证结论③：
因为$CF=CG$，$∠ FCG=60°$，因此$△ CFG$是等边三角形，可得$∠ CFG=∠ ACB=60°$，根据内错角相等，两直线平行，得$FG// BE$，结论③正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定
【点评】
本题是共顶点等边三角形的经典题型，核心是通过两次全等推导边角关系，再结合等边三角形判定和平行线判定得到结论，解题时要注意挖掘隐含的60°角条件，逐步推导即可得解。
【难度系数】
0.65
本题是共顶点等边三角形的结论验证题，解题思路如下：首先利用等边三角形边相等、角为60°的性质，通过SAS证明△BCD和△ACE全等，验证结论①；再利用第一步全等得到的角相等关系，通过ASA证明△BCF和△ACG全等，验证结论②和④；最后由CF=CG和∠FCG=60°判定△CFG是等边三角形，结合内错角相等验证结论③。
【解析】
已知△ABC和△DCE均为等边三角形，因此$BC=AC$，$DC=EC$，$∠ ACB=∠ DCE=60°$，又因为B、C、E共线，因此$∠ ACD=180°-60°-60°=60°$。
1. 验证结论①：
$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=120°$，$∠ ACE=∠ DCE+∠ ACD=120°$，
在$△ BCD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases} BC=AC \\ ∠ BCD=∠ ACE \\ DC=EC \end{cases}$
因此$△ BCD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，得$AE=BD$，结论①正确。
2. 验证结论②、④：
由$△ BCD≌△ ACE$可得$∠ FBC=∠ GAC$，
在$△ BCF$和$△ ACG$中：
$\begin{cases} ∠ FBC=∠ GAC \\ BC=AC \\ ∠ BCF=∠ ACG=60° \end{cases}$
因此$△ BCF≌△ ACG(\mathrm{ASA})$，得$BF=AG$，$CF=CG$，结论②、④正确。
3. 验证结论③：
因为$CF=CG$，$∠ FCG=60°$，因此$△ CFG$是等边三角形，可得$∠ CFG=∠ ACB=60°$，根据内错角相等，两直线平行，得$FG// BE$，结论③正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定
【点评】
本题是共顶点等边三角形的经典题型，核心是通过两次全等推导边角关系，再结合等边三角形判定和平行线判定得到结论，解题时要注意挖掘隐含的60°角条件，逐步推导即可得解。
【难度系数】
0.65
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 等腰三角形一边等于5,另一边等于8,则其周长是.
11. 等腰三角形一边等于5,另一边等于8,则其周长是.
答案
解：分两种情况讨论：
① 当等腰三角形的腰长为5时，三边长分别为5，5，8。
由5+5＞8，满足三角形三边关系，此时周长为5+5+8=18；
② 当等腰三角形的腰长为8时，三边长分别为8，8，5。
由8+5＞8，满足三角形三边关系，此时周长为8+8+5=21。
综上，该等腰三角形的周长是18或21。
① 当等腰三角形的腰长为5时，三边长分别为5，5，8。
由5+5＞8，满足三角形三边关系，此时周长为5+5+8=18；
② 当等腰三角形的腰长为8时，三边长分别为8，8，5。
由8+5＞8，满足三角形三边关系，此时周长为8+8+5=21。
综上，该等腰三角形的周长是18或21。
解析
【分析】
等腰三角形的特点是有两条边长相等，本题给出的两条边长不相等，因此需要分两种情况讨论：一是腰长为5，二是腰长为8。每种情况得到三边长后，需要先根据三角形“任意两边之和大于第三边”的关系判断是否能构成三角形，符合要求的再计算周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当等腰三角形的腰长为5时，三边长分别为5，5，8。
由5+5＞8，满足三角形三边关系，此时周长为5+5+8=18；
② 当等腰三角形的腰长为8时，三边长分别为8，8，5。
由8+5＞8，满足三角形三边关系，此时周长为8+8+5=21。
综上，该等腰三角形的周长是18或21。
【答案】
18或21
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形相关计算，核心是分类讨论思想的运用，易错点是忘记分情况讨论，或是得到三边长后忽略验证三角形三边关系，导致漏解或错解，解题时需考虑全面。
【难度系数】
0.7
等腰三角形的特点是有两条边长相等，本题给出的两条边长不相等，因此需要分两种情况讨论：一是腰长为5，二是腰长为8。每种情况得到三边长后，需要先根据三角形“任意两边之和大于第三边”的关系判断是否能构成三角形，符合要求的再计算周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当等腰三角形的腰长为5时，三边长分别为5，5，8。
由5+5＞8，满足三角形三边关系，此时周长为5+5+8=18；
② 当等腰三角形的腰长为8时，三边长分别为8，8，5。
由8+5＞8，满足三角形三边关系，此时周长为8+8+5=21。
综上，该等腰三角形的周长是18或21。
【答案】
18或21
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形相关计算，核心是分类讨论思想的运用，易错点是忘记分情况讨论，或是得到三边长后忽略验证三角形三边关系，导致漏解或错解，解题时需考虑全面。
【难度系数】
0.7
12. 一个三角形的三条边长分别为4、7、x，另一个三角形的三条边长分别为y、4、6，若这两个三角形全等，则$x+y=$。
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。观察两个三角形的边长，发现都有长度为4的边，说明4是一组对应边，那么两个三角形剩余的两组边也分别对应相等，由此可推出x和y的值，最后计算x+y即可。
【解析】
解：
∵ 两个三角形全等，
∴ 它们的对应边相等。
已知两个三角形都有长度为4的边，因此长度为4的边为对应边，剩余两组边对应相等：
第一个三角形的边长为4、7、x，第二个三角形的边长为4、6、y，
∴ 可得x=6，y=7，
∴ x+y=6+7=13。
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形对应边相等的应用，解题的关键是先确定公共长度的边为对应边，再推导其余对应边的数值，避免对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。观察两个三角形的边长，发现都有长度为4的边，说明4是一组对应边，那么两个三角形剩余的两组边也分别对应相等，由此可推出x和y的值，最后计算x+y即可。
【解析】
解：
∵ 两个三角形全等，
∴ 它们的对应边相等。
已知两个三角形都有长度为4的边，因此长度为4的边为对应边，剩余两组边对应相等：
第一个三角形的边长为4、7、x，第二个三角形的边长为4、6、y，
∴ 可得x=6，y=7，
∴ x+y=6+7=13。
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形对应边相等的应用，解题的关键是先确定公共长度的边为对应边，再推导其余对应边的数值，避免对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
13. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图7,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”小明的做法,其理论依据是.
答案
在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
解析
【分析】
要确定该做法的理论依据，首先明确两把完全相同的长方形直尺的特征：它们的宽度相等。交点P到OA的距离等于直尺的宽度，到OB的距离也等于直尺的宽度，因此P到∠AOB两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理即可推出结论。
【解析】
∵ 两把长方形直尺完全相同，
∴ 两把直尺的宽度相等。
点P是两把直尺的交点，因此点P到射线OA的距离等于直尺的宽度，点P到射线OB的距离也等于直尺的宽度，即点P在∠AOB的内部，且到∠AOB两边的距离相等。
根据角平分线的判定定理，可得射线OP就是∠BOA的平分线。
【答案】
在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题结合直尺操作的生活场景考查角平分线的判定定理，需要学生将实际操作中的直尺宽度转化为点到角两边的距离，属于基础应用题，熟悉定理内容即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要确定该做法的理论依据，首先明确两把完全相同的长方形直尺的特征：它们的宽度相等。交点P到OA的距离等于直尺的宽度，到OB的距离也等于直尺的宽度，因此P到∠AOB两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理即可推出结论。
【解析】
∵ 两把长方形直尺完全相同，
∴ 两把直尺的宽度相等。
点P是两把直尺的交点，因此点P到射线OA的距离等于直尺的宽度，点P到射线OB的距离也等于直尺的宽度，即点P在∠AOB的内部，且到∠AOB两边的距离相等。
根据角平分线的判定定理，可得射线OP就是∠BOA的平分线。
【答案】
在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题结合直尺操作的生活场景考查角平分线的判定定理，需要学生将实际操作中的直尺宽度转化为点到角两边的距离，属于基础应用题，熟悉定理内容即可快速解答。
【难度系数】
0.8
14.如图8,Rt△ABE≌Rt△ECD,点B、E、C在同一直线上,则下列
结论:①AE=ED;②AE⊥DE;③BC=AB+CD;④AB//DC.其中成立的是(填序号).
结论:①AE=ED;②AE⊥DE;③BC=AB+CD;④AB//DC.其中成立的是(填序号).
答案
解：
∵ Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴ AE=ED，AB=EC，BE=CD，∠A=∠DEC，∠B=∠C=90°。
① 由全等三角形对应边相等，直接得AE=ED，故①成立；
② 在Rt△ABE中，∠A + ∠AEB = 90°，
将∠A=∠DEC代入得∠DEC + ∠AEB = 90°，
又∵ 点B、E、C在同一直线上，
∴ ∠AED = 180° - (∠AEB + ∠DEC) = 90°，即AE⊥DE，故②成立；
③ ∵ BC = BE + EC，且AB=EC，BE=CD，
∴ BC = AB + CD，故③成立；
④ ∵ ∠B=∠C=90°，即AB⊥BC，DC⊥BC，
∴ AB//DC，故④成立。
综上，成立的是①②③④。
∵ Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴ AE=ED，AB=EC，BE=CD，∠A=∠DEC，∠B=∠C=90°。
① 由全等三角形对应边相等，直接得AE=ED，故①成立；
② 在Rt△ABE中，∠A + ∠AEB = 90°，
将∠A=∠DEC代入得∠DEC + ∠AEB = 90°，
又∵ 点B、E、C在同一直线上，
∴ ∠AED = 180° - (∠AEB + ∠DEC) = 90°，即AE⊥DE，故②成立；
③ ∵ BC = BE + EC，且AB=EC，BE=CD，
∴ BC = AB + CD，故③成立；
④ ∵ ∠B=∠C=90°，即AB⊥BC，DC⊥BC，
∴ AB//DC，故④成立。
综上，成立的是①②③④。
解析
【分析】
解题时先利用已知的Rt△ABE≌Rt△ECD的条件，结合全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，逐一验证4个结论：
1. 验证①：直接判断AE和ED为全等三角形的对应边，即可根据全等性质判断结论；
2. 验证②：要证AE⊥DE，只需证∠AED=90°，可先利用直角三角形两锐角互余得到∠A+∠AEB=90°，再通过全等的对应角等量代换，结合平角为180°推导∠AED的度数；
3. 验证③：将BC拆分为BE+EC，再用全等的对应边替换BE、EC为CD、AB，即可判断结论；
4. 验证④：已知∠B和∠C均为90°，根据同旁内角互补或垂直于同一直线的两直线平行，即可判断AB与DC的平行关系。
【解析】
∵ Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴ AE=ED，AB=EC，BE=CD，∠A=∠DEC，∠B=∠C=90°。
① 由全等三角形对应边相等，直接得AE=ED，故①成立；
② 在Rt△ABE中，∠A + ∠AEB = 90°，
将∠A=∠DEC代入得∠DEC + ∠AEB = 90°，
又
∵ 点B、E、C在同一直线上，∠BEC为平角，
∴ ∠AED = 180° - (∠AEB + ∠DEC) = 90°，即AE⊥DE，故②成立；
③
∵ BC = BE + EC，且AB=EC，BE=CD，
∴ BC = AB + CD，故③成立；
④
∵ ∠B=∠C=90°，即AB⊥BC，DC⊥BC，
∴ AB//DC，故④成立。
【答案】
①②③④
【知识点】
全等三角形的性质，垂直的判定，平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形应用的基础典型题，需要结合全等性质逐一验证多个结论，解题核心是熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质，灵活结合角的和差关系、平行线判定定理完成推导。
【难度系数】
0.7
解题时先利用已知的Rt△ABE≌Rt△ECD的条件，结合全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，逐一验证4个结论：
1. 验证①：直接判断AE和ED为全等三角形的对应边，即可根据全等性质判断结论；
2. 验证②：要证AE⊥DE，只需证∠AED=90°，可先利用直角三角形两锐角互余得到∠A+∠AEB=90°，再通过全等的对应角等量代换，结合平角为180°推导∠AED的度数；
3. 验证③：将BC拆分为BE+EC，再用全等的对应边替换BE、EC为CD、AB，即可判断结论；
4. 验证④：已知∠B和∠C均为90°，根据同旁内角互补或垂直于同一直线的两直线平行，即可判断AB与DC的平行关系。
【解析】
∵ Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴ AE=ED，AB=EC，BE=CD，∠A=∠DEC，∠B=∠C=90°。
① 由全等三角形对应边相等，直接得AE=ED，故①成立；
② 在Rt△ABE中，∠A + ∠AEB = 90°，
将∠A=∠DEC代入得∠DEC + ∠AEB = 90°，
又
∵ 点B、E、C在同一直线上，∠BEC为平角，
∴ ∠AED = 180° - (∠AEB + ∠DEC) = 90°，即AE⊥DE，故②成立；
③
∵ BC = BE + EC，且AB=EC，BE=CD，
∴ BC = AB + CD，故③成立；
④
∵ ∠B=∠C=90°，即AB⊥BC，DC⊥BC，
∴ AB//DC，故④成立。
【答案】
①②③④
【知识点】
全等三角形的性质，垂直的判定，平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形应用的基础典型题，需要结合全等性质逐一验证多个结论，解题核心是熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质，灵活结合角的和差关系、平行线判定定理完成推导。
【难度系数】
0.7
