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18. (9分)如图12,已知$△ ABC$.
(1)用尺规作图画出AC的垂直平分线DE,交BC于点D,交AC于点E(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接AD,若$△ ABC$的周长为19,$AE=3$,直接写出$△ ABD$的周长为.
(1)用尺规作图画出AC的垂直平分线DE,交BC于点D,交AC于点E(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接AD,若$△ ABC$的周长为19,$AE=3$,直接写出$△ ABD$的周长为.
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
【分析】
（1）作AC的垂直平分线时，分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，过这两个点作直线DE，使其交BC于点D、交AC于点E，保留作图痕迹即可。
（2）求解第二问时，首先根据线段垂直平分线的性质，可得AD=DC，且AC=2AE；再结合△ABC的周长求出AB+BC的长度；最后将△ABD的周长通过等量代换转化为AB+BC的和，即可算出结果。
【解析】
（1）按尺规作图要求画出DE，保留作图痕迹即可。
（2）已知DE是AC的垂直平分线，$AE=3$，根据垂直平分线的性质可得：
$AD=CD$，$AC=2AE=2×3=6$
∵$△ ABC$的周长为19，即$AB+BC+AC=19$
∴$AB+BC=19-AC=19-6=13$
$△ ABD$的周长为$AB+BD+AD$，将$AD=CD$代入得：
$AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13$
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作图，三角形周长计算
【点评】
本题结合尺规作图考查线段垂直平分线性质的应用，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知的三角形周长转化为可通过已知条件推导的线段和，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
（1）作AC的垂直平分线时，分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，过这两个点作直线DE，使其交BC于点D、交AC于点E，保留作图痕迹即可。
（2）求解第二问时，首先根据线段垂直平分线的性质，可得AD=DC，且AC=2AE；再结合△ABC的周长求出AB+BC的长度；最后将△ABD的周长通过等量代换转化为AB+BC的和，即可算出结果。
【解析】
（1）按尺规作图要求画出DE，保留作图痕迹即可。
（2）已知DE是AC的垂直平分线，$AE=3$，根据垂直平分线的性质可得：
$AD=CD$，$AC=2AE=2×3=6$
∵$△ ABC$的周长为19，即$AB+BC+AC=19$
∴$AB+BC=19-AC=19-6=13$
$△ ABD$的周长为$AB+BD+AD$，将$AD=CD$代入得：
$AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13$
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作图，三角形周长计算
【点评】
本题结合尺规作图考查线段垂直平分线性质的应用，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知的三角形周长转化为可通过已知条件推导的线段和，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
19. (9分)已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且$a+2ab = c+2bc$，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形，并说明理由.
答案
解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
对已知等式 $a + 2ab = c + 2bc$ 移项，得：
$a + 2ab - c - 2bc = 0$
分组因式分解，得：
$(a - c) + 2b(a - c) = 0$
提取公因式$(a - c)$，得：
$(a - c)(1 + 2b) = 0$
∵ $a、b、c$ 是△ABC的三边长，
∴ $b ＞ 0$，
∴ $1 + 2b ＞ 1 ≠ 0$，
∴ $a - c = 0$，即 $a = c$，
∴ △ABC是等腰三角形。
对已知等式 $a + 2ab = c + 2bc$ 移项，得：
$a + 2ab - c - 2bc = 0$
分组因式分解，得：
$(a - c) + 2b(a - c) = 0$
提取公因式$(a - c)$，得：
$(a - c)(1 + 2b) = 0$
∵ $a、b、c$ 是△ABC的三边长，
∴ $b ＞ 0$，
∴ $1 + 2b ＞ 1 ≠ 0$，
∴ $a - c = 0$，即 $a = c$，
∴ △ABC是等腰三角形。
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需先根据已知等式推导三边的数量关系。解题时先对等式移项，将所有项移到等号左侧，再通过分组、提取公因式的方法进行因式分解，得到两个因式乘积为0的形式；再结合三角形边长均为正数的隐含条件，判断其中不可能为0的因式，进而推出剩余因式为0，得到两边相等的结论，即可判断三角形形状。
【解析】
△ABC是等腰三角形，理由如下：
对已知等式 $a + 2ab = c + 2bc$ 移项，得：
$a + 2ab - c - 2bc = 0$
分组因式分解，得：
$(a - c) + 2b(a - c) = 0$
提取公因式$(a - c)$，得：
$(a - c)(1 + 2b) = 0$
∵ $a、b、c$ 是△ABC的三边长，
∴ $b ＞ 0$，
∴ $1 + 2b ＞ 1 ≠ 0$，
∴ $a - c = 0$，即 $a = c$，
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
因式分解的应用；等腰三角形的判定；三角形三边的性质
【点评】
本题是代数运算与几何判定结合的基础题型，解题核心是通过因式分解对已知等式变形，结合三角形边长为正的隐含条件推导边的相等关系，考查学生的代数变形能力和几何基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断三角形的形状，需先根据已知等式推导三边的数量关系。解题时先对等式移项，将所有项移到等号左侧，再通过分组、提取公因式的方法进行因式分解，得到两个因式乘积为0的形式；再结合三角形边长均为正数的隐含条件，判断其中不可能为0的因式，进而推出剩余因式为0，得到两边相等的结论，即可判断三角形形状。
【解析】
△ABC是等腰三角形，理由如下：
对已知等式 $a + 2ab = c + 2bc$ 移项，得：
$a + 2ab - c - 2bc = 0$
分组因式分解，得：
$(a - c) + 2b(a - c) = 0$
提取公因式$(a - c)$，得：
$(a - c)(1 + 2b) = 0$
∵ $a、b、c$ 是△ABC的三边长，
∴ $b ＞ 0$，
∴ $1 + 2b ＞ 1 ≠ 0$，
∴ $a - c = 0$，即 $a = c$，
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
因式分解的应用；等腰三角形的判定；三角形三边的性质
【点评】
本题是代数运算与几何判定结合的基础题型，解题核心是通过因式分解对已知等式变形，结合三角形边长为正的隐含条件推导边的相等关系，考查学生的代数变形能力和几何基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.8
20. (9分)如图13,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,E是AB的中点,以△ABC的边AB向外作等边△ABD,连接DE.求证:AC=DE. 
答案
证明：
∵ △ABD是等边三角形，
∴ AB=AD，∠BAD=60°。
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠DAE=∠BAC=30°。
∵ E是AB的中点，△ABD是等边三角形，
∴ DE⊥AB，即∠DEA=90°。
又∵ ∠C=90°，
∴ ∠C=∠DEA。
在△ACB和△DEA中，
$\{\begin{array}{l}∠C=∠DEA \\∠BAC=∠DAE \\AB=DA\end{array} $
∴ △ACB ≌ △DEA（AAS）
∴ AC=DE。
∵ △ABD是等边三角形，
∴ AB=AD，∠BAD=60°。
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠DAE=∠BAC=30°。
∵ E是AB的中点，△ABD是等边三角形，
∴ DE⊥AB，即∠DEA=90°。
又∵ ∠C=90°，
∴ ∠C=∠DEA。
在△ACB和△DEA中，
$\{\begin{array}{l}∠C=∠DEA \\∠BAC=∠DAE \\AB=DA\end{array} $
∴ △ACB ≌ △DEA（AAS）
∴ AC=DE。
解析
【分析】
要证明AC=DE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现，本题可证明△ACB≌△DEA。首先利用等边三角形的性质得到AB=AD、∠BAD=60°，结合已知∠BAC=30°可推出∠DAE=∠BAC=30°；再根据等边三角形三线合一的性质，由E是AB的中点可得DE⊥AB，即∠DEA=90°，与已知∠C=90°相等；最后结合三组对应相等的条件，用AAS判定两个三角形全等，即可由全等三角形对应边相等得到AC=DE。
【解析】
证明：
∵ △ABD是等边三角形，
∴ AB=AD，∠BAD=60°。
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠DAE=∠BAC=30°。
∵ E是AB的中点，△ABD是等边三角形，
∴ DE⊥AB，即∠DEA=90°。
又
∵ ∠C=90°，
∴ ∠C=∠DEA。
在△ACB和△DEA中，
$\{\begin{array}{l}∠C=∠DEA \\∠BAC=∠DAE \\AB=DA\end{array} $
∴ △ACB ≌ △DEA（AAS）
∴ AC=DE。
【答案】
AC=DE
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查利用全等三角形证明线段相等的方法，解题的关键是准确找到待证线段所属的三角形，结合已知条件推导全等所需的对应角、对应边相等的关系，熟练掌握等边三角形和全等三角形的相关性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要证明AC=DE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现，本题可证明△ACB≌△DEA。首先利用等边三角形的性质得到AB=AD、∠BAD=60°，结合已知∠BAC=30°可推出∠DAE=∠BAC=30°；再根据等边三角形三线合一的性质，由E是AB的中点可得DE⊥AB，即∠DEA=90°，与已知∠C=90°相等；最后结合三组对应相等的条件，用AAS判定两个三角形全等，即可由全等三角形对应边相等得到AC=DE。
【解析】
证明：
∵ △ABD是等边三角形，
∴ AB=AD，∠BAD=60°。
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠DAE=∠BAC=30°。
∵ E是AB的中点，△ABD是等边三角形，
∴ DE⊥AB，即∠DEA=90°。
又
∵ ∠C=90°，
∴ ∠C=∠DEA。
在△ACB和△DEA中，
$\{\begin{array}{l}∠C=∠DEA \\∠BAC=∠DAE \\AB=DA\end{array} $
∴ △ACB ≌ △DEA（AAS）
∴ AC=DE。
【答案】
AC=DE
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查利用全等三角形证明线段相等的方法，解题的关键是准确找到待证线段所属的三角形，结合已知条件推导全等所需的对应角、对应边相等的关系，熟练掌握等边三角形和全等三角形的相关性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
