21. (10分)如图14,已知C是AB上一点,点D、E分别在AB两侧,AD//BE,且AD=BC,BE=AC.连接DE,交AB于点F,猜想△BEF的形状,并给予证明.

解：△BEF是等腰三角形。
证明：
∵ AD//BE，
∴ ∠A = ∠B。
在AB上取点F'，使AF' = BC，连接DF'、EF'。
∵ AD = BC，
∴ AD = AF'，
∴ △ADF'为等腰三角形，∠ADF' = ∠AF'D。
由三角形内角和得：∠A + ∠ADF' + ∠AF'D = 180°，
∴ ∠AF'D = (180° - ∠A) / 2。
∵ AC = BE，且AB = AC + BC，
∴ BF' = AB - AF' = AC + BC - BC = AC，
∴ BF' = BE，
∴ △BEF'为等腰三角形，∠BEF' = ∠BF'E。
由三角形内角和得：∠B + ∠BEF' + ∠BF'E = 180°，
∴ ∠BF'E = (180° - ∠B) / 2。
∵ ∠A = ∠B，
∴ ∠AF'D = ∠BF'E。
∵ 点F'在AB上，∠AF'D + ∠DF'B = 180°（平角定义），
∴ ∠BF'E + ∠DF'B = 180°，
∴ D、F'、E三点共线，即F'与DE和AB的交点F重合。
∴ BF = BE，
∴ △BEF是等腰三角形。

【分析】
要判断△BEF的形状，优先考虑是否为等腰三角形，即需证明该三角形有两边相等或两角相等。首先根据AD//BE可推出内错角∠A=∠B，结合已知的AD=BC、BE=AC的边长条件，我们可以在AB上构造辅助点F'，通过证明构造的F'与DE和AB的交点F重合，进而推导边的等量关系得到结论。
【解析】
△BEF是等腰三角形，证明如下：
∵ AD//BE，
∴ ∠A = ∠B（两直线平行，内错角相等）。
在AB上取点F'，使AF' = BC，连接DF'、EF'。
∵ AD = BC，
∴ AD = AF'，
∴ △ADF'为等腰三角形，∠ADF' = ∠AF'D。
由三角形内角和定理得：∠A + ∠ADF' + ∠AF'D = 180°，
∴ ∠AF'D = $\frac{180° - ∠ A}{2}$。
∵ AC = BE，且AB = AC + BC，
∴ BF' = AB - AF' = AC + BC - BC = AC，
∴ BF' = BE，
∴ △BEF'为等腰三角形，∠BEF' = ∠BF'E。
由三角形内角和定理得：∠B + ∠BEF' + ∠BF'E = 180°，
∴ ∠BF'E = $\frac{180° - ∠ B}{2}$。
∵ ∠A = ∠B，
∴ ∠AF'D = ∠BF'E。
∵ 点F'在AB上，∠AF'D + ∠DF'B = 180°（平角的定义），
∴ ∠BF'E + ∠DF'B = 180°，
∴ D、F'、E三点共线，即F'与DE和AB的交点F重合。
∴ BF = BE，
∴ △BEF是等腰三角形。
【答案】
△BEF是等腰三角形
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何探究类题目，解题的关键是合理构造辅助线，通过角的等量关系证明三点共线，进而推导得到边的相等关系，对学生的逻辑推理能力和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.5

22. (10分)如图15,已知$DE ⊥ AB$,垂足为点E,$DF ⊥ AC$,垂足为点F,$BD=CD$,$BE=CF$.求证:
(1)AD平分$∠ BAC$;
(2)$AB+AC=2AE$.

证明：
(1)
∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ $∠E = ∠DFC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases}BD = CD \\BE = CF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF \ (\mathrm{HL})$，
∴ $DE = DF$。
又∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ 点$D$在$∠BAC$的角平分线上，即$AD$平分$∠BAC$。
(2)
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中，
$\begin{cases}AD = AD \\DE = DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ ADF \ (\mathrm{HL})$，
∴ $AE = AF$。
∵ $AB = AE - BE$，$AC = AF + CF$，且$BE = CF$，
∴ $AB + AC = (AE - BE) + (AF + CF) = AE + AF = 2AE$，
即$AB + AC = 2AE$。

【分析】
(1) 要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点D到AB的距离DE与到AC的距离DF相等即可。观察DE、DF分别在Rt△BDE和Rt△CDF中，已知BD=CD、BE=CF，可通过HL判定两个直角三角形全等，从而得到DE=DF，即可证明AD是角平分线。
(2) 要证明AB+AC=2AE，首先可证Rt△ADE和Rt△ADF全等，得到AE=AF；再将AB表示为AE-BE，AC表示为AF+CF，结合已知BE=CF，将两式相加后通过等线段代换即可推导出结论。
【解析】
(1)
∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ $∠E = ∠DFC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases}BD = CD \\BE = CF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF \ (\mathrm{HL})$，
∴ $DE = DF$。
又
∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ 点$D$在$∠BAC$的角平分线上，即$AD$平分$∠BAC$。
(2)
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中，
$\begin{cases}AD = AD \\DE = DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ ADF \ (\mathrm{HL})$，
∴ $AE = AF$。
∵ $AB = AE - BE$，$AC = AF + CF$，且$BE = CF$，
∴ $AB + AC = (AE - BE) + (AF + CF) = AE + AF = 2AE$，
即$AB + AC = 2AE$。
【答案】
(1) $AD$平分$∠BAC$，得证；
(2) $AB+AC=2AE$，得证。
【知识点】
HL判定全等、角平分线的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形与角平分线结合的常规证明题，侧重考查基础定理的应用，解题时可结合待证结论逆向推导所需条件，通过证明全等得到等线段后代换推导即可，掌握相关基础定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7