23. (11分)已知$△ ABC$中，D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E.

(1)若$BD ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，如图16①所示，试说明$∠ A + ∠ BEC = 180°$；
(2)若BD平分$∠ ABC$，CF平分$∠ ACB$，如图16②所示，试说明此时$∠ A$与$∠ BEC$的数量关系；
(3)在(2)的条件下，若$∠ A = 60°$，试证明：$EF = ED$.

(1) 证明：
∵ $BD⊥AC$，$CF⊥AB$
∴ $∠ ADB = 90°$，$∠ BFC = 90°$
∴ $∠ A + ∠ ABD = 90°$，即 $∠ ABD = 90° - ∠ A$
∵ $∠ BEC$ 是 $△ BEF$ 的外角
∴ $∠ BEC = ∠ BFC + ∠ ABD = 90° + 90° - ∠ A = 180° - ∠ A$
∴ $∠ A + ∠ BEC = 180°$
---
(2) 解：$\boldsymbol{∠ BEC = 90° + \frac{1}{2}∠ A}$，理由如下：
∵ $BD$ 平分 $∠ ABC$，$CF$ 平分 $∠ ACB$
∴ $∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴ $∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$
在 $△ ABC$ 中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
∴ $∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$
代入得：$∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
在 $△ BEC$ 中，$∠ BEC + ∠ EBC + ∠ ECB = 180°$
∴ $∠ BEC = 180° - (90° - \frac{1}{2}∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
---
(3) 证明：
∵ $∠ A = 60°$，由(2)得 $∠ BEC = 90° + \frac{1}{2}×60° = 120°$
∴ $∠ BEF = 180° - ∠ BEC = 60°$，$∠ CED = 60°$
在 $BC$ 上截取 $BG = BF$，连接 $EG$
∵ $BD$ 平分 $∠ ABC$，∴ $∠ FBE = ∠ GBE$
在 $△ BFE$ 和 $△ BGE$ 中：
$\begin{cases}BF = BG \\∠ FBE = ∠ GBE \\BE = BE\end{cases}$
∴ $△ BFE ≌ △ BGE \ (\mathrm{SAS})$
∴ $EF = EG$，$∠ BEF = ∠ BEG = 60°$
∴ $∠ CEG = ∠ BEC - ∠ BEG = 120° - 60° = 60°$
即 $∠ CEG = ∠ CED = 60°$
∵ $CF$ 平分 $∠ ACB$，∴ $∠ ECG = ∠ ECD$
在 $△ CEG$ 和 $△ CED$ 中：
$\begin{cases}∠ CEG = ∠ CED \\CE = CE \\∠ ECG = ∠ ECD\end{cases}$
∴ $△ CEG ≌ △ CED \ (\mathrm{ASA})$
∴ $ED = EG$
结合 $EF = EG$，可得 $EF = ED$。

【分析】
(1) 要证明$∠ A+∠ BEC=180°$，先结合垂直的条件得到直角三角形两锐角互余，推导$∠ ABD$与$∠ A$的数量关系，再利用三角形外角的性质将$∠ BEC$用已知角代换，整理后即可得到结论。
(2) 要推导$∠ A$和$∠ BEC$的数量关系，先根据角平分线的定义得到$∠ EBC$、$∠ ECB$分别为$∠ ABC$、$∠ ACB$的一半，结合三角形内角和定理推出$∠ ABC+∠ ACB$与$∠ A$的关系，代入得到$∠ EBC+∠ ECB$的表达式，最后在$△ BEC$中再次利用内角和定理，即可得到$∠ BEC$与$∠ A$的关系。
(3) 要证明$EF=ED$，可通过全等三角形转化线段，结合角平分线的条件选择截长补短法：在$BC$上截取$BG=BF$，先利用SAS证明$△ BFE≌△ BGE$，得到$EF=EG$，再结合已知角度推出$∠ CEG=∠ CED$，利用ASA证明$△ CEG≌△ CED$，得到$ED=EG$，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ $BD⊥ AC$，$CF⊥ AB$
∴ $∠ ADB = 90°$，$∠ BFC = 90°$
∴ $∠ A + ∠ ABD = 90°$，即 $∠ ABD = 90° - ∠ A$
∵ $∠ BEC$ 是 $△ BEF$ 的外角
∴ $∠ BEC = ∠ BFC + ∠ ABD = 90° + 90° - ∠ A = 180° - ∠ A$
∴ $∠ A + ∠ BEC = 180°$
(2) 解：$\boldsymbol{∠ BEC = 90° + \frac{1}{2}∠ A}$，理由如下：
∵ $BD$ 平分 $∠ ABC$，$CF$ 平分 $∠ ACB$
∴ $∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴ $∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$
在 $△ ABC$ 中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
∴ $∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$
代入得：$∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
在 $△ BEC$ 中，$∠ BEC + ∠ EBC + ∠ ECB = 180°$
∴ $∠ BEC = 180° - (90° - \frac{1}{2}∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
(3) 证明：
∵ $∠ A = 60°$，由(2)得 $∠ BEC = 90° + \frac{1}{2}×60° = 120°$
∴ $∠ BEF = 180° - ∠ BEC = 60°$，$∠ CED = 60°$
在 $BC$ 上截取 $BG = BF$，连接 $EG$
∵ $BD$ 平分 $∠ ABC$，
∴ $∠ FBE = ∠ GBE$
在 $△ BFE$ 和 $△ BGE$ 中：
$\begin{cases}BF = BG \\∠ FBE = ∠ GBE \\BE = BE\end{cases}$
∴ $△ BFE ≌ △ BGE \ (\mathrm{SAS})$
∴ $EF = EG$，$∠ BEF = ∠ BEG = 60°$
∴ $∠ CEG = ∠ BEC - ∠ BEG = 120° - 60° = 60°$
即 $∠ CEG = ∠ CED = 60°$
∵ $CF$ 平分 $∠ ACB$，
∴ $∠ ECG = ∠ ECD$
在 $△ CEG$ 和 $△ CED$ 中：
$\begin{cases}∠ CEG = ∠ CED \\CE = CE \\∠ ECG = ∠ ECD\end{cases}$
∴ $△ CEG ≌ △ CED \ (\mathrm{ASA})$
∴ $ED = EG$
结合 $EF = EG$，可得 $EF = ED$。
【答案】
(1) $∠ A + ∠ BEC = 180°$，得证；
(2) $\boldsymbol{∠ BEC = 90° + \frac{1}{2}∠ A}$；
(3) $EF=ED$，得证。
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形综合类题目，分层考查了垂直的性质、三角形外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及全等三角形的判定与性质，其中第三问用到的截长补短法是角平分线相关线段相等证明的常用辅助线方法，需熟练掌握此类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6