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1. (2025·无锡)分解因式$a^3 -4a$的结果是 ()
A.$a(a^2+4)$
B.$a(a-4)$
C.$a(a+2)(a-2)$
D.$a(a^2-1)$
A.$a(a^2+4)$
B.$a(a-4)$
C.$a(a+2)(a-2)$
D.$a(a^2-1)$
答案
C
解析
【分析】
解决分解因式类题目，遵循“一提二套三查”的思路即可：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有先提取公因式；第二步看提取公因式后的式子是否符合乘法公式的结构，若符合就套用公式继续分解；第三步检查是否分解到每个因式都不能再分解为止。本题先提取公因式，再套用平方差公式分解就能得到结果。
【解析】
分解因式$a^3 -4a$的步骤如下：
1. 提取公因式：观察多项式各项均含有公因式$a$，提取后可得：
$a^3 -4a = a(a^2 - 4)$
2. 套用平方差公式：$a^2 -4$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构，其中$m=a$，$n=2$，因此：
$a^2 -4=(a+2)(a-2)$
3. 合并得到最终分解结果：$a^3 -4a = a(a+2)(a-2)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查因式分解的常规操作步骤，解题时要注意因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.85
解决分解因式类题目，遵循“一提二套三查”的思路即可：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有先提取公因式；第二步看提取公因式后的式子是否符合乘法公式的结构，若符合就套用公式继续分解；第三步检查是否分解到每个因式都不能再分解为止。本题先提取公因式，再套用平方差公式分解就能得到结果。
【解析】
分解因式$a^3 -4a$的步骤如下：
1. 提取公因式：观察多项式各项均含有公因式$a$，提取后可得：
$a^3 -4a = a(a^2 - 4)$
2. 套用平方差公式：$a^2 -4$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构，其中$m=a$，$n=2$，因此：
$a^2 -4=(a+2)(a-2)$
3. 合并得到最终分解结果：$a^3 -4a = a(a+2)(a-2)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查因式分解的常规操作步骤，解题时要注意因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.85
2. 下列说法正确的是 （）
A.4 的平方根是 2
B.-8 没有立方根
C.8 的立方根是 ±2
D.4 的算术平方根是 2
A.4 的平方根是 2
B.-8 没有立方根
C.8 的立方根是 ±2
D.4 的算术平方根是 2
答案
D
解析
【分析】
这道题考查平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，解题时先明确三类根式的核心区别，再逐一核对每个选项的表述是否符合定义即可。首先回忆相关性质：1. 正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根；2. 算术平方根是正数的正的平方根，结果为非负数；3. 正数、负数、0都有且只有1个立方根，立方根的符号和被开方数一致。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正数的平方根有两个，4的平方根是±2，不是只有2，该选项错误；
B. 负数有立方根，-8的立方根是-2，该选项错误；
C. 任意数的立方根仅有1个，8的立方根是2，不是±2，该选项错误；
D. 正数的算术平方根是其正的平方根，4的算术平方根是2，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义,算术平方根的定义,立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对三类根式定义的区分，解题的关键是明确平方根与立方根的差异、算术平方根的非负性，牢记相关性质即可快速判断对错。
【难度系数】
0.8
这道题考查平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，解题时先明确三类根式的核心区别，再逐一核对每个选项的表述是否符合定义即可。首先回忆相关性质：1. 正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根；2. 算术平方根是正数的正的平方根，结果为非负数；3. 正数、负数、0都有且只有1个立方根，立方根的符号和被开方数一致。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正数的平方根有两个，4的平方根是±2，不是只有2，该选项错误；
B. 负数有立方根，-8的立方根是-2，该选项错误；
C. 任意数的立方根仅有1个，8的立方根是2，不是±2，该选项错误；
D. 正数的算术平方根是其正的平方根，4的算术平方根是2，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义,算术平方根的定义,立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对三类根式定义的区分，解题的关键是明确平方根与立方根的差异、算术平方根的非负性，牢记相关性质即可快速判断对错。
【难度系数】
0.8
3. (2024·山东)下列运算正确的是 ()
A.$a^4 + a^3 = a^7$
B.$(a-1)^2 = a^2 -1$
C.$(a^3b)^2 = a^3b^2$
D.$a(2a+1)=2a^2 +a$
A.$a^4 + a^3 = a^7$
B.$(a-1)^2 = a^2 -1$
C.$(a^3b)^2 = a^3b^2$
D.$a(2a+1)=2a^2 +a$
答案
D
解析
【分析】
这是一道整式运算的正误判断题，解题思路是逐一分析每个选项，结合对应的整式运算法则判断运算是否正确，排除错误选项后得到正确答案。思考时先回忆各类整式运算的规则：同类项合并要求、完全平方公式展开规则、积的乘方运算规则、单项式乘多项式的运算规则，再对应每个选项逐一验证即可。
【解析】
逐个分析各选项：
A选项：$a^4$和$a^3$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不属于同类项，不能直接合并相加，因此A运算错误；
B选项：根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，代入$m=a、n=1$，可得$(a-1)^2=a^2-2a+1≠ a^2-1$，因此B运算错误；
C选项：根据积的乘方运算法则，积的乘方需要把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(a^3b)^2=(a^3)^2· b^2=a^6b^2≠ a^3b^2$，因此C运算错误；
D选项：根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得$a(2a+1)=a·2a + a·1=2a^2+a$，因此D运算正确。
【答案】
D
【知识点】
整式的运算；完全平方公式；积的乘方
【点评】
本题属于基础题，主要考查整式运算中常见的运算法则和公式，需要准确区分易混淆的运算规则，比如只有同类项才能合并、完全平方公式展开不要漏项、幂的运算不要错用指数规则，平时多练习易错题型就能避免失分。
【难度系数】
0.8
这是一道整式运算的正误判断题，解题思路是逐一分析每个选项，结合对应的整式运算法则判断运算是否正确，排除错误选项后得到正确答案。思考时先回忆各类整式运算的规则：同类项合并要求、完全平方公式展开规则、积的乘方运算规则、单项式乘多项式的运算规则，再对应每个选项逐一验证即可。
【解析】
逐个分析各选项：
A选项：$a^4$和$a^3$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不属于同类项，不能直接合并相加，因此A运算错误；
B选项：根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，代入$m=a、n=1$，可得$(a-1)^2=a^2-2a+1≠ a^2-1$，因此B运算错误；
C选项：根据积的乘方运算法则，积的乘方需要把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(a^3b)^2=(a^3)^2· b^2=a^6b^2≠ a^3b^2$，因此C运算错误；
D选项：根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得$a(2a+1)=a·2a + a·1=2a^2+a$，因此D运算正确。
【答案】
D
【知识点】
整式的运算；完全平方公式；积的乘方
【点评】
本题属于基础题，主要考查整式运算中常见的运算法则和公式，需要准确区分易混淆的运算规则，比如只有同类项才能合并、完全平方公式展开不要漏项、幂的运算不要错用指数规则，平时多练习易错题型就能避免失分。
【难度系数】
0.8
4. 已知$a$、$b$、$c$是三角形的三边长，那么代数式$a^2 - 2ab + b^2 - c^2$的值
（）
A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.不能确定
（）
A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.不能确定
答案
C
解析
【分析】要判断代数式的正负，可先通过因式分解将其转化为几个因式乘积的形式，再判断每个因式的正负，最终根据乘法符号法则得到结果。首先观察代数式前三项符合完全平方差公式的结构，先对前三项因式分解，所得结果与-c²构成平方差结构，再用平方差公式继续分解，最后结合三角形三边关系判断两个因式的正负即可。
【解析】先对代数式因式分解：
第一步，利用完全平方公式分解前三项：
$a^2 - 2ab + b^2 - c^2 = (a - b)^2 - c^2$
第二步，利用平方差公式继续分解：
$(a - b)^2 - c^2 = (a - b + c)(a - b - c)$
∵a、b、c是三角形的三边长，根据三角形三边关系：
两边之和大于第三边，
∴$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$；
两边之差小于第三边，
∴$a - b ＜ c$，即$a - b - c ＜ 0$。
正数与负数相乘，乘积为负，因此代数式的值小于0。
【答案】C
【知识点】因式分解；三角形三边关系；有理数乘法符号法则
【点评】本题是代数与几何的基础综合题，解题的核心在于熟练掌握因式分解的常用公式，同时能灵活运用三角形三边关系判断因式的正负，考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】先对代数式因式分解：
第一步，利用完全平方公式分解前三项：
$a^2 - 2ab + b^2 - c^2 = (a - b)^2 - c^2$
第二步，利用平方差公式继续分解：
$(a - b)^2 - c^2 = (a - b + c)(a - b - c)$
∵a、b、c是三角形的三边长，根据三角形三边关系：
两边之和大于第三边，
∴$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$；
两边之差小于第三边，
∴$a - b ＜ c$，即$a - b - c ＜ 0$。
正数与负数相乘，乘积为负，因此代数式的值小于0。
【答案】C
【知识点】因式分解；三角形三边关系；有理数乘法符号法则
【点评】本题是代数与几何的基础综合题，解题的核心在于熟练掌握因式分解的常用公式，同时能灵活运用三角形三边关系判断因式的正负，考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】0.7
5. 如图
,点P在线段AB外,且$PA=PB$,求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 在证明该结论时,需添加辅助线,则下列作法不正确的是()
A.作$∠ APB$的平分线PC交AB于点C
B.取AB的中点C,连接PC
C.过点P作$PC⊥ AB$于点C,且$AC=BC$
D.过点P作$PC⊥ AB$,垂足为点C
,点P在线段AB外,且$PA=PB$,求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 在证明该结论时,需添加辅助线,则下列作法不正确的是()A.作$∠ APB$的平分线PC交AB于点C
B.取AB的中点C,连接PC
C.过点P作$PC⊥ AB$于点C,且$AC=BC$
D.过点P作$PC⊥ AB$,垂足为点C
答案
C
解析
【分析】
要证明点P在线段AB的垂直平分线上，需推出过点P与AB相交的线段同时满足“垂直AB”和“平分AB”两个条件。辅助线的规范作法是一次仅确定一个约束条件，不能将待证的结论直接作为辅助线的预设条件，我们逐个分析选项的辅助线作法是否符合逻辑、能否推出所需结论即可。
【解析】
我们对每个选项的辅助线作法逐一分析：
A. 作∠APB的平分线PC交AB于点C：已知PA=PB，∠APC=∠BPC，PC为公共边，可证△APC≌△BPC（SAS），由此推出AC=BC、∠ACP=∠BCP=90°，即PC垂直平分AB，作法正确，不符合题意。
B. 取AB的中点C，连接PC：可得AC=BC，结合PA=PB、PC为公共边，可证△APC≌△BPC（SSS），由此推出∠ACP=∠BCP=90°，即PC⊥AB，PC垂直平分AB，作法正确，不符合题意。
C. 过点P作PC⊥AB于点C，且AC=BC：作PC⊥AB时，垂足C的位置是固定的，不能额外要求AC=BC，该作法直接将待证的“C是AB中点”作为辅助线的预设条件，属于逻辑错误，作法不正确，符合题意。
D. 过点P作PC⊥AB，垂足为点C：可得∠ACP=∠BCP=90°，结合PA=PB、PC为公共边，可证Rt△APC≌Rt△BPC（HL），由此推出AC=BC，即PC垂直平分AB，作法正确，不符合题意。
综上，作法不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的判定；全等三角形的判定；辅助线的作法
【点评】
本题重点考查辅助线的规范使用，要注意作辅助线时不能同时设置两个独立的约束条件，避免出现将待证结论当作已知条件的逻辑错误，同时需要熟练结合全等三角形的判定验证辅助线能否满足证明需求。
【难度系数】
0.7
要证明点P在线段AB的垂直平分线上，需推出过点P与AB相交的线段同时满足“垂直AB”和“平分AB”两个条件。辅助线的规范作法是一次仅确定一个约束条件，不能将待证的结论直接作为辅助线的预设条件，我们逐个分析选项的辅助线作法是否符合逻辑、能否推出所需结论即可。
【解析】
我们对每个选项的辅助线作法逐一分析：
A. 作∠APB的平分线PC交AB于点C：已知PA=PB，∠APC=∠BPC，PC为公共边，可证△APC≌△BPC（SAS），由此推出AC=BC、∠ACP=∠BCP=90°，即PC垂直平分AB，作法正确，不符合题意。
B. 取AB的中点C，连接PC：可得AC=BC，结合PA=PB、PC为公共边，可证△APC≌△BPC（SSS），由此推出∠ACP=∠BCP=90°，即PC⊥AB，PC垂直平分AB，作法正确，不符合题意。
C. 过点P作PC⊥AB于点C，且AC=BC：作PC⊥AB时，垂足C的位置是固定的，不能额外要求AC=BC，该作法直接将待证的“C是AB中点”作为辅助线的预设条件，属于逻辑错误，作法不正确，符合题意。
D. 过点P作PC⊥AB，垂足为点C：可得∠ACP=∠BCP=90°，结合PA=PB、PC为公共边，可证Rt△APC≌Rt△BPC（HL），由此推出AC=BC，即PC垂直平分AB，作法正确，不符合题意。
综上，作法不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的判定；全等三角形的判定；辅助线的作法
【点评】
本题重点考查辅助线的规范使用，要注意作辅助线时不能同时设置两个独立的约束条件，避免出现将待证结论当作已知条件的逻辑错误，同时需要熟练结合全等三角形的判定验证辅助线能否满足证明需求。
【难度系数】
0.7
6.若$ M = x(2x - 7) $，$ N = (x + 1)(x - 8) $，则$ M $与$ N $的大小关系是（）
A.$ M ＜ N $
B.$ M = N $
C.$ M ＞ N $
D.$ M $与$ N $的大小由$ x $的取值而定
A.$ M ＜ N $
B.$ M = N $
C.$ M ＞ N $
D.$ M $与$ N $的大小由$ x $的取值而定
答案
C
解析
【分析】
要比较两个代数式M和N的大小，通常采用作差法：计算M与N的差，根据差的正负判断大小：差为正则M＞N，差为负则M＜N，差为0则M=N。解题时先分别展开M、N的表达式，再代入作差并化简，最后判断化简后结果的正负即可得到结论。
【解析】
第一步：分别展开M、N的表达式
$M = x(2x - 7) = 2x^2 - 7x$
$N = (x + 1)(x - 8) = x^2 - 8x + x - 8 = x^2 - 7x - 8$
第二步：计算$M-N$并化简
$M - N = (2x^2 - 7x) - (x^2 - 7x - 8)$
去括号得：$M - N = 2x^2 - 7x - x^2 + 7x + 8$
合并同类项得：$M - N = x^2 + 8$
第三步：判断差的符号
根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，即$x^2 ≥ 0$，因此$x^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，可得$M - N ＞ 0$，即$M ＞ N$。
【答案】
C
【知识点】
作差法比较大小，整式乘法，平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的典型题型，解题核心是掌握作差法的应用逻辑，同时需要熟练掌握整式运算规则，结合平方的非负性即可快速得出结论，解题思路清晰固定。
【难度系数】
0.8
要比较两个代数式M和N的大小，通常采用作差法：计算M与N的差，根据差的正负判断大小：差为正则M＞N，差为负则M＜N，差为0则M=N。解题时先分别展开M、N的表达式，再代入作差并化简，最后判断化简后结果的正负即可得到结论。
【解析】
第一步：分别展开M、N的表达式
$M = x(2x - 7) = 2x^2 - 7x$
$N = (x + 1)(x - 8) = x^2 - 8x + x - 8 = x^2 - 7x - 8$
第二步：计算$M-N$并化简
$M - N = (2x^2 - 7x) - (x^2 - 7x - 8)$
去括号得：$M - N = 2x^2 - 7x - x^2 + 7x + 8$
合并同类项得：$M - N = x^2 + 8$
第三步：判断差的符号
根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，即$x^2 ≥ 0$，因此$x^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，可得$M - N ＞ 0$，即$M ＞ N$。
【答案】
C
【知识点】
作差法比较大小，整式乘法，平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的典型题型，解题核心是掌握作差法的应用逻辑，同时需要熟练掌握整式运算规则，结合平方的非负性即可快速得出结论，解题思路清晰固定。
【难度系数】
0.8
7. 已知实数$x$、$y$满足$|x-5|+(y-10)^2=0$,则以$x$、$y$的值为两边长的等腰三角形的周长是（）
A.20
B.25
C.20或25
D.以上选项均不对
A.20
B.25
C.20或25
D.以上选项均不对
答案
B
解析
【分析】
解题第一步先利用非负数的性质求出x、y的取值：绝对值和平方数都具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数的取值都为0，据此可算出x=5，y=10。第二步分情况讨论等腰三角形的边长：分别假设5为腰长、10为底边长，以及10为腰长、5为底边长两种情况，最后用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否成立，排除不符合的情况后计算周长即可。
【解析】
解：
∵|x-5|≥0，$(y-10)^2$≥0，且$|x-5|+(y-10)^2=0$
∴$\begin{cases}x-5=0 \\ y-10=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=5 \\ y=10 \end{cases}$
分两种情况讨论等腰三角形的边长：
① 若腰长为5，底边长为10，此时三角形三边长为5、5、10
∵$5+5=10$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，该情况不成立，舍去；
② 若腰长为10，底边长为5，此时三角形三边长为10、10、5
∵$5+10＞10$，$10+10＞5$，满足三角形三边关系，该情况成立
此时三角形周长为$10+10+5=25$
综上，等腰三角形的周长为25，答案选B
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易忽略验证三角形三边关系，直接认为两种情况都成立从而错选C，涉及等腰三角形边长的题目，只要没有明确腰和底的长度，都要分情况讨论，并且讨论后一定要用三边关系验证是否能构成三角形。
【难度系数】
0.6
解题第一步先利用非负数的性质求出x、y的取值：绝对值和平方数都具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数的取值都为0，据此可算出x=5，y=10。第二步分情况讨论等腰三角形的边长：分别假设5为腰长、10为底边长，以及10为腰长、5为底边长两种情况，最后用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否成立，排除不符合的情况后计算周长即可。
【解析】
解：
∵|x-5|≥0，$(y-10)^2$≥0，且$|x-5|+(y-10)^2=0$
∴$\begin{cases}x-5=0 \\ y-10=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=5 \\ y=10 \end{cases}$
分两种情况讨论等腰三角形的边长：
① 若腰长为5，底边长为10，此时三角形三边长为5、5、10
∵$5+5=10$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，该情况不成立，舍去；
② 若腰长为10，底边长为5，此时三角形三边长为10、10、5
∵$5+10＞10$，$10+10＞5$，满足三角形三边关系，该情况成立
此时三角形周长为$10+10+5=25$
综上，等腰三角形的周长为25，答案选B
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易忽略验证三角形三边关系，直接认为两种情况都成立从而错选C，涉及等腰三角形边长的题目，只要没有明确腰和底的长度，都要分情况讨论，并且讨论后一定要用三边关系验证是否能构成三角形。
【难度系数】
0.6
8.若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,则称这个正整数为“好数”.下列正整数能称为“好数”的是 ()
A.205
B.250
C.502
D.520
A.205
B.250
C.502
D.520
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个数是“好数”，首先需要根据“好数”的定义，推导得出“好数”的共同特征：先设出两个连续奇数的代数式，再利用平方差公式计算两个连续奇数的平方差，化简后即可得到好数的数字特征，最后逐一验证选项是否符合该特征即可。
【解析】
设两个连续奇数分别为$2n-1$和$2n+1$（$n$为正整数），根据平方差公式计算两个数的平方差：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=(2n+1 + 2n - 1)(2n+1 - (2n - 1))\\&=4n × 2\\&=8n\end{aligned}$
由此可得，“好数”是8的正整数倍。
逐一验证选项：
A. $205÷8=25.625$，不是整数，不符合；
B. $250÷8=31.25$，不是整数，不符合；
C. $502÷8=62.75$，不是整数，不符合；
D. $520÷8=65$，是正整数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，代数式化简，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查整式运算的应用，解题的核心是先通过代数推导得到“好数”的特征，再根据特征筛选选项，能够有效考查学生对公式的掌握程度和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
要判断哪个数是“好数”，首先需要根据“好数”的定义，推导得出“好数”的共同特征：先设出两个连续奇数的代数式，再利用平方差公式计算两个连续奇数的平方差，化简后即可得到好数的数字特征，最后逐一验证选项是否符合该特征即可。
【解析】
设两个连续奇数分别为$2n-1$和$2n+1$（$n$为正整数），根据平方差公式计算两个数的平方差：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=(2n+1 + 2n - 1)(2n+1 - (2n - 1))\\&=4n × 2\\&=8n\end{aligned}$
由此可得，“好数”是8的正整数倍。
逐一验证选项：
A. $205÷8=25.625$，不是整数，不符合；
B. $250÷8=31.25$，不是整数，不符合；
C. $502÷8=62.75$，不是整数，不符合；
D. $520÷8=65$，是正整数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，代数式化简，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查整式运算的应用，解题的核心是先通过代数推导得到“好数”的特征，再根据特征筛选选项，能够有效考查学生对公式的掌握程度和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,则四边形ABCD的面积为 ()
A.12
B.14
C.16
D.18
A.12
B.14
C.16
D.18
答案
D
解析
【分析】
观察题目条件，已知AB=AD，且存在两个共顶点的直角，我们可以通过旋转的方法将分散的条件整合：把△ADC绕点A顺时针旋转90°，让AD与AB重合，将不规则四边形的面积转化为规则三角形的面积计算。首先需证明旋转后三个点共线，再推导得到新的三角形是等腰直角三角形，最后代入AC的长度计算面积即可。
【解析】
将△ADC绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABE。
由旋转的性质可得：$AE=AC=6$，$∠ ABE=∠ D$，$∠ BAE=∠ DAC$，$S_{△ ABE}=S_{△ ADC}$。
∵四边形内角和为$360°$，$∠ BAD=∠ BCD=90°$
∴$∠ D+∠ ABC=360°-90°-90°=180°$
∴$∠ ABE+∠ ABC=180°$，即E、B、C三点共线。
又
∵$∠ CAE=∠ CAB+∠ BAE=∠ CAB+∠ DAC=∠ BAD=90°$
∴$△ ACE$是等腰直角三角形。
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=S_{△ ABC}+S_{△ ABE}=S_{△ ACE}$
$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}× AC× AE=\frac{1}{2}×6×6=18$
即四边形ABCD的面积为18。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的性质，四边形内角和
【点评】
本题采用旋转法将不规则四边形面积转化为规则的等腰直角三角形面积，是解决共顶点等边、直角类几何面积问题的常用思路，核心是通过角度推导证明旋转后三点共线，完成面积的等量转换。
【难度系数】
0.65
观察题目条件，已知AB=AD，且存在两个共顶点的直角，我们可以通过旋转的方法将分散的条件整合：把△ADC绕点A顺时针旋转90°，让AD与AB重合，将不规则四边形的面积转化为规则三角形的面积计算。首先需证明旋转后三个点共线，再推导得到新的三角形是等腰直角三角形，最后代入AC的长度计算面积即可。
【解析】
将△ADC绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABE。
由旋转的性质可得：$AE=AC=6$，$∠ ABE=∠ D$，$∠ BAE=∠ DAC$，$S_{△ ABE}=S_{△ ADC}$。
∵四边形内角和为$360°$，$∠ BAD=∠ BCD=90°$
∴$∠ D+∠ ABC=360°-90°-90°=180°$
∴$∠ ABE+∠ ABC=180°$，即E、B、C三点共线。
又
∵$∠ CAE=∠ CAB+∠ BAE=∠ CAB+∠ DAC=∠ BAD=90°$
∴$△ ACE$是等腰直角三角形。
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=S_{△ ABC}+S_{△ ABE}=S_{△ ACE}$
$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}× AC× AE=\frac{1}{2}×6×6=18$
即四边形ABCD的面积为18。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的性质，四边形内角和
【点评】
本题采用旋转法将不规则四边形面积转化为规则的等腰直角三角形面积，是解决共顶点等边、直角类几何面积问题的常用思路，核心是通过角度推导证明旋转后三点共线，完成面积的等量转换。
【难度系数】
0.65
