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10. 如图 3,△ABC 是等边三角形,D 是线段BC上一点(不与点 B、C 重合),连接 AD,点 E、F分别在线段 AB、AC 的延长线上,且 DE=DF=AD,点 D 从 B 运动到 C 的过程中,△BED 周长的变化规律是 ()
A.不变
B.一直变小
C.先变大后变小
D.先变小后变大
A.不变
B.一直变小
C.先变大后变小
D.先变小后变大
答案
D
解析
【分析】
我们可以通过转化思想，将△BED的周长转化为定值加线段AD的形式，进而通过AD的变化规律推导周长的变化规律。首先利用等边三角形的性质推导角的关系，证明△BED和△CDF全等，得到BE=CD；再将△BED的周长拆解替换，得到周长=BC+AD；最后分析D在BC上运动时AD的长度变化规律，即可得到周长的变化规律。
【解析】
1. 已知△ABC是等边三角形，因此AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，可得∠EBD=180°-∠ABC=120°，∠DCF=180°-∠ACB=120°，即∠EBD=∠DCF。
2. 由AD=DE、AD=DF可得DE=DF，且∠DAE=∠DEA、∠DAF=∠DFA，结合∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，得∠DEA+∠DFA=60°。
3. 根据三角形外角性质，∠ABC=∠BED+∠BDE=60°，∠ACB=∠CFD+∠CDF=60°，两式相加得∠BED+∠BDE+∠CFD+∠CDF=120°，代入∠BED+∠CFD=60°，可得∠BDE+∠CDF=60°，结合∠BED+∠BDE=60°，推得∠BED=∠CDF。
4. 在△BED和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠ BED=∠ CDF\\ ∠ EBD=∠ DCF\\ DE=DF\end{array} $
因此△BED≌△CDF（AAS），可得BE=CD。
5. △BED的周长$=BE+BD+DE$，代入BE=CD、DE=AD，得周长$=CD+BD+AD=BC+AD$。
6. BC是等边三角形的边长，为定值。D在BC上从B运动到C的过程中，根据垂线段最短，当D为BC中点时AD长度最小，因此AD的长度先变小后变大，故△BED的周长也先变小后变大。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题核心是利用全等三角形实现线段的等量替换，把周长变化问题转化为单条线段的长度变化问题，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
我们可以通过转化思想，将△BED的周长转化为定值加线段AD的形式，进而通过AD的变化规律推导周长的变化规律。首先利用等边三角形的性质推导角的关系，证明△BED和△CDF全等，得到BE=CD；再将△BED的周长拆解替换，得到周长=BC+AD；最后分析D在BC上运动时AD的长度变化规律，即可得到周长的变化规律。
【解析】
1. 已知△ABC是等边三角形，因此AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，可得∠EBD=180°-∠ABC=120°，∠DCF=180°-∠ACB=120°，即∠EBD=∠DCF。
2. 由AD=DE、AD=DF可得DE=DF，且∠DAE=∠DEA、∠DAF=∠DFA，结合∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，得∠DEA+∠DFA=60°。
3. 根据三角形外角性质，∠ABC=∠BED+∠BDE=60°，∠ACB=∠CFD+∠CDF=60°，两式相加得∠BED+∠BDE+∠CFD+∠CDF=120°，代入∠BED+∠CFD=60°，可得∠BDE+∠CDF=60°，结合∠BED+∠BDE=60°，推得∠BED=∠CDF。
4. 在△BED和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠ BED=∠ CDF\\ ∠ EBD=∠ DCF\\ DE=DF\end{array} $
因此△BED≌△CDF（AAS），可得BE=CD。
5. △BED的周长$=BE+BD+DE$，代入BE=CD、DE=AD，得周长$=CD+BD+AD=BC+AD$。
6. BC是等边三角形的边长，为定值。D在BC上从B运动到C的过程中，根据垂线段最短，当D为BC中点时AD长度最小，因此AD的长度先变小后变大，故△BED的周长也先变小后变大。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题核心是利用全等三角形实现线段的等量替换，把周长变化问题转化为单条线段的长度变化问题，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. $\sqrt{36}$的平方根是。
11. $\sqrt{36}$的平方根是。
答案
$\boldsymbol{\pm\sqrt{6}}$
解析
【分析】
解题时首先要明确题目所求的是$\sqrt{36}$的平方根，而非36的平方根。第一步先根据算术平方根的定义化简$\sqrt{36}$，得到化简结果后，再根据平方根的定义求该结果的平方根即可，要注意正数的平方根有两个，且互为相反数。
【解析】
第一步：先计算$\sqrt{36}$的值，根据算术平方根的定义，$\sqrt{36}=6$；
第二步：求6的平方根，根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数，因此6的平方根为$\pm\sqrt{6}$。
【答案】
$\boldsymbol{\pm\sqrt{6}}$
【知识点】
算术平方根的化简；平方根的定义
【点评】
本题属于易错题，常见错误是未先化简$\sqrt{36}$，直接求36的平方根得到$\pm6$的错误结果，解题时要注意审题，明确所求对象，区分清楚算术平方根和平方根的概念差异。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确题目所求的是$\sqrt{36}$的平方根，而非36的平方根。第一步先根据算术平方根的定义化简$\sqrt{36}$，得到化简结果后，再根据平方根的定义求该结果的平方根即可，要注意正数的平方根有两个，且互为相反数。
【解析】
第一步：先计算$\sqrt{36}$的值，根据算术平方根的定义，$\sqrt{36}=6$；
第二步：求6的平方根，根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数，因此6的平方根为$\pm\sqrt{6}$。
【答案】
$\boldsymbol{\pm\sqrt{6}}$
【知识点】
算术平方根的化简；平方根的定义
【点评】
本题属于易错题，常见错误是未先化简$\sqrt{36}$，直接求36的平方根得到$\pm6$的错误结果，解题时要注意审题，明确所求对象，区分清楚算术平方根和平方根的概念差异。
【难度系数】
0.6
12. 若$9x^2 + mxy + 4y^2$是一个完全平方式，那么$m$的值是。
答案
解：
因为$9x^2 + mxy + 4y^2$是完全平方式，
且$9x^2=(3x)^2$，$4y^2=(2y)^2$，
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可得：
$mxy=\pm 2· 3x· 2y=\pm12xy$，
所以$m=\pm12$。
因为$9x^2 + mxy + 4y^2$是完全平方式，
且$9x^2=(3x)^2$，$4y^2=(2y)^2$，
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可得：
$mxy=\pm 2· 3x· 2y=\pm12xy$，
所以$m=\pm12$。
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含两个同号的平方项和一个交叉项，交叉项的符号可正可负。第一步先把多项式中已知的两个二次项对应到完全平方式的$a^2$和$b^2$，确定$a$、$b$的表达式，再根据交叉项的公式计算$m$的值，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
因为$9x^2 + mxy + 4y^2$是完全平方式，
且$9x^2=(3x)^2$，$4y^2=(2y)^2$，
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可得：
$mxy=\pm 2· 3x· 2y=\pm12xy$，
对比等式两边的系数，所以$m=\pm12$。
【答案】
$\pm12$
【知识点】
1.完全平方公式
2.完全平方式的特征
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，解题的关键是牢记完全平方有和的平方、差的平方两种形式，交叉项存在正负两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含两个同号的平方项和一个交叉项，交叉项的符号可正可负。第一步先把多项式中已知的两个二次项对应到完全平方式的$a^2$和$b^2$，确定$a$、$b$的表达式，再根据交叉项的公式计算$m$的值，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
因为$9x^2 + mxy + 4y^2$是完全平方式，
且$9x^2=(3x)^2$，$4y^2=(2y)^2$，
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可得：
$mxy=\pm 2· 3x· 2y=\pm12xy$，
对比等式两边的系数，所以$m=\pm12$。
【答案】
$\pm12$
【知识点】
1.完全平方公式
2.完全平方式的特征
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，解题的关键是牢记完全平方有和的平方、差的平方两种形式，交叉项存在正负两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13. (2025·东营)因式分解：$2x^2y - 4xy^2 + 2y^3 =$ .
答案
$\boldsymbol{2y(x-y)^2}$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式各项是否有公因式，优先提取公因式；第二步看提取公因式后的多项式是否符合平方差或完全平方公式的结构，套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，每一个因式都不能再分解为止。本题先找各项的公因式：系数2、-4、2的最大公约数是2，相同字母y的最低次幂是y，因此公因式为2y，提取公因式后再判断剩余多项式的结构即可。
【解析】
第一步：提取公因式$2y$，
$2x^2y - 4xy^2 + 2y^3 = 2y(x^2 - 2xy + y^2)$
第二步：观察括号内的多项式$x^2 - 2xy + y^2$，符合完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$（其中$a=x$，$b=y$），因此继续分解得：
$2y(x^2 - 2xy + y^2) = 2y(x - y)^2$
第三步：检查结果，两个因式$2y$和$(x-y)^2$都无法再分解，分解完成。
【答案】
$\boldsymbol{2y(x-y)^2}$
【知识点】
提公因式法因式分解，公式法因式分解，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，需牢记因式分解的基本步骤，先提取公因式再套用公式，同时要确保分解彻底，避免出现提完公因式就停止分解的错误。
【难度系数】
0.85
因式分解遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式各项是否有公因式，优先提取公因式；第二步看提取公因式后的多项式是否符合平方差或完全平方公式的结构，套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，每一个因式都不能再分解为止。本题先找各项的公因式：系数2、-4、2的最大公约数是2，相同字母y的最低次幂是y，因此公因式为2y，提取公因式后再判断剩余多项式的结构即可。
【解析】
第一步：提取公因式$2y$，
$2x^2y - 4xy^2 + 2y^3 = 2y(x^2 - 2xy + y^2)$
第二步：观察括号内的多项式$x^2 - 2xy + y^2$，符合完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$（其中$a=x$，$b=y$），因此继续分解得：
$2y(x^2 - 2xy + y^2) = 2y(x - y)^2$
第三步：检查结果，两个因式$2y$和$(x-y)^2$都无法再分解，分解完成。
【答案】
$\boldsymbol{2y(x-y)^2}$
【知识点】
提公因式法因式分解，公式法因式分解，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，需牢记因式分解的基本步骤，先提取公因式再套用公式，同时要确保分解彻底，避免出现提完公因式就停止分解的错误。
【难度系数】
0.85
14. (2024·湖南)如图4,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA、BC上分别截取线段BE、BF,使BE=BF;分别以点E、F为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM=.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的类型：题目中作射线BP的步骤是角平分线的标准尺规作法，因此BP是∠ABC的角平分线；接下来回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知M在BP上，且MD⊥BC、MN⊥AB，因此可得MD=MN，求出MD的长度；再结合AD=4MD的条件算出AD的总长度，最后根据线段和差关系，AM=AD-MD，代入数值即可求出结果。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，射线BP是∠ABC的角平分线；
2. 因为点M在BP上，且MD⊥BC，MN⊥AB，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$MD=MN=2$；
3. 已知$AD=4MD$，代入MD的长度得$AD=4×2=8$；
4. 由于点M在AD上，因此$AM=AD-MD=8-2=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题侧重基础概念的应用，解题的核心是准确识别角平分线的尺规作图，再利用角平分线的性质得到相等线段，结合线段的倍数关系即可求解，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别尺规作图的类型：题目中作射线BP的步骤是角平分线的标准尺规作法，因此BP是∠ABC的角平分线；接下来回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知M在BP上，且MD⊥BC、MN⊥AB，因此可得MD=MN，求出MD的长度；再结合AD=4MD的条件算出AD的总长度，最后根据线段和差关系，AM=AD-MD，代入数值即可求出结果。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，射线BP是∠ABC的角平分线；
2. 因为点M在BP上，且MD⊥BC，MN⊥AB，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$MD=MN=2$；
3. 已知$AD=4MD$，代入MD的长度得$AD=4×2=8$；
4. 由于点M在AD上，因此$AM=AD-MD=8-2=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题侧重基础概念的应用，解题的核心是准确识别角平分线的尺规作图，再利用角平分线的性质得到相等线段，结合线段的倍数关系即可求解，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
15. (2024·辽宁)如图5,四边形ABCD中,AD//BC,AD＞AB,AD=a,AB=10. 以点A为圆心,以AB的长为半径作弧,与BC相交于点E,连接AE. 以点E为圆心,以适当长为半径作弧,分别与EA、EC相交于点M、N. 再分别以点M、N为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在∠AEC的内部相交于点P,作射线EP,与AD相交于点F,则FD的长为(用含a的代数式表示).
答案
$\boldsymbol{a-10}$
解析
【分析】
解题时首先识别作图操作对应的几何结论：①以A为圆心AB长为半径作弧交BC于E，可得AE=AB=10；②后续的尺规作图是作∠AEC的角平分线，因此EP平分∠AEC。再结合AD//BC的条件，利用平行线的内错角相等推导角的关系，判定等腰三角形得到AF的长度，最后用AD的长度减去AF的长度即可求出FD的长。
【解析】
由作图可知：
1. $AE = AB = 10$，且$EP$平分$∠ AEC$，因此$∠ AEF = ∠ CEF$；
2. 因为$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ AFE = ∠ CEF$；
3. 联立上述角的关系，得$∠ AEF = ∠ AFE$，根据“等角对等边”，可知$AF = AE = 10$；
4. 已知$AD = a$，因此$FD = AD - AF = a - 10$。
【答案】
$\boldsymbol{a-10}$
【知识点】
角平分线的尺规作图，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是准确识别尺规作图得到的几何结论，再结合平行线性质和等腰三角形的判定推导边长关系，计算量小，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别作图操作对应的几何结论：①以A为圆心AB长为半径作弧交BC于E，可得AE=AB=10；②后续的尺规作图是作∠AEC的角平分线，因此EP平分∠AEC。再结合AD//BC的条件，利用平行线的内错角相等推导角的关系，判定等腰三角形得到AF的长度，最后用AD的长度减去AF的长度即可求出FD的长。
【解析】
由作图可知：
1. $AE = AB = 10$，且$EP$平分$∠ AEC$，因此$∠ AEF = ∠ CEF$；
2. 因为$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ AFE = ∠ CEF$；
3. 联立上述角的关系，得$∠ AEF = ∠ AFE$，根据“等角对等边”，可知$AF = AE = 10$；
4. 已知$AD = a$，因此$FD = AD - AF = a - 10$。
【答案】
$\boldsymbol{a-10}$
【知识点】
角平分线的尺规作图，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是准确识别尺规作图得到的几何结论，再结合平行线性质和等腰三角形的判定推导边长关系，计算量小，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共75分)
16.(8分)先化简,再求值:$(a+3)(a-3)+(a+2)^2 -4(a-1)$,其中$a=-\dfrac{1}{2}$.
16.(8分)先化简,再求值:$(a+3)(a-3)+(a+2)^2 -4(a-1)$,其中$a=-\dfrac{1}{2}$.
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&(a+3)(a-3)+(a+2)^2 -4(a-1)\\=&a^2 -9 + a^2 +4a +4 -4a +4\\=&2a^2 -1\end{aligned}$
将$a=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-\dfrac{1}{2})^2 -1\\&=2×\dfrac{1}{4} -1\\&=\dfrac{1}{2} -1\\&=-\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
最终结果为$-\dfrac{1}{2}$。
先化简原式：
$\begin{aligned}&(a+3)(a-3)+(a+2)^2 -4(a-1)\\=&a^2 -9 + a^2 +4a +4 -4a +4\\=&2a^2 -1\end{aligned}$
将$a=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-\dfrac{1}{2})^2 -1\\&=2×\dfrac{1}{4} -1\\&=\dfrac{1}{2} -1\\&=-\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
最终结果为$-\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题分为两个步骤：第一步先化简整式，首先利用平方差公式计算$(a+3)(a-3)$，利用完全平方公式计算$(a+2)^2$，再根据去括号法则去掉$-4(a-1)$的括号，最后合并同类项得到最简结果；第二步将$a=-\dfrac{1}{2}$代入最简式计算即可得到最终值。运算时要注意去括号的符号变化，以及乘法公式的正确运用。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(a+3)(a-3)+(a+2)^2 -4(a-1)\\=&a^2 -9 + a^2 +4a +4 -4a +4\\=&2a^2 -1\end{aligned}$
将$a=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-\dfrac{1}{2})^2 -1\\&=2×\dfrac{1}{4} -1\\&=\dfrac{1}{2} -1\\&=-\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查乘法公式的应用和整式混合运算的能力，运算时需注意去括号的符号规则，代入负数求值时要注意添加括号避免计算失误，熟练掌握乘法公式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题分为两个步骤：第一步先化简整式，首先利用平方差公式计算$(a+3)(a-3)$，利用完全平方公式计算$(a+2)^2$，再根据去括号法则去掉$-4(a-1)$的括号，最后合并同类项得到最简结果；第二步将$a=-\dfrac{1}{2}$代入最简式计算即可得到最终值。运算时要注意去括号的符号变化，以及乘法公式的正确运用。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(a+3)(a-3)+(a+2)^2 -4(a-1)\\=&a^2 -9 + a^2 +4a +4 -4a +4\\=&2a^2 -1\end{aligned}$
将$a=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-\dfrac{1}{2})^2 -1\\&=2×\dfrac{1}{4} -1\\&=\dfrac{1}{2} -1\\&=-\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查乘法公式的应用和整式混合运算的能力，运算时需注意去括号的符号规则，代入负数求值时要注意添加括号避免计算失误，熟练掌握乘法公式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
