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17. (9分)已知在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长为1.
(1)计算图6①中正方形ABCD的面积与边长；
(2)利用图6②中的正方形网格,作出面积为8的正方形,并在此基础上建立适当的数轴,在数轴上表示实数$\sqrt{8}$和$-\sqrt{8}$.
(1)计算图6①中正方形ABCD的面积与边长；
(2)利用图6②中的正方形网格,作出面积为8的正方形,并在此基础上建立适当的数轴,在数轴上表示实数$\sqrt{8}$和$-\sqrt{8}$.
答案
解：
(1) 用割补法计算正方形ABCD的面积：
边长为4的大正方形面积为 $4×4=16$，
正方形ABCD的面积等于大正方形面积减去4个全等的直角边分别为1和3的直角三角形的面积：
$\begin{aligned}S_{ABCD}&=16 - 4×\frac{1}{2}×1×3\\&=16-6\\&=10\end{aligned}$
设正方形ABCD的边长为$a$，由$a^2=10$，且$a＞0$，得边长$a=\sqrt{10}$。
(2) 因为面积为8的正方形的边长为$\sqrt{8}$，且$\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2^2}$，因此在图②的网格中，选取直角边长均为2的格点直角三角形的斜边为边长，即可作出面积为8的正方形。
建立数轴：取网格的一条水平边所在直线为数轴，选取任意格点为原点，规定向右为数轴正方向，1个小正方形的边长为单位长度。以原点为圆心，所作面积为8的正方形的边长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{8}$的点，弧与数轴负半轴的交点即为表示$-\sqrt{8}$的点。
(1) 用割补法计算正方形ABCD的面积：
边长为4的大正方形面积为 $4×4=16$，
正方形ABCD的面积等于大正方形面积减去4个全等的直角边分别为1和3的直角三角形的面积：
$\begin{aligned}S_{ABCD}&=16 - 4×\frac{1}{2}×1×3\\&=16-6\\&=10\end{aligned}$
设正方形ABCD的边长为$a$，由$a^2=10$，且$a＞0$，得边长$a=\sqrt{10}$。
(2) 因为面积为8的正方形的边长为$\sqrt{8}$，且$\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2^2}$，因此在图②的网格中，选取直角边长均为2的格点直角三角形的斜边为边长，即可作出面积为8的正方形。
建立数轴：取网格的一条水平边所在直线为数轴，选取任意格点为原点，规定向右为数轴正方向，1个小正方形的边长为单位长度。以原点为圆心，所作面积为8的正方形的边长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{8}$的点，弧与数轴负半轴的交点即为表示$-\sqrt{8}$的点。
解析
【分析】
(1) 网格中斜放的正方形无法直接计算边长，优先选用割补法求面积：先将正方形ABCD补成边长为4的大正方形，用大正方形面积减去周围4个全等直角三角形的面积即可得到正方形ABCD的面积；再根据正方形面积与边长的关系，对面积开算术平方根就能得到边长。
(2) 要作面积为8的正方形，先计算其边长为$\sqrt{8}$，结合勾股定理可知$\sqrt{8}$是直角边长均为2的直角三角形的斜边长，以此为边长就能画出符合要求的格点正方形；要表示$\sqrt{8}$和$-\sqrt{8}$，建立数轴后用圆规截取正方形边长为半径，以原点为圆心画弧，与数轴正、负半轴的交点就分别对应两个实数。
【解析】
(1) 计算正方形ABCD的面积与边长：
边长为4的大正方形面积为 $4×4=16$，
正方形ABCD外围的4个直角三角形全等，直角边长分别为1和3，因此：
$\begin{aligned}S_{ABCD}&=16 - 4×\frac{1}{2}×1×3\\&=16-6\\&=10\end{aligned}$
设正方形ABCD的边长为$a$（$a＞0$），由正方形面积公式得$a^2=10$，解得$a=\sqrt{10}$。
(2) 作图与数轴表示：
首先作面积为8的正方形：面积为8的正方形边长为$\sqrt{8}$，由勾股定理得$\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2^2}$，在图②网格中，以直角边长均为2的格点直角三角形的斜边为边长，画出四条首尾相接的该长度的线段，即可得到面积为8的格点正方形。
再建立数轴表示实数：取网格的一条水平格线作为数轴，任选一个格点为原点，规定向右为正方向，1个小正方形的边长为单位长度。以原点为圆心，所作正方形的边长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点为表示$\sqrt{8}$的点，与负半轴的交点为表示$-\sqrt{8}$的点。
【答案】
(1) 正方形ABCD的面积为$\boxed{10}$，边长为$\boxed{\sqrt{10}}$；
(2) 按上述方法作出面积为8的正方形，并在数轴上正确标注$\sqrt{8}$和$-\sqrt{8}$即可。
【知识点】
割补法求面积，勾股定理的应用，实数与数轴的对应
【点评】
本题结合网格将代数计算与几何作图结合考查，既需要熟练掌握割补法计算不规则图形面积、勾股定理求线段长的方法，也对动手操作绘制图形、用尺规在数轴上表示无理数的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 网格中斜放的正方形无法直接计算边长，优先选用割补法求面积：先将正方形ABCD补成边长为4的大正方形，用大正方形面积减去周围4个全等直角三角形的面积即可得到正方形ABCD的面积；再根据正方形面积与边长的关系，对面积开算术平方根就能得到边长。
(2) 要作面积为8的正方形，先计算其边长为$\sqrt{8}$，结合勾股定理可知$\sqrt{8}$是直角边长均为2的直角三角形的斜边长，以此为边长就能画出符合要求的格点正方形；要表示$\sqrt{8}$和$-\sqrt{8}$，建立数轴后用圆规截取正方形边长为半径，以原点为圆心画弧，与数轴正、负半轴的交点就分别对应两个实数。
【解析】
(1) 计算正方形ABCD的面积与边长：
边长为4的大正方形面积为 $4×4=16$，
正方形ABCD外围的4个直角三角形全等，直角边长分别为1和3，因此：
$\begin{aligned}S_{ABCD}&=16 - 4×\frac{1}{2}×1×3\\&=16-6\\&=10\end{aligned}$
设正方形ABCD的边长为$a$（$a＞0$），由正方形面积公式得$a^2=10$，解得$a=\sqrt{10}$。
(2) 作图与数轴表示：
首先作面积为8的正方形：面积为8的正方形边长为$\sqrt{8}$，由勾股定理得$\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2^2}$，在图②网格中，以直角边长均为2的格点直角三角形的斜边为边长，画出四条首尾相接的该长度的线段，即可得到面积为8的格点正方形。
再建立数轴表示实数：取网格的一条水平格线作为数轴，任选一个格点为原点，规定向右为正方向，1个小正方形的边长为单位长度。以原点为圆心，所作正方形的边长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点为表示$\sqrt{8}$的点，与负半轴的交点为表示$-\sqrt{8}$的点。
【答案】
(1) 正方形ABCD的面积为$\boxed{10}$，边长为$\boxed{\sqrt{10}}$；
(2) 按上述方法作出面积为8的正方形，并在数轴上正确标注$\sqrt{8}$和$-\sqrt{8}$即可。
【知识点】
割补法求面积，勾股定理的应用，实数与数轴的对应
【点评】
本题结合网格将代数计算与几何作图结合考查，既需要熟练掌握割补法计算不规则图形面积、勾股定理求线段长的方法，也对动手操作绘制图形、用尺规在数轴上表示无理数的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
18.(9分)如图7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)用尺规作AB的垂直平分线MN交BC于点P(不写作法,保留作图痕迹).
(2)连接AP,如果AP平分∠CAB,求∠B的度数.
(1)用尺规作AB的垂直平分线MN交BC于点P(不写作法,保留作图痕迹).
(2)连接AP,如果AP平分∠CAB,求∠B的度数.
答案
解：(1) 如图，分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线MN，直线MN交BC于点P，即为所求AB的垂直平分线，作图痕迹保留。
(2)
∵ MN是AB的垂直平分线，
∴ $PA=PB$，
∴ $∠ PAB = ∠ B$。
∵ AP平分$∠ CAB$，
∴ $∠ CAP = ∠ PAB$，
∴ $∠ CAP = ∠ PAB = ∠ B$。
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB + ∠ B = 90°$，
即 $∠ CAP + ∠ PAB + ∠ B = 90°$，
代入得 $3∠ B = 90°$，
解得 $∠ B = 30°$。
答：$∠ B$的度数为$30°$。
(2)
∵ MN是AB的垂直平分线，
∴ $PA=PB$，
∴ $∠ PAB = ∠ B$。
∵ AP平分$∠ CAB$，
∴ $∠ CAP = ∠ PAB$，
∴ $∠ CAP = ∠ PAB = ∠ B$。
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB + ∠ B = 90°$，
即 $∠ CAP + ∠ PAB + ∠ B = 90°$，
代入得 $3∠ B = 90°$，
解得 $∠ B = 30°$。
答：$∠ B$的度数为$30°$。
解析
【分析】
(1) 作AB的垂直平分线时，遵循尺规作垂直平分线的标准方法即可：分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧相交得到两个交点，过两个交点作直线，就是AB的垂直平分线，该直线与BC的交点即为所求的点P。
(2) 求解∠B的度数可按以下思路推导：首先根据垂直平分线的性质得到PA=PB，由等边对等角推出∠PAB=∠B；再结合角平分线的定义得到∠CAP=∠PAB，因此三个角∠CAP、∠PAB、∠B相等；最后利用直角三角形两锐角和为90°的性质，将三个角的和替换为3∠B，即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 作图：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线MN，直线MN交BC于点P，保留作图痕迹即可。
(2) 计算∠B的度数：
∵ MN是AB的垂直平分线，
∴ $PA=PB$，
∴ $∠ PAB = ∠ B$。
∵ AP平分$∠ CAB$，
∴ $∠ CAP = ∠ PAB$，
∴ $∠ CAP = ∠ PAB = ∠ B$。
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB + ∠ B = 90°$，
即 $∠ CAP + ∠ PAB + ∠ B = 90°$，
代入得 $3∠ B = 90°$，
解得 $∠ B = 30°$。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) $\boldsymbol{30°}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 角平分线的定义
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将尺规作图与角度计算结合，考查对基础作图方法的掌握，以及运用垂直平分线、角平分线、直角三角形相关性质推导角的等量关系的能力，逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 作AB的垂直平分线时，遵循尺规作垂直平分线的标准方法即可：分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧相交得到两个交点，过两个交点作直线，就是AB的垂直平分线，该直线与BC的交点即为所求的点P。
(2) 求解∠B的度数可按以下思路推导：首先根据垂直平分线的性质得到PA=PB，由等边对等角推出∠PAB=∠B；再结合角平分线的定义得到∠CAP=∠PAB，因此三个角∠CAP、∠PAB、∠B相等；最后利用直角三角形两锐角和为90°的性质，将三个角的和替换为3∠B，即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 作图：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线MN，直线MN交BC于点P，保留作图痕迹即可。
(2) 计算∠B的度数：
∵ MN是AB的垂直平分线，
∴ $PA=PB$，
∴ $∠ PAB = ∠ B$。
∵ AP平分$∠ CAB$，
∴ $∠ CAP = ∠ PAB$，
∴ $∠ CAP = ∠ PAB = ∠ B$。
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB + ∠ B = 90°$，
即 $∠ CAP + ∠ PAB + ∠ B = 90°$，
代入得 $3∠ B = 90°$，
解得 $∠ B = 30°$。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) $\boldsymbol{30°}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 角平分线的定义
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将尺规作图与角度计算结合，考查对基础作图方法的掌握，以及运用垂直平分线、角平分线、直角三角形相关性质推导角的等量关系的能力，逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
