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19.(9分)(2024·常州)如图8,B、E、C、F是直线l上的四点,AC、DE相交于点G,AB=DF,AC=DE,BC=EF.
(1)求证:△GEC是等腰三角形;
(2)连接AD,则AD与l的位置关系是.
(1)求证:△GEC是等腰三角形;
(2)连接AD,则AD与l的位置关系是.
答案
解：
(1) 证明：
在$△ ABC$和$△ DFE$中，
$\begin{cases}AB=DF \\AC=DE \\BC=EF\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DFE \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ ACB = ∠ DEF$
$\therefore GE = GC$
$\therefore △ GEC$是等腰三角形。
(2) $\boldsymbol{AD // l}$（或互相平行）
(1) 证明：
在$△ ABC$和$△ DFE$中，
$\begin{cases}AB=DF \\AC=DE \\BC=EF\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DFE \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ ACB = ∠ DEF$
$\therefore GE = GC$
$\therefore △ GEC$是等腰三角形。
(2) $\boldsymbol{AD // l}$（或互相平行）
解析
【分析】
（1）要证明△GEC是等腰三角形，根据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，只需证明∠GEC=∠GCE即可。题目给出了△ABC和△DFE的三组对应边相等，可先通过SSS判定定理证明两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质得到∠ACB=∠DEF，即可推导得出结论。
（2）判断AD与l的位置关系时，由（1）的全等结论可得AC=DE，同时∠ACB=∠DEF可推出AC//DE，由此可判定四边形ACED是平行四边形，根据平行四边形对边平行的性质，即可得到AD与l的位置关系。
【解析】
(1) 证明：
在$△ ABC$和$△ DFE$中，
$\begin{cases}AB=DF \\AC=DE \\BC=EF\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DFE \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ACB = ∠DEF$，即$∠GCE=∠GEC$
根据等角对等边，可得$GE = GC$
$\therefore △ GEC$是等腰三角形。
(2) 由(1)的全等结论可知$AC=DE$，又$\because ∠ACB = ∠DEF$，$\therefore AC// DE$，因此四边形$ACED$是一组对边平行且相等的平行四边形，$\therefore AD// CE$，$\because CE$在直线$l$上，$\therefore AD// l$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{AD // l}$（或互相平行）
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的判定
3. 平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的突破口是先利用SSS定理证明三角形全等，再结合全等性质、等腰三角形判定和平行四边形的性质逐步推导结论，重点考查基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△GEC是等腰三角形，根据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，只需证明∠GEC=∠GCE即可。题目给出了△ABC和△DFE的三组对应边相等，可先通过SSS判定定理证明两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质得到∠ACB=∠DEF，即可推导得出结论。
（2）判断AD与l的位置关系时，由（1）的全等结论可得AC=DE，同时∠ACB=∠DEF可推出AC//DE，由此可判定四边形ACED是平行四边形，根据平行四边形对边平行的性质，即可得到AD与l的位置关系。
【解析】
(1) 证明：
在$△ ABC$和$△ DFE$中，
$\begin{cases}AB=DF \\AC=DE \\BC=EF\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DFE \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ACB = ∠DEF$，即$∠GCE=∠GEC$
根据等角对等边，可得$GE = GC$
$\therefore △ GEC$是等腰三角形。
(2) 由(1)的全等结论可知$AC=DE$，又$\because ∠ACB = ∠DEF$，$\therefore AC// DE$，因此四边形$ACED$是一组对边平行且相等的平行四边形，$\therefore AD// CE$，$\because CE$在直线$l$上，$\therefore AD// l$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{AD // l}$（或互相平行）
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的判定
3. 平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的突破口是先利用SSS定理证明三角形全等，再结合全等性质、等腰三角形判定和平行四边形的性质逐步推导结论，重点考查基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
20. (9分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.
如$4=2^2 - 0^2$，$12=4^2 - 2^2$，$44=12^2 - 10^2$. 因此，4、12、44都是“神秘数”.
(1)28和2024这两个数是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为$2k+2$和$2k$(其中$k$为非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？是8的倍数吗？为什么？
(3)$3^{n+2}+5^{n+3}-2^{3n}+3×5^{n+2}-3^n$($n$为正整数)是神秘数吗？为什么？
如$4=2^2 - 0^2$，$12=4^2 - 2^2$，$44=12^2 - 10^2$. 因此，4、12、44都是“神秘数”.
(1)28和2024这两个数是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为$2k+2$和$2k$(其中$k$为非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？是8的倍数吗？为什么？
(3)$3^{n+2}+5^{n+3}-2^{3n}+3×5^{n+2}-3^n$($n$为正整数)是神秘数吗？为什么？
答案
解：
(1) 28是“神秘数”，2024不是“神秘数”。
理由：因为$28=8^2-6^2$，符合两个连续偶数的平方差的定义，所以28是神秘数。
假设2024是两个连续偶数$2k+2$和$2k$的平方差，则$(2k+2)^2-(2k)^2=2024$，展开得$8k+4=2024$，解得$k=252.5$，$k$不是非负整数，不存在满足条件的两个连续偶数，因此2024不是神秘数。
(2) 由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，不是8的倍数。
理由：
$\begin{aligned}(2k+2)^2-(2k)^2&=(2k+2-2k)(2k+2+2k)\\&=2(4k+2)\\&=8k+4\\&=4(2k+1)\end{aligned}$
因为$k$为非负整数，所以$2k+1$是正奇数，因此这个神秘数是4的倍数，且等于4乘以奇数，不是8的倍数。
(3) 该式不是“神秘数”。
理由：先化简原式：
$\begin{aligned}&3^{n+2}+5^{n+3}-2^{3n}+3×5^{n+2}-3^n\\=&3^n·3^2 - 3^n + 5^{n+2}·5 + 3×5^{n+2} - (2^3)^n\\=&3^n(9-1) + 5^{n+2}(5+3) - 8^n\\=&8·3^n + 8·5^{n+2} - 8^n\end{aligned}$
显然$8·3^n + 8·5^{n+2}$是8的倍数，$8^n$也是8的倍数，因此原式的计算结果是8的倍数，即该数等于4乘以偶数。由(2)可知神秘数是4乘以奇数，因此该数不可能是神秘数。
(1) 28是“神秘数”，2024不是“神秘数”。
理由：因为$28=8^2-6^2$，符合两个连续偶数的平方差的定义，所以28是神秘数。
假设2024是两个连续偶数$2k+2$和$2k$的平方差，则$(2k+2)^2-(2k)^2=2024$，展开得$8k+4=2024$，解得$k=252.5$，$k$不是非负整数，不存在满足条件的两个连续偶数，因此2024不是神秘数。
(2) 由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，不是8的倍数。
理由：
$\begin{aligned}(2k+2)^2-(2k)^2&=(2k+2-2k)(2k+2+2k)\\&=2(4k+2)\\&=8k+4\\&=4(2k+1)\end{aligned}$
因为$k$为非负整数，所以$2k+1$是正奇数，因此这个神秘数是4的倍数，且等于4乘以奇数，不是8的倍数。
(3) 该式不是“神秘数”。
理由：先化简原式：
$\begin{aligned}&3^{n+2}+5^{n+3}-2^{3n}+3×5^{n+2}-3^n\\=&3^n·3^2 - 3^n + 5^{n+2}·5 + 3×5^{n+2} - (2^3)^n\\=&3^n(9-1) + 5^{n+2}(5+3) - 8^n\\=&8·3^n + 8·5^{n+2} - 8^n\end{aligned}$
显然$8·3^n + 8·5^{n+2}$是8的倍数，$8^n$也是8的倍数，因此原式的计算结果是8的倍数，即该数等于4乘以偶数。由(2)可知神秘数是4乘以奇数，因此该数不可能是神秘数。
解析
【分析】
本题属于新定义类代数题，解题的核心是先把握“神秘数”的定义，推导其通用代数特征，再依次解决各小问：
1. 第(1)问判断所给数是否为神秘数，可先推导神秘数的一般表达式，代入所给数值求解k，判断k是否为非负整数即可；也可直接尝试将数拆分为两个连续偶数的平方差验证；
2. 第(2)问可利用平方差公式对两个连续偶数的平方差因式分解，化简后根据结果的结构，结合k的取值范围判断其是否为4、8的倍数；
3. 第(3)问先运用幂的运算性质化简给定的代数式，再对照第(2)问得到的神秘数的特征，判断化简结果是否符合要求即可。
【解析】
(1) 28是“神秘数”，2024不是“神秘数”，理由如下：
因为$28=8^2-6^2$，符合两个连续偶数的平方差的定义，因此28是神秘数；
假设2024是两个连续偶数$2k+2$和$2k$的平方差，则有$(2k+2)^2-(2k)^2=2024$，展开得：
$4k^2+8k+4-4k^2=2024$，即$8k+4=2024$，解得$k=252.5$，结果不是非负整数，不存在满足条件的连续偶数，因此2024不是神秘数。
(2) 由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，不是8的倍数，理由如下：
对两个连续偶数的平方差用平方差公式化简：
$\begin{aligned}(2k+2)^2-(2k)^2&=(2k+2-2k)(2k+2+2k)\\&=2×(4k+2)\\&=8k+4\\&=4(2k+1)\end{aligned}$
因为k为非负整数，所以$2k+1$是正奇数，因此该神秘数是4的倍数，且为4乘奇数的形式，不可能是8的倍数。
(3) 该式不是“神秘数”，理由如下：
先对原式利用幂的运算性质化简：
$\begin{aligned}&3^{n+2}+5^{n+3}-2^{3n}+3×5^{n+2}-3^n\\=&3^n·3^2 - 3^n + 5^{n+2}·5 + 3×5^{n+2} - (2^3)^n\\=&3^n×(9-1) + 5^{n+2}×(5+3) - 8^n\\=&8·3^n + 8·5^{n+2} - 8^n\end{aligned}$
观察化简结果，$8·3^n$和$8·5^{n+2}$都是8的倍数，$8^n$也是8的倍数，因此原式的计算结果是8的倍数，即该数为4乘偶数的形式。结合(2)的结论，神秘数是4乘奇数的形式，因此该数不可能是神秘数。
【答案】
(1) 28是“神秘数”，2024不是“神秘数”；
(2) 构造的神秘数是4的倍数，不是8的倍数；
(3) 给定的代数式不是“神秘数”。
【知识点】
平方差公式；新定义运算；幂的运算
【点评】
本题以新定义“神秘数”为切入点，综合考查了整式运算、数的整除性判断等知识，解题的关键是准确理解新定义，推导得到神秘数的通用特征，再结合相关运算规则逐步推导，能够有效考查学生的知识迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题属于新定义类代数题，解题的核心是先把握“神秘数”的定义，推导其通用代数特征，再依次解决各小问：
1. 第(1)问判断所给数是否为神秘数，可先推导神秘数的一般表达式，代入所给数值求解k，判断k是否为非负整数即可；也可直接尝试将数拆分为两个连续偶数的平方差验证；
2. 第(2)问可利用平方差公式对两个连续偶数的平方差因式分解，化简后根据结果的结构，结合k的取值范围判断其是否为4、8的倍数；
3. 第(3)问先运用幂的运算性质化简给定的代数式，再对照第(2)问得到的神秘数的特征，判断化简结果是否符合要求即可。
【解析】
(1) 28是“神秘数”，2024不是“神秘数”，理由如下：
因为$28=8^2-6^2$，符合两个连续偶数的平方差的定义，因此28是神秘数；
假设2024是两个连续偶数$2k+2$和$2k$的平方差，则有$(2k+2)^2-(2k)^2=2024$，展开得：
$4k^2+8k+4-4k^2=2024$，即$8k+4=2024$，解得$k=252.5$，结果不是非负整数，不存在满足条件的连续偶数，因此2024不是神秘数。
(2) 由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，不是8的倍数，理由如下：
对两个连续偶数的平方差用平方差公式化简：
$\begin{aligned}(2k+2)^2-(2k)^2&=(2k+2-2k)(2k+2+2k)\\&=2×(4k+2)\\&=8k+4\\&=4(2k+1)\end{aligned}$
因为k为非负整数，所以$2k+1$是正奇数，因此该神秘数是4的倍数，且为4乘奇数的形式，不可能是8的倍数。
(3) 该式不是“神秘数”，理由如下：
先对原式利用幂的运算性质化简：
$\begin{aligned}&3^{n+2}+5^{n+3}-2^{3n}+3×5^{n+2}-3^n\\=&3^n·3^2 - 3^n + 5^{n+2}·5 + 3×5^{n+2} - (2^3)^n\\=&3^n×(9-1) + 5^{n+2}×(5+3) - 8^n\\=&8·3^n + 8·5^{n+2} - 8^n\end{aligned}$
观察化简结果，$8·3^n$和$8·5^{n+2}$都是8的倍数，$8^n$也是8的倍数，因此原式的计算结果是8的倍数，即该数为4乘偶数的形式。结合(2)的结论，神秘数是4乘奇数的形式，因此该数不可能是神秘数。
【答案】
(1) 28是“神秘数”，2024不是“神秘数”；
(2) 构造的神秘数是4的倍数，不是8的倍数；
(3) 给定的代数式不是“神秘数”。
【知识点】
平方差公式；新定义运算；幂的运算
【点评】
本题以新定义“神秘数”为切入点，综合考查了整式运算、数的整除性判断等知识，解题的关键是准确理解新定义，推导得到神秘数的通用特征，再结合相关运算规则逐步推导，能够有效考查学生的知识迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
21. (10分)我们把多项式$a^2+2ab+b^2$及$a^2-2ab+b^2$叫做完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变.这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等.
例如:分解因式$x^2+2x-3$.
原式$=(x^2+2x+1)-1-3=(x+1)^2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$.
例如:求代数式$2x^2+4x-6$的最小值.
原式$=2(x^2+2x-3)=2(x+1)^2-8$.
$\because (x+1)^2≥0$,
$\therefore$ 当$x=-1$时,$2x^2+4x-6$有最小值,最小值是$-8$.
根据阅读材料用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:$x^2-4x-21$.
(2)当$x$为何值时,多项式$\frac{1}{2}x^2-5x+6$有最小值? 求出这个最小值.
(3)当$a=$,$b=$时,多项式$a^2+b^2-6a+8b+28$有最小值,最小值是.
例如:分解因式$x^2+2x-3$.
原式$=(x^2+2x+1)-1-3=(x+1)^2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$.
例如:求代数式$2x^2+4x-6$的最小值.
原式$=2(x^2+2x-3)=2(x+1)^2-8$.
$\because (x+1)^2≥0$,
$\therefore$ 当$x=-1$时,$2x^2+4x-6$有最小值,最小值是$-8$.
根据阅读材料用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:$x^2-4x-21$.
(2)当$x$为何值时,多项式$\frac{1}{2}x^2-5x+6$有最小值? 求出这个最小值.
(3)当$a=$,$b=$时,多项式$a^2+b^2-6a+8b+28$有最小值,最小值是.
答案
解：
(1) 分解因式：
原式$=(x^2 - 4x + 4) - 4 - 21$
$=(x - 2)^2 - 25$
$=(x - 2 + 5)(x - 2 - 5)$
$=(x + 3)(x - 7)$
(2) 对多项式配方：
原式$=\frac{1}{2}(x^2 - 10x) + 6$
$=\frac{1}{2}(x^2 - 10x + 25 - 25) + 6$
$=\frac{1}{2}(x - 5)^2 - \frac{25}{2} + 6$
$=\frac{1}{2}(x - 5)^2 - \frac{13}{2}$
$\because (x - 5)^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$x=5$时，多项式有最小值，最小值为$-\frac{13}{2}$。
(3) 对多项式配方：
$a^2 + b^2 - 6a + 8b + 28$
$=(a^2 - 6a + 9) + (b^2 + 8b + 16) + 28 - 9 - 16$
$=(a - 3)^2 + (b + 4)^2 + 3$
$\because (a - 3)^2 ≥ 0$，$(b + 4)^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$a=3$，$b=-4$时，多项式有最小值，最小值是$3$。
答案依次为：$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{-4}$，$\boldsymbol{3}$。
(1) 分解因式：
原式$=(x^2 - 4x + 4) - 4 - 21$
$=(x - 2)^2 - 25$
$=(x - 2 + 5)(x - 2 - 5)$
$=(x + 3)(x - 7)$
(2) 对多项式配方：
原式$=\frac{1}{2}(x^2 - 10x) + 6$
$=\frac{1}{2}(x^2 - 10x + 25 - 25) + 6$
$=\frac{1}{2}(x - 5)^2 - \frac{25}{2} + 6$
$=\frac{1}{2}(x - 5)^2 - \frac{13}{2}$
$\because (x - 5)^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$x=5$时，多项式有最小值，最小值为$-\frac{13}{2}$。
(3) 对多项式配方：
$a^2 + b^2 - 6a + 8b + 28$
$=(a^2 - 6a + 9) + (b^2 + 8b + 16) + 28 - 9 - 16$
$=(a - 3)^2 + (b + 4)^2 + 3$
$\because (a - 3)^2 ≥ 0$，$(b + 4)^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$a=3$，$b=-4$时，多项式有最小值，最小值是$3$。
答案依次为：$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{-4}$，$\boldsymbol{3}$。
解析
【分析】
（1）分解因式$x^2-4x-21$时，遵循配方法的规则，先给$x^2-4x$加上一次项系数一半的平方（即4）凑成完全平方式，再减去4保证式子值不变，转化为平方差形式后，用平方差公式即可完成分解。
（2）求多项式最小值时，先提取二次项系数$\frac{1}{2}$，将含$x$的项凑成完全平方式，再利用平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0），当完全平方式取0时，多项式取得最小值，即可求出对应的$x$值和最小值。
（3）对于含两个变量的多项式，先将含$a$、含$b$的项分别分组，各自凑成完全平方式，结合平方的非负性，当两个完全平方式同时取0时，多项式取得最小值，即可求出对应的$a$、$b$值和最小值。
【解析】
(1) 分解因式：
原式$=(x^2 - 4x + 4) - 4 - 21$
$=(x - 2)^2 - 25$
$=(x - 2 + 5)(x - 2 - 5)$
$=(x + 3)(x - 7)$
(2) 对多项式配方：
原式$=\frac{1}{2}(x^2 - 10x) + 6$
$=\frac{1}{2}(x^2 - 10x + 25 - 25) + 6$
$=\frac{1}{2}(x - 5)^2 - \frac{25}{2} + 6$
$=\frac{1}{2}(x - 5)^2 - \frac{13}{2}$
$\because (x - 5)^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$x=5$时，多项式有最小值，最小值为$-\frac{13}{2}$。
(3) 对多项式配方：
$a^2 + b^2 - 6a + 8b + 28$
$=(a^2 - 6a + 9) + (b^2 + 8b + 16) + 28 - 9 - 16$
$=(a - 3)^2 + (b + 4)^2 + 3$
$\because (a - 3)^2 ≥ 0$，$(b + 4)^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$a=3$，$b=-4$时，多项式有最小值，最小值是$3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+3)(x-7)}$
(2) 当$\boldsymbol{x=5}$时，多项式有最小值，最小值为$\boldsymbol{-\dfrac{13}{2}}$
(3) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{-4}$，$\boldsymbol{3}$
【知识点】
配方法的应用，因式分解，平方的非负性
【点评】
本题属于阅读类应用题型，核心考查对配方法的理解与灵活运用，需要熟练掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征，同时能结合平方的非负性求解最值，能有效考查学生的知识迁移能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）分解因式$x^2-4x-21$时，遵循配方法的规则，先给$x^2-4x$加上一次项系数一半的平方（即4）凑成完全平方式，再减去4保证式子值不变，转化为平方差形式后，用平方差公式即可完成分解。
（2）求多项式最小值时，先提取二次项系数$\frac{1}{2}$，将含$x$的项凑成完全平方式，再利用平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0），当完全平方式取0时，多项式取得最小值，即可求出对应的$x$值和最小值。
（3）对于含两个变量的多项式，先将含$a$、含$b$的项分别分组，各自凑成完全平方式，结合平方的非负性，当两个完全平方式同时取0时，多项式取得最小值，即可求出对应的$a$、$b$值和最小值。
【解析】
(1) 分解因式：
原式$=(x^2 - 4x + 4) - 4 - 21$
$=(x - 2)^2 - 25$
$=(x - 2 + 5)(x - 2 - 5)$
$=(x + 3)(x - 7)$
(2) 对多项式配方：
原式$=\frac{1}{2}(x^2 - 10x) + 6$
$=\frac{1}{2}(x^2 - 10x + 25 - 25) + 6$
$=\frac{1}{2}(x - 5)^2 - \frac{25}{2} + 6$
$=\frac{1}{2}(x - 5)^2 - \frac{13}{2}$
$\because (x - 5)^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$x=5$时，多项式有最小值，最小值为$-\frac{13}{2}$。
(3) 对多项式配方：
$a^2 + b^2 - 6a + 8b + 28$
$=(a^2 - 6a + 9) + (b^2 + 8b + 16) + 28 - 9 - 16$
$=(a - 3)^2 + (b + 4)^2 + 3$
$\because (a - 3)^2 ≥ 0$，$(b + 4)^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$a=3$，$b=-4$时，多项式有最小值，最小值是$3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+3)(x-7)}$
(2) 当$\boldsymbol{x=5}$时，多项式有最小值，最小值为$\boldsymbol{-\dfrac{13}{2}}$
(3) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{-4}$，$\boldsymbol{3}$
【知识点】
配方法的应用，因式分解，平方的非负性
【点评】
本题属于阅读类应用题型，核心考查对配方法的理解与灵活运用，需要熟练掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征，同时能结合平方的非负性求解最值，能有效考查学生的知识迁移能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
