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22. (10分)如图9,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,AD平分$∠ BAC$.在小智他们刚学完“三角形全等的判定”这节课后,老师给出了一个富有挑战性的题目:利用所学知识推导出$△ ABD$和$△ ACD$面积的比值与边AB和AC长度的比值之间的关系.经过小组讨论,他们的总体思路是控制变量法,即过点D作AC的垂线,垂足为点E,再根据三角形全等来证明$△ ABD$和$△ ACD$的高相等,从而得到结论.请根据小智他们的思路完成以下作图与填空:
(1)尺规作图:过点D作AC的垂线,交AC于点E(不写作法,保留作图痕迹).
(2)证明:∵ AD平分$∠ BAC$,
∴ ①.
∵ $DE⊥ AC$,
∴ $∠ AED=∠ B=90°$.
又②,
∴ $△ ABD≌△ AED(\mathrm{AAS})$,
∴ ③.
∵ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DB,S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DE$,
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$.
小智他们再进一步研究发现,只要一个三角形被其任意一内角的角平分线分为两个三角形,均有此结论.请你依照题意完成下面命题:
如果一个三角形满足被其任意一内角的平分线分为两个三角形,那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④.请用别的方法证明这个结论是真命题.
(1)尺规作图:过点D作AC的垂线,交AC于点E(不写作法,保留作图痕迹).
(2)证明:∵ AD平分$∠ BAC$,
∴ ①.
∵ $DE⊥ AC$,
∴ $∠ AED=∠ B=90°$.
又②,
∴ $△ ABD≌△ AED(\mathrm{AAS})$,
∴ ③.
∵ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DB,S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DE$,
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$.
小智他们再进一步研究发现,只要一个三角形被其任意一内角的角平分线分为两个三角形,均有此结论.请你依照题意完成下面命题:
如果一个三角形满足被其任意一内角的平分线分为两个三角形,那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④.请用别的方法证明这个结论是真命题.
答案
解：
(1) 按尺规过直线外一点作已知直线垂线的方法作出DE⊥AC，E为垂足，保留作图痕迹。
(2) ① $\boldsymbol{∠BAD=∠EAD}$
② $\boldsymbol{AD=AD}$（或AD为公共边）
③ $\boldsymbol{BD=DE}$
④ $\boldsymbol{相等}$
证明该命题为真命题：
已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC边上任意一点。
求证：$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$
证明：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠MAD=∠NAD。
∵ DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ ∠AMD=∠AND=90°。
在△AMD和△AND中，
$\begin{cases}∠AMD=∠AND \\∠MAD=∠NAD \\AD=AD\end{cases}$
∴ △AMD≌△AND(AAS)，
∴ DM=DN。
∵ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DM$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DN$，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB· DM}{\frac{1}{2}AC· DN}=\frac{AB}{AC}$，
即这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值相等，该命题为真命题。
(1) 按尺规过直线外一点作已知直线垂线的方法作出DE⊥AC，E为垂足，保留作图痕迹。
(2) ① $\boldsymbol{∠BAD=∠EAD}$
② $\boldsymbol{AD=AD}$（或AD为公共边）
③ $\boldsymbol{BD=DE}$
④ $\boldsymbol{相等}$
证明该命题为真命题：
已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC边上任意一点。
求证：$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$
证明：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠MAD=∠NAD。
∵ DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ ∠AMD=∠AND=90°。
在△AMD和△AND中，
$\begin{cases}∠AMD=∠AND \\∠MAD=∠NAD \\AD=AD\end{cases}$
∴ △AMD≌△AND(AAS)，
∴ DM=DN。
∵ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DM$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DN$，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB· DM}{\frac{1}{2}AC· DN}=\frac{AB}{AC}$，
即这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值相等，该命题为真命题。
解析
【分析】
(1) 第一问为尺规作图题，考查过直线外一点作已知直线垂线的操作方法，按规范作图并保留痕迹即可。
(2) 第二问填空可按全等判定与性质的逻辑推导：首先由角平分线的定义可得一组角相等，对应①；要使用AAS证明△ABD≌△AED，已有两组角对应相等，还缺少一组公共边相等，对应②；全等后对应边相等，得到两个三角形的高相等，对应③；最终推导可得面积比等于AB与AC的比，即两个比值相等，对应④。
后续证明命题时，可利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，过D向AB、AC作两条高，证明高相等后，结合三角形面积公式即可推导出面积比等于两边长度的比。
【解析】
(1) 按照过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图方法，作出DE⊥AC，E为垂足，保留作图痕迹。
(2) 填空：
① 由角平分线的定义，AD平分∠BAC，可得$\boldsymbol{∠BAD=∠EAD}$；
② 已知∠AED=∠B=90°，∠BAD=∠EAD，添加公共边相等的条件$\boldsymbol{AD=AD}$（或AD为公共边），即可由AAS判定△ABD≌△AED；
③ 全等三角形对应边相等，因此$\boldsymbol{BD=DE}$；
④ 由面积公式推导得$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$，因此两个比值$\boldsymbol{相等}$。
命题证明：
已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC边上的点。
求证：$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$
证明：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠MAD=∠NAD。
∵ DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ ∠AMD=∠AND=90°。
在△AMD和△AND中：
$\begin{cases}∠AMD=∠AND \\∠MAD=∠NAD \\AD=AD\end{cases}$
∴ △AMD≌△AND(AAS)，
∴ DM=DN。
∵ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DM$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DN$，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB· DM}{\frac{1}{2}AC· DN}=\frac{AB}{AC}$，命题为真命题。
【答案】
(1) 作出DE⊥AC，E为垂足，保留作图痕迹；
(2) ①$\boldsymbol{∠BAD=∠EAD}$；②$\boldsymbol{AD=AD}$（或AD为公共边）；③$\boldsymbol{BD=DE}$；④$\boldsymbol{相等}$；
命题证明如上，结论成立。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、角平分线性质等知识点，既注重基础内容的考查，也锻炼了逻辑推理和归纳总结的能力，是角平分线相关应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为尺规作图题，考查过直线外一点作已知直线垂线的操作方法，按规范作图并保留痕迹即可。
(2) 第二问填空可按全等判定与性质的逻辑推导：首先由角平分线的定义可得一组角相等，对应①；要使用AAS证明△ABD≌△AED，已有两组角对应相等，还缺少一组公共边相等，对应②；全等后对应边相等，得到两个三角形的高相等，对应③；最终推导可得面积比等于AB与AC的比，即两个比值相等，对应④。
后续证明命题时，可利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，过D向AB、AC作两条高，证明高相等后，结合三角形面积公式即可推导出面积比等于两边长度的比。
【解析】
(1) 按照过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图方法，作出DE⊥AC，E为垂足，保留作图痕迹。
(2) 填空：
① 由角平分线的定义，AD平分∠BAC，可得$\boldsymbol{∠BAD=∠EAD}$；
② 已知∠AED=∠B=90°，∠BAD=∠EAD，添加公共边相等的条件$\boldsymbol{AD=AD}$（或AD为公共边），即可由AAS判定△ABD≌△AED；
③ 全等三角形对应边相等，因此$\boldsymbol{BD=DE}$；
④ 由面积公式推导得$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$，因此两个比值$\boldsymbol{相等}$。
命题证明：
已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC边上的点。
求证：$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$
证明：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠MAD=∠NAD。
∵ DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ ∠AMD=∠AND=90°。
在△AMD和△AND中：
$\begin{cases}∠AMD=∠AND \\∠MAD=∠NAD \\AD=AD\end{cases}$
∴ △AMD≌△AND(AAS)，
∴ DM=DN。
∵ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DM$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DN$，
∴ $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB· DM}{\frac{1}{2}AC· DN}=\frac{AB}{AC}$，命题为真命题。
【答案】
(1) 作出DE⊥AC，E为垂足，保留作图痕迹；
(2) ①$\boldsymbol{∠BAD=∠EAD}$；②$\boldsymbol{AD=AD}$（或AD为公共边）；③$\boldsymbol{BD=DE}$；④$\boldsymbol{相等}$；
命题证明如上，结论成立。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、角平分线性质等知识点，既注重基础内容的考查，也锻炼了逻辑推理和归纳总结的能力，是角平分线相关应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
