23. (11分)如图10,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,E为BC边上一点,以E为顶点作∠AEF,∠AEF的一边交AC于点F,使∠AEF=∠B.
(1)如果∠ABC=40°,则∠BAC的度数为;
(2)判断∠BAE与∠CEF的大小关系,并说明理由;
(3)当△AEF为直角三角形时,求∠AEF与∠BAE的数量关系.

解：(1) 在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-40°-40°=100°。
答案为$\boldsymbol{100°}$。
(2) $∠ BAE = ∠ CEF$，理由如下：
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠BAE。
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF，且∠AEF=∠B，
∴∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，
∴∠BAE=∠CEF。
(3) 分两种情况讨论：
① 当∠AFE=90°时，
∵∠AFE是△EFC的外角，
∴∠AFE=∠C+∠CEF=90°。
由(2)知∠CEF=∠BAE，又∠AEF=∠B=∠C，
∴∠AEF+∠BAE=90°。
② 当∠EAF=90°时，
在Rt△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°。
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-2∠AEF，
且∠BAC=∠BAE+∠EAF=∠BAE+90°，
∴180°-2∠AEF=∠BAE+90°，
整理得$2∠ AEF + ∠ BAE = 90°$。
综上，∠AEF与∠BAE的数量关系为$∠ AEF + ∠ BAE = 90°$或$2∠ AEF + ∠ BAE = 90°$。

【分析】
(1) 已知△ABC是底角为40°的等腰三角形，根据三角形内角和为180°，直接用180°减去两个底角的度数即可求出顶角∠BAC的度数。
(2) 判断两角的大小关系可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。观察∠AEC，它既是△ABE的外角，也可拆分为∠AEF+∠CEF，结合已知∠AEF=∠B，通过等量代换即可推出两角的关系。
(3) 当△AEF为直角三角形时，题目未明确哪个角是直角，因此需分两种情况讨论：①∠AFE=90°；②∠EAF=90°。分别结合三角形内外角性质、内角和定理以及第(2)问的结论推导数量关系，注意不要漏解。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-40°-40°=100°$。
(2) $∠ BAE=∠ CEF$，理由如下：
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴$∠ AEC=∠ B+∠ BAE$。
又
∵$∠ AEC=∠ AEF+∠ CEF$，且已知$∠ AEF=∠ B$，
∴$∠ B+∠ BAE=∠ AEF+∠ CEF$，
等式两边同时减去相等的$∠ B$和$∠ AEF$，可得$∠ BAE=∠ CEF$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$∠ AFE=90°$时：
∵∠AFE是△EFC的外角，
∴$∠ AFE=∠ C+∠ CEF=90°$。
由(2)可知$∠ CEF=∠ BAE$，又$∠ AEF=∠ B=∠ C$，
代入得$∠ AEF+∠ BAE=90°$。
② 当$∠ EAF=90°$时：
在Rt△AEF中，$∠ AEF+∠ AFE=90°$。
在△ABC中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-2∠ AEF$（$∠ B=∠ C=∠ AEF$），
又
∵$∠ BAC=∠ BAE+∠ EAF=∠ BAE+90°$，
∴$180°-2∠ AEF=∠ BAE+90°$，
整理得$2∠ AEF+∠ BAE=90°$。
综上，$∠ AEF$与$∠ BAE$的数量关系为$∠ AEF+∠ BAE=90°$或$2∠ AEF+∠ BAE=90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{100°}$
(2) $\boldsymbol{∠ BAE=∠ CEF}$
(3) $\boldsymbol{∠ AEF+∠ BAE=90°}$或$\boldsymbol{2∠ AEF+∠ BAE=90°}$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形性质
【点评】
本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形性质、三角形内外角的关系，第三问需要用到分类讨论思想，解题时要明确直角的位置，避免漏解，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和思维严谨性。
【难度系数】
0.6