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3. 如图7,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$为$BC$边上的中线,$DE\bot AB$于点$E$.
(1)求证:$△ BDE∽△ CAD$;
(2)若$AB=13$,$BC=10$,求线段$DE$的长.
(1)求证:$△ BDE∽△ CAD$;
(2)若$AB=13$,$BC=10$,求线段$DE$的长.
答案
(1)略 (2) $\dfrac{60}{13}$
解析
【分析】
(1) 要证明△BDE∽△CAD，可选择两角分别相等的相似判定定理推导：首先由AB=AC可得等腰三角形底角相等，即∠B=∠C；再结合等腰三角形三线合一的性质，得AD⊥BC，即∠ADC=90°，结合DE⊥AB得∠DEB=90°，两组角对应相等即可证明相似。
(2) 求DE的长度时，先利用中线性质得BD的长度，再在Rt△ABD中用勾股定理求出AD的长度，最后通过△ABD面积的两种表示方法（等面积法）建立等式，即可求解DE的长度，也可直接用第一问的相似三角形对应边成比例求解。
【解析】
(1) 证明：
∵$AB=AC$，
∴$△ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C$。
∵$AD$为$BC$边上的中线，由等腰三角形三线合一的性质可得：$AD⊥ BC$，即$∠ ADC=90°$。
∵$DE⊥ AB$，
∴$∠ DEB=90°$，因此$∠ DEB=∠ ADC$。
在$△ BDE$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}∠ DEB=∠ ADC\\∠ B=∠ C\end{cases}$
∴$△ BDE∽△ CAD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵$BC=10$，$AD$是$BC$边上的中线，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=5$。
由(1)可知$AD⊥ BC$，即$△ ABD$是直角三角形。
在$Rt△ ABD$中，$AB=13$，$BD=5$，根据勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$。
∵$DE⊥ AB$，$△ ABD$的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}BD· AD$，
约去$\frac{1}{2}$后代入数值：$13· DE=5×12$，
解得$DE=\frac{60}{13}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\dfrac{60}{13}$
【知识点】
相似三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查相似三角形判定和等腰三角形性质的应用，解题时注意灵活运用等面积法求直角三角形斜边上的高，能简化计算步骤，是几何中求线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△BDE∽△CAD，可选择两角分别相等的相似判定定理推导：首先由AB=AC可得等腰三角形底角相等，即∠B=∠C；再结合等腰三角形三线合一的性质，得AD⊥BC，即∠ADC=90°，结合DE⊥AB得∠DEB=90°，两组角对应相等即可证明相似。
(2) 求DE的长度时，先利用中线性质得BD的长度，再在Rt△ABD中用勾股定理求出AD的长度，最后通过△ABD面积的两种表示方法（等面积法）建立等式，即可求解DE的长度，也可直接用第一问的相似三角形对应边成比例求解。
【解析】
(1) 证明：
∵$AB=AC$，
∴$△ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C$。
∵$AD$为$BC$边上的中线，由等腰三角形三线合一的性质可得：$AD⊥ BC$，即$∠ ADC=90°$。
∵$DE⊥ AB$，
∴$∠ DEB=90°$，因此$∠ DEB=∠ ADC$。
在$△ BDE$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}∠ DEB=∠ ADC\\∠ B=∠ C\end{cases}$
∴$△ BDE∽△ CAD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵$BC=10$，$AD$是$BC$边上的中线，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=5$。
由(1)可知$AD⊥ BC$，即$△ ABD$是直角三角形。
在$Rt△ ABD$中，$AB=13$，$BD=5$，根据勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$。
∵$DE⊥ AB$，$△ ABD$的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}BD· AD$，
约去$\frac{1}{2}$后代入数值：$13· DE=5×12$，
解得$DE=\frac{60}{13}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\dfrac{60}{13}$
【知识点】
相似三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查相似三角形判定和等腰三角形性质的应用，解题时注意灵活运用等面积法求直角三角形斜边上的高，能简化计算步骤，是几何中求线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.7
4. 如图8,E为$□ ABCD$的边BC延长线上一点,AE与BD交于点F,与DC交于点G.
(1)写出所有与$△ ABE$相似的三角形,并选择其中一对相似三角形加以证明;
(2)若$BC=2CE$,求$\dfrac{DF}{FB}$的值.
(1)写出所有与$△ ABE$相似的三角形,并选择其中一对相似三角形加以证明;
(2)若$BC=2CE$,求$\dfrac{DF}{FB}$的值.
答案
(1)①$△ ABE ∽ △ GCE$ ②$△ ABE ∽ △ GDA$ 证明1: $\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形 $\therefore AB// DC$ $\therefore ∠ ABE=∠ GCE,∠ BAE=∠ CGE$ $\therefore △ ABE ∽ △ GCE$ 证明2: $\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形 $\therefore ∠ ABE=∠ GDA,AD// BE$ $\therefore ∠ E=∠ DAG$ $\therefore △ ABE ∽ △ GDA$
(2) $\dfrac{2}{3}$
(2) $\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
(1) 要找与△ABE相似的三角形，可结合平行四边形对边平行的性质，利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：①由AB//DC可得△ABE和△GCE的两组角对应相等，故两三角形相似；②由AD//BE且平行四边形对角相等，可得△ABE和△GDA的两组角对应相等，故两三角形相似，证明时任选一组推导对应角相等即可。
(2) 求$\dfrac{DF}{FB}$的比值，可先由AD//BE证得△ADF∽△EBF，根据相似三角形对应边成比例可得$\dfrac{DF}{FB}=\dfrac{AD}{BE}$。结合已知BC=2CE，且平行四边形中AD=BC，求出AD与BE的比值即可得到结果。
【解析】
(1) 与△ABE相似的三角形是$△ GCE$、$△ GDA$。
选择$△ ABE ∽ △ GCE$证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// DC$，即$AB// GC$，
∴$∠ ABE=∠ GCE$，$∠ BAE=∠ CGE$，
∴$△ ABE ∽ △ GCE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
（也可选择$△ ABE ∽ △ GDA$证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$∠ ABE=∠ GDA$，$AD// BE$，
∴$∠ E=∠ DAG$，
∴$△ ABE ∽ △ GDA$（两角分别相等的两个三角形相似）。）
(2) 设$CE=a$，
∵$BC=2CE$，
∴$BC=2a$，
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD=BC=2a$，$AD// BC$，
∴$BE=BC+CE=2a+a=3a$，$∠ ADF=∠ EBF$，$∠ DAF=∠ BEF$，
∴$△ ADF ∽ △ EBF$，
∴$\dfrac{DF}{FB}=\dfrac{AD}{BE}=\dfrac{2a}{3a}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1) 与$△ ABE$相似的三角形为$△ GCE$、$△ GDA$，证明见上述解析；
(2) $\dfrac{2}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形章节的基础典型题，侧重考察相似三角形的判定、性质与平行四边形性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握两角判定相似的定理，灵活运用平行线构造相似三角形转化线段比例。
【难度系数】
0.7
(1) 要找与△ABE相似的三角形，可结合平行四边形对边平行的性质，利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：①由AB//DC可得△ABE和△GCE的两组角对应相等，故两三角形相似；②由AD//BE且平行四边形对角相等，可得△ABE和△GDA的两组角对应相等，故两三角形相似，证明时任选一组推导对应角相等即可。
(2) 求$\dfrac{DF}{FB}$的比值，可先由AD//BE证得△ADF∽△EBF，根据相似三角形对应边成比例可得$\dfrac{DF}{FB}=\dfrac{AD}{BE}$。结合已知BC=2CE，且平行四边形中AD=BC，求出AD与BE的比值即可得到结果。
【解析】
(1) 与△ABE相似的三角形是$△ GCE$、$△ GDA$。
选择$△ ABE ∽ △ GCE$证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// DC$，即$AB// GC$，
∴$∠ ABE=∠ GCE$，$∠ BAE=∠ CGE$，
∴$△ ABE ∽ △ GCE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
（也可选择$△ ABE ∽ △ GDA$证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$∠ ABE=∠ GDA$，$AD// BE$，
∴$∠ E=∠ DAG$，
∴$△ ABE ∽ △ GDA$（两角分别相等的两个三角形相似）。）
(2) 设$CE=a$，
∵$BC=2CE$，
∴$BC=2a$，
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD=BC=2a$，$AD// BC$，
∴$BE=BC+CE=2a+a=3a$，$∠ ADF=∠ EBF$，$∠ DAF=∠ BEF$，
∴$△ ADF ∽ △ EBF$，
∴$\dfrac{DF}{FB}=\dfrac{AD}{BE}=\dfrac{2a}{3a}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1) 与$△ ABE$相似的三角形为$△ GCE$、$△ GDA$，证明见上述解析；
(2) $\dfrac{2}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形章节的基础典型题，侧重考察相似三角形的判定、性质与平行四边形性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握两角判定相似的定理，灵活运用平行线构造相似三角形转化线段比例。
【难度系数】
0.7
