4. 下列图形中不一定相似的是()

A.各有一个角是45°的两个等腰三角形
B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
C.各有一个角是105°的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形

4. A

【分析】
要判断两个三角形是否相似，依据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，结合等腰三角形的性质，对每个选项中的已知角分“是顶角/是底角”的情况讨论，判断两个三角形是否总能满足两组角对应相等，若存在不满足的情况则不一定相似。
【解析】
根据相似三角形判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，逐一分析选项：
A. 若一个等腰三角形中45°为顶角，则底角为$\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，三个内角度数为$45°、67.5°、67.5°$；若另一个等腰三角形中45°为底角，则顶角为$180°-45°×2=90°$，三个内角度数为$45°、45°、90°$，此时两个三角形没有两组对应角相等，不相似。仅当45°同为顶角或同为底角时才相似，因此该组三角形不一定相似。
B. 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，所有内角均为60°，两个三角形三组角对应相等，一定相似。
C. 105°为钝角，等腰三角形的底角不能为钝角，因此105°只能是两个等腰三角形的顶角，底角均为$\frac{180°-105°}{2}=37.5°$，三个内角度数均为$105°、37.5°、37.5°$，对应角相等，一定相似。
D. 等腰直角三角形的三个内角固定为$90°、45°、45°$，对应角相等，一定相似。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形中已知锐角既可以是顶角也可以是底角，钝角只能为顶角的特点，解题时需分类讨论所有可能的情况，再结合相似判定定理判断。
【难度系数】
0.7

二、填空题
1. 如图3，如果∠1=∠C，那么△ABD∽△。

1. ACB

【分析】
要解这道题，首先回忆相似三角形的判定定理，其中“两角分别相等的两个三角形相似”是本题适用的判定方法。首先梳理已知条件：题目给出∠1=∠C，再观察图形找公共角，△ABD和待判定的三角形都包含公共角∠A，这样就得到了两组对应相等的角，即可判定相似，最后注意相似三角形的对应顶点要按对应关系书写。
【解析】
在△ABD和△ACB中：
1. ∠A是两个三角形的公共角，因此$∠ A = ∠ A$；
2. 题目已知$∠ 1 = ∠ C$；
根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，可得$△ ABD ∽ △ ACB$。
【答案】
ACB
【知识点】
1. 相似三角形两角判定法
2. 公共角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的核心是准确找到两组对应相等的角，同时要注意相似三角形书写时对应顶点的位置要一一对应，避免写错对应三角形。
【难度系数】
0.8

2. 如图4，∠C=∠E=90°,AC=3,BC=4,AE=2,则AD=.

2. $\dfrac{10}{3}$

【分析】首先观察图形特征，已知两个直角∠C=∠E=90°，且△AED和△ACB有公共角∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可判定两个三角形相似；再先用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列等式，即可求出AD的长度。
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵∠E=∠C=90°，∠EAD=∠CAB（公共角相等）
∴△AED∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
将AB=5，AE=2，AC=3代入上式：
$\frac{AD}{5}=\frac{2}{3}$
解得$AD=\frac{10}{3}$
【答案】$\dfrac{10}{3}$
【知识点】相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】本题是相似三角形的基础应用类题目，解题的核心是准确找到两组相等的角判定三角形相似，再结合勾股定理和相似边的比例关系求解，属于常规基础题型。
【难度系数】0.7

3. 如图5,点$A(0,3)$,$B(1,0)$,将线段$AB$平移得到线段$DC$,若$∠ ABC=90°$,$BC=2AB$,则点$D$的坐标是.

3. (6,5)

【分析】
解题思路如下：1. 先根据A、B的坐标得到OA、OB的长度，要得到D点坐标需先求C点坐标，利用∠ABC=90°的条件，过C作x轴垂线构造“一线三直角”模型，证明两个直角三角形相似；2. 根据BC=2AB得到相似比，计算出点C的横纵坐标；3. 利用平移的性质：线段平移前后对应点的平移向量相同，结合AB的平移规律推出D点坐标。
【解析】
1. 过点C作CE⊥x轴于点E。已知$A(0,3)$，$B(1,0)$，可得$OA=3$，$OB=1$，$∠ AOB=90°$。
2. 因为$∠ ABC=90°$，所以$∠ ABO + ∠ CBE = 90°$，又$∠ ABO + ∠ OAB = 90°$，因此$∠ OAB = ∠ CBE$。结合$∠ AOB=∠ BEC=90°$，可证$△ AOB ∽ △ BEC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 已知$BC=2AB$，则相似比$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{AO}{BE}=\frac{OB}{EC}=\frac{1}{2}$。代入$AO=3$，$OB=1$，可得$\frac{3}{BE}=\frac{1}{2}$，解得$BE=6$；$\frac{1}{EC}=\frac{1}{2}$，解得$EC=2$。
4. 点B坐标为$(1,0)$，则点E的横坐标为$1+BE=7$，点C的纵坐标为$EC=2$，即$C(7,2)$。
5. 线段AB平移得到线段DC，平移向量与AB的平移向量相同：AB的平移向量为$(1-0,0-3)=(1,-3)$，即点D向右平移1个单位、向下平移3个单位得到点C。设$D(x,y)$，则$x+1=7$，$y-3=2$，解得$x=6$，$y=5$。
【答案】
$(6,5)$
【知识点】
相似三角形的判定，平移的性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是几何与平面直角坐标系结合的典型题型，解题关键是通过构造“一线三直角”模型证明三角形相似，求出中间点C的坐标后，再结合平移的性质即可求出目标点坐标。
【难度系数】
0.6

三、解答题
1. 已知:在$△ ABC$和$△ DEF$中,$∠ B=25°,∠ C=50°,∠ D=105°,∠ F=50°$. 判断这两个三角形是否相似.

1. $\because ∠ A=180°-(∠ B+∠ C)=105°,∠ A=∠ D,∠ C=∠ F=50° \quad \therefore △ ABC ∽ △ DEF$

【分析】
要判断两个三角形是否相似，已知多个内角度数时，优先选用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理求解。第一步，利用三角形内角和为180°，计算出△ABC中未知的∠A的度数；第二步，对比两个三角形的内角，找出两组对应相等的角；第三步，根据判定定理得出最终结论。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ A = 180° - (∠ B + ∠ C) = 180° - (25° + 50°) = 105°$
已知在△DEF中，$∠ D=105°$，$∠ F=50°$
因此$∠ A = ∠ D = 105°$，$∠ C = ∠ F = 50°$
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∽ △ DEF$
【答案】
$△ ABC ∽ △ DEF$
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定（两角相等）
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是熟练掌握三角形内角和定理与相似三角形的判定定理，找到两组对应相等的角即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 如图6,在△ABC中,E是AB的中点,AB=6,AC=4.5,∠ADE=∠B,求CD的长.

2. 0.5

【分析】
首先观察已知条件：∠ADE=∠B，且△ADE和△ABC有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似，可证明△ADE∽△ABC。其次，E是AB中点，结合AB的长度可求出AE的长度。再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式求出AD的长度，最后用AC的长度减去AD的长度即可得到CD的长。
【解析】
解：在△ADE和△ABC中，
∵∠A=∠A（公共角），∠ADE=∠B（已知），
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵E是AB的中点，AB=6，
∴$AE = \frac{1}{2}AB = 3$。
由相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}$，
将AE=3，AC=4.5，AB=6代入得：
$\frac{3}{4.5} = \frac{AD}{6}$，
解得$AD = \frac{3×6}{4.5} = 4$。
∴$CD = AC - AD = 4.5 - 4 = 0.5$。
【答案】
0.5
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的关键是找准公共角和已知相等的角，正确判定相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例的性质列式计算，需要注意相似三角形对应边的对应关系不要找错。
【难度系数】
0.7