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3. 如图10，已知△ABC在正方形网格纸中：
(1)画一个△DEF，使△ABC和△DEF的相似比为1；
(2)画一个△GHI，使△ABC和△GHI的相似比为$\frac{1}{2}$。
(1)画一个△DEF，使△ABC和△DEF的相似比为1；
(2)画一个△GHI，使△ABC和△GHI的相似比为$\frac{1}{2}$。
答案
解：
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理得△ABC的三边长：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=2$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
(1) 由△ABC与△DEF的相似比为1，可知△DEF的三边长分别与△ABC的三边长相等，即$DE=\sqrt{2}$，$EF=2$，$DF=\sqrt{10}$。
在网格中选取满足上述边长条件的三个格点D、E、F，顺次连接三点，即可得到符合要求的△DEF（图形不唯一）。
(2) 由△ABC与△GHI的相似比为$\frac{1}{2}$，可知△GHI的三边长分别为△ABC对应边长的2倍，即$GH=2\sqrt{2}$，$HI=4$，$GI=2\sqrt{10}$。
在网格中选取满足上述边长条件的三个格点G、H、I，顺次连接三点，即可得到符合要求的△GHI（图形不唯一）。
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理得△ABC的三边长：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=2$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
(1) 由△ABC与△DEF的相似比为1，可知△DEF的三边长分别与△ABC的三边长相等，即$DE=\sqrt{2}$，$EF=2$，$DF=\sqrt{10}$。
在网格中选取满足上述边长条件的三个格点D、E、F，顺次连接三点，即可得到符合要求的△DEF（图形不唯一）。
(2) 由△ABC与△GHI的相似比为$\frac{1}{2}$，可知△GHI的三边长分别为△ABC对应边长的2倍，即$GH=2\sqrt{2}$，$HI=4$，$GI=2\sqrt{10}$。
在网格中选取满足上述边长条件的三个格点G、H、I，顺次连接三点，即可得到符合要求的△GHI（图形不唯一）。
解析
【分析】
要画出与△ABC相似的三角形，首先需要确定原△ABC的三边长度，网格中求线段长度可借助勾股定理计算。(1)相似比为1时，说明两个三角形全等，即所求△DEF的三边长与△ABC完全相等，只需在网格中找到满足三边长度等于△ABC三边长的格点，顺次连接即可。(2)相似比为$\frac{1}{2}$是△ABC与△GHI的比值，即△GHI的三边长是△ABC对应边长的2倍，先计算出△GHI的三边长度，再在网格中选取符合边长要求的格点连接即可，两类作图只要满足边长条件均可，图形不唯一。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC的三边长：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=2$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
(1) 因为△ABC和△DEF的相似比为1，所以△DEF与△ABC全等，其三边长分别为$DE=\sqrt{2}$，$EF=2$，$DF=\sqrt{10}$。在网格中选取满足上述边长条件的三个格点D、E、F，顺次连接三点，即可得到符合要求的△DEF（图形不唯一）。
(2) 因为△ABC和△GHI的相似比为$\frac{1}{2}$，所以△GHI的三边长为△ABC对应边长的2倍，即$GH=2\sqrt{2}$，$HI=4$，$GI=2\sqrt{10}$。在网格中选取满足上述边长条件的三个格点G、H、I，顺次连接三点，即可得到符合要求的△GHI（图形不唯一）。
【答案】
(1) 画出三边长为$\sqrt{2}$、2、$\sqrt{10}$的格点△DEF即可（图形不唯一）；
(2) 画出三边长为$2\sqrt{2}$、4、$2\sqrt{10}$的格点△GHI即可（图形不唯一）。
【知识点】
勾股定理；相似三角形的性质；格点作图
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形的应用，解题核心是先利用勾股定理求出原三角形三边长度，再根据相似比确定所求三角形的边长，需要注意相似比的前后对应顺序，避免将边长缩放方向搞反，题目具有一定开放性，只要满足边长要求的作图均正确。
【难度系数】
0.7
要画出与△ABC相似的三角形，首先需要确定原△ABC的三边长度，网格中求线段长度可借助勾股定理计算。(1)相似比为1时，说明两个三角形全等，即所求△DEF的三边长与△ABC完全相等，只需在网格中找到满足三边长度等于△ABC三边长的格点，顺次连接即可。(2)相似比为$\frac{1}{2}$是△ABC与△GHI的比值，即△GHI的三边长是△ABC对应边长的2倍，先计算出△GHI的三边长度，再在网格中选取符合边长要求的格点连接即可，两类作图只要满足边长条件均可，图形不唯一。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC的三边长：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=2$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
(1) 因为△ABC和△DEF的相似比为1，所以△DEF与△ABC全等，其三边长分别为$DE=\sqrt{2}$，$EF=2$，$DF=\sqrt{10}$。在网格中选取满足上述边长条件的三个格点D、E、F，顺次连接三点，即可得到符合要求的△DEF（图形不唯一）。
(2) 因为△ABC和△GHI的相似比为$\frac{1}{2}$，所以△GHI的三边长为△ABC对应边长的2倍，即$GH=2\sqrt{2}$，$HI=4$，$GI=2\sqrt{10}$。在网格中选取满足上述边长条件的三个格点G、H、I，顺次连接三点，即可得到符合要求的△GHI（图形不唯一）。
【答案】
(1) 画出三边长为$\sqrt{2}$、2、$\sqrt{10}$的格点△DEF即可（图形不唯一）；
(2) 画出三边长为$2\sqrt{2}$、4、$2\sqrt{10}$的格点△GHI即可（图形不唯一）。
【知识点】
勾股定理；相似三角形的性质；格点作图
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形的应用，解题核心是先利用勾股定理求出原三角形三边长度，再根据相似比确定所求三角形的边长，需要注意相似比的前后对应顺序，避免将边长缩放方向搞反，题目具有一定开放性，只要满足边长要求的作图均正确。
【难度系数】
0.7
4. 如图11,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,DC上,△ABE∽△DEF,且∠1=∠2,AB=6,AE=9,DE=2,求EF的长.
答案
$\sqrt{13}$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手，矩形的四个内角都是直角，可得△ABE和△DEF都是直角三角形；已知两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，可先求出DF的长度，最后在Rt△DEF中利用勾股定理即可求出EF的长度。思考时先明确相似三角形的对应边关系，再结合勾股定理计算未知线段长度即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=∠D=90°，
∵ △ABE∽△DEF，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$，
将AB=6，AE=9，DE=2代入得：
$\frac{6}{2}=\frac{9}{DF}$，
解得：DF=3，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题的核心是准确找到相似三角形的对应边，利用相似的比例关系求出未知边长，再结合勾股定理求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手，矩形的四个内角都是直角，可得△ABE和△DEF都是直角三角形；已知两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，可先求出DF的长度，最后在Rt△DEF中利用勾股定理即可求出EF的长度。思考时先明确相似三角形的对应边关系，再结合勾股定理计算未知线段长度即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=∠D=90°，
∵ △ABE∽△DEF，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$，
将AB=6，AE=9，DE=2代入得：
$\frac{6}{2}=\frac{9}{DF}$，
解得：DF=3，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题的核心是准确找到相似三角形的对应边，利用相似的比例关系求出未知边长，再结合勾股定理求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 在$△ ABC$与$△ A'B'C'$中，$∠ B=∠ B'=90°$，$∠ A=30°$，则以下条件不能说明$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似的是(
A.$∠ A'=30°$
B.$∠ C'=60°$
C.$∠ C=60°$
D.$∠ C'=2∠ A'$
1. 在$△ ABC$与$△ A'B'C'$中，$∠ B=∠ B'=90°$，$∠ A=30°$，则以下条件不能说明$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似的是(
C
)A.$∠ A'=30°$
B.$∠ C'=60°$
C.$∠ C=60°$
D.$∠ C'=2∠ A'$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，已知两个三角形均为直角三角形，已有一组直角对应相等，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，只需再找到一组锐角对应相等即可判定两三角形相似，解题时逐一分析各选项能否推出另一组锐角相等，同时注意题目要求选择“不能说明相似”的选项。
【解析】
在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，由三角形内角和可得∠C=180°-90°-30°=60°。
已知△A'B'C'中∠B'=90°，已有∠B=∠B'，逐一分析选项：
A. 若∠A'=30°，则∠A=∠A'，两组角对应相等，故△ABC∽△A'B'C'，不符合题意；
B. 若∠C'=60°，则∠C=∠C'，两组角对应相等，故△ABC∽△A'B'C'，不符合题意；
C. ∠C=60°是△ABC本身的内角性质，未给出△A'B'C'的内角信息，无法推出两三角形有另一组角相等，不能判定相似，符合题意；
D. 若∠C'=2∠A'，在Rt△A'B'C'中∠A'+∠C'=90°，代入得3∠A'=90°，解得∠A'=30°=∠A，两组角对应相等，故△ABC∽△A'B'C'，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握直角三角形相似的判定特点：两个直角三角形只要有一组锐角对应相等即可判定相似，解题时需认真审题，明确选“不能判定”的要求，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形的判定，已知两个三角形均为直角三角形，已有一组直角对应相等，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，只需再找到一组锐角对应相等即可判定两三角形相似，解题时逐一分析各选项能否推出另一组锐角相等，同时注意题目要求选择“不能说明相似”的选项。
【解析】
在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，由三角形内角和可得∠C=180°-90°-30°=60°。
已知△A'B'C'中∠B'=90°，已有∠B=∠B'，逐一分析选项：
A. 若∠A'=30°，则∠A=∠A'，两组角对应相等，故△ABC∽△A'B'C'，不符合题意；
B. 若∠C'=60°，则∠C=∠C'，两组角对应相等，故△ABC∽△A'B'C'，不符合题意；
C. ∠C=60°是△ABC本身的内角性质，未给出△A'B'C'的内角信息，无法推出两三角形有另一组角相等，不能判定相似，符合题意；
D. 若∠C'=2∠A'，在Rt△A'B'C'中∠A'+∠C'=90°，代入得3∠A'=90°，解得∠A'=30°=∠A，两组角对应相等，故△ABC∽△A'B'C'，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握直角三角形相似的判定特点：两个直角三角形只要有一组锐角对应相等即可判定相似，解题时需认真审题，明确选“不能判定”的要求，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
2. 如图1,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AD⊥ BC$于点D,图中相似三角形共有(
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
B
)A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先明确图中的直角三角形，再结合相似三角形“两角对应相等，两三角形相似”的判定定理寻找相等的角：首先由∠BAC=90°，AD⊥BC，可得三个直角三角形△ABC、△ABD、△ACD；先验证大三角形和两个小三角形分别相似，再验证两个小三角形是否相似，统计总对数即可。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°。
①在△ABC和△ABD中：
∠B为公共角，∠BAC=∠ADB=90°，
∴△ABC∽△ABD（两角对应相等，两三角形相似）。
②在△ABC和△ACD中：
∠C为公共角，∠BAC=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD（两角对应相等，两三角形相似）。
③在△ABD和△ACD中：
∵∠B+∠BAD=90°，∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠B=∠CAD（同角的余角相等），
又∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ABD∽△ACD（两角对应相等，两三角形相似）。
综上，共有3对相似三角形。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质、同角的余角相等
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，核心是掌握两角对应相等的三角形相似的判定定理，解题时注意不要遗漏两个小直角三角形相似的情况，该图形是学习射影定理的基础图形，其相似关系需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题时先明确图中的直角三角形，再结合相似三角形“两角对应相等，两三角形相似”的判定定理寻找相等的角：首先由∠BAC=90°，AD⊥BC，可得三个直角三角形△ABC、△ABD、△ACD；先验证大三角形和两个小三角形分别相似，再验证两个小三角形是否相似，统计总对数即可。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°。
①在△ABC和△ABD中：
∠B为公共角，∠BAC=∠ADB=90°，
∴△ABC∽△ABD（两角对应相等，两三角形相似）。
②在△ABC和△ACD中：
∠C为公共角，∠BAC=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD（两角对应相等，两三角形相似）。
③在△ABD和△ACD中：
∵∠B+∠BAD=90°，∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠B=∠CAD（同角的余角相等），
又∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ABD∽△ACD（两角对应相等，两三角形相似）。
综上，共有3对相似三角形。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质、同角的余角相等
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，核心是掌握两角对应相等的三角形相似的判定定理，解题时注意不要遗漏两个小直角三角形相似的情况，该图形是学习射影定理的基础图形，其相似关系需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
3. 如图2,在$△ ABC$纸片中,$∠ A=76°$,$∠ B=34°$. 将$△ ABC$纸片沿某处剪开,下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是(
图2 ①
③ ④
A.①②
B.②④
C.①③
D.③④
C
)图2 ①
③ ④A.①②
B.②④
C.①③
D.③④
答案
3. C
解析
【分析】
要判断剪下的阴影三角形与原三角形是否相似，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理分析。首先先根据三角形内角和算出原△ABC的三个内角度数，再逐一验证4个阴影三角形的内角是否与原三角形有2个角对应相等，满足条件的即为相似。
【解析】
首先计算△ABC的内角度数：
∵三角形内角和为180°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-76°-34°=70°，即△ABC三个内角分别为76°、34°、70°。
逐个分析剪法：
①：阴影三角形有公共角∠B=34°，另一个已知角为76°=∠A，两组角对应相等，故与△ABC相似；
②：阴影三角形有公共角∠B=34°，BC边上的内角为34°，第三个角为180°-34°-34°=112°，无两组角与原三角形对应相等，故不相似；
③：阴影三角形有公共角∠C=70°，另一个已知角为34°=∠B，两组角对应相等，故与△ABC相似；
④：阴影三角形有公共角∠C=70°，另一个已知角为70°，第三个角为180°-70°-70°=40°，无两组角与原三角形对应相等，故不相似。
综上，①③的阴影三角形与原三角形相似。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的相似三角形判定应用题，解题核心是熟练掌握两角对应相等的三角形相似的判定定理，先求出原三角形所有内角再逐一比对即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
要判断剪下的阴影三角形与原三角形是否相似，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理分析。首先先根据三角形内角和算出原△ABC的三个内角度数，再逐一验证4个阴影三角形的内角是否与原三角形有2个角对应相等，满足条件的即为相似。
【解析】
首先计算△ABC的内角度数：
∵三角形内角和为180°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-76°-34°=70°，即△ABC三个内角分别为76°、34°、70°。
逐个分析剪法：
①：阴影三角形有公共角∠B=34°，另一个已知角为76°=∠A，两组角对应相等，故与△ABC相似；
②：阴影三角形有公共角∠B=34°，BC边上的内角为34°，第三个角为180°-34°-34°=112°，无两组角与原三角形对应相等，故不相似；
③：阴影三角形有公共角∠C=70°，另一个已知角为34°=∠B，两组角对应相等，故与△ABC相似；
④：阴影三角形有公共角∠C=70°，另一个已知角为70°，第三个角为180°-70°-70°=40°，无两组角与原三角形对应相等，故不相似。
综上，①③的阴影三角形与原三角形相似。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的相似三角形判定应用题，解题核心是熟练掌握两角对应相等的三角形相似的判定定理，先求出原三角形所有内角再逐一比对即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
