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4. 如图4，$□ ABCD$中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，则图中的相似三角形对数共有(
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
)A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：对边互相平行，再结合相似三角形的判定定理（两角分别对应相等的两个三角形相似），先由平行线找对应的等角，逐步找出相似的三角形，最后还要注意利用相似的传递性得到间接相似的三角形，避免遗漏。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
①由AB//DE，可得∠ABF=∠E，∠A=∠EDF，
∴△ABF∽△DEF（两角分别对应相等的两个三角形相似）；
②由DF//BC，可得∠EDF=∠C，∠EFD=∠EBC，
∴△EDF∽△ECB（两角分别对应相等的两个三角形相似）；
③由△ABF∽△DEF，△EDF∽△ECB，根据相似三角形的传递性，可得△ABF∽△CEB。
综上，图中共有3对相似三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似的传递性
【点评】
本题的易错点是容易遗漏由相似传递性得到的△ABF和△CEB这一对相似三角形，解题时要按照一定的顺序逐一排查，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行四边形的性质：对边互相平行，再结合相似三角形的判定定理（两角分别对应相等的两个三角形相似），先由平行线找对应的等角，逐步找出相似的三角形，最后还要注意利用相似的传递性得到间接相似的三角形，避免遗漏。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
①由AB//DE，可得∠ABF=∠E，∠A=∠EDF，
∴△ABF∽△DEF（两角分别对应相等的两个三角形相似）；
②由DF//BC，可得∠EDF=∠C，∠EFD=∠EBC，
∴△EDF∽△ECB（两角分别对应相等的两个三角形相似）；
③由△ABF∽△DEF，△EDF∽△ECB，根据相似三角形的传递性，可得△ABF∽△CEB。
综上，图中共有3对相似三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似的传递性
【点评】
本题的易错点是容易遗漏由相似传递性得到的△ABF和△CEB这一对相似三角形，解题时要按照一定的顺序逐一排查，避免漏解。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 如图5，已知$△ ABD ∽ △ ACB$，$∠ C=∠ 1$，则$\frac{AD}{(\quad)}=\frac{(\quad)}{BC}=\frac{AB}{(\quad)}$
1. 如图5，已知$△ ABD ∽ △ ACB$，$∠ C=∠ 1$，则$\frac{AD}{(\quad)}=\frac{(\quad)}{BC}=\frac{AB}{(\quad)}$
答案
1. AB,DB,AC
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，解题的核心是准确找到两个相似三角形的对应顶点。题目中已经给出相似符号△ABD∽△ACB，相似符号的书写顺序就对应了顶点的对应关系，即A对应A、B对应C、D对应B，再结合已知∠C=∠1可验证对应角匹配，随后根据对应顶点写出对应边，代入比例式即可得到括号内应填的内容。
【解析】
解：
∵△ABD∽△ACB，根据相似三角形的书写规则，对应顶点为：A与A对应，B与C对应，D与B对应，
又已知∠C=∠1，符合对应角相等的关系，
∴相似三角形的对应边分别为：AD与AB对应，DB与BC对应，AB与AC对应，
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{AD}{AB}=\frac{DB}{BC}=\frac{AB}{AC}$，
因此括号内依次填入AB、DB、AC。
【答案】
AB，DB，AC
【知识点】
相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的关键是掌握相似符号的书写规则，能通过相似符号准确判断对应顶点，进而找到对应边，只要熟练掌握相关基础性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，解题的核心是准确找到两个相似三角形的对应顶点。题目中已经给出相似符号△ABD∽△ACB，相似符号的书写顺序就对应了顶点的对应关系，即A对应A、B对应C、D对应B，再结合已知∠C=∠1可验证对应角匹配，随后根据对应顶点写出对应边，代入比例式即可得到括号内应填的内容。
【解析】
解：
∵△ABD∽△ACB，根据相似三角形的书写规则，对应顶点为：A与A对应，B与C对应，D与B对应，
又已知∠C=∠1，符合对应角相等的关系，
∴相似三角形的对应边分别为：AD与AB对应，DB与BC对应，AB与AC对应，
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{AD}{AB}=\frac{DB}{BC}=\frac{AB}{AC}$，
因此括号内依次填入AB、DB、AC。
【答案】
AB，DB，AC
【知识点】
相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的关键是掌握相似符号的书写规则，能通过相似符号准确判断对应顶点，进而找到对应边，只要熟练掌握相关基础性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
2. 如图6,在$△ ABC$中,$DE// BC$,若$D$为$AB$的中点,则$△ ADE$和$△ ABC$的相似比为
$\dfrac{1}{2}$
.答案
2. $\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件DE//BC入手，回忆相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线，与另外两边相交所得的三角形与原三角形相似，可先判定△ADE和△ABC相似。接下来明确相似比的定义：相似三角形的相似比是对应边的比值，且需注意题目给出的相似顺序是△ADE在前、△ABC在后，因此要找△ADE的边与△ABC对应边的比值。再结合D是AB中点的条件，可得出对应边AD与AB的比值，即为所求相似比。
【解析】
解：
∵ DE//BC，
∴ △ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
∵ D为AB的中点，
∴ AD = $\frac{1}{2}$AB，即$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{1}{2}$。
∵ △ADE与△ABC的相似比为对应边的比值（前项为△ADE的边，后项为△ABC的对应边），
∴ 所求相似比为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似比的概念，线段中点的定义
【点评】
本题属于相似三角形的基础题型，核心考查平行线法判定相似三角形以及相似比的计算，解题时需注意相似比的先后顺序，避免将对应边的比值写反。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知条件DE//BC入手，回忆相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线，与另外两边相交所得的三角形与原三角形相似，可先判定△ADE和△ABC相似。接下来明确相似比的定义：相似三角形的相似比是对应边的比值，且需注意题目给出的相似顺序是△ADE在前、△ABC在后，因此要找△ADE的边与△ABC对应边的比值。再结合D是AB中点的条件，可得出对应边AD与AB的比值，即为所求相似比。
【解析】
解：
∵ DE//BC，
∴ △ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
∵ D为AB的中点，
∴ AD = $\frac{1}{2}$AB，即$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{1}{2}$。
∵ △ADE与△ABC的相似比为对应边的比值（前项为△ADE的边，后项为△ABC的对应边），
∴ 所求相似比为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似比的概念，线段中点的定义
【点评】
本题属于相似三角形的基础题型，核心考查平行线法判定相似三角形以及相似比的计算，解题时需注意相似比的先后顺序，避免将对应边的比值写反。
【难度系数】
0.9
3. 如果一个三角形的三边长分别是3 cm,5 cm,7 cm,和它相似的另一个三角形的最长边为21 cm,那么较大三角形的周长是
45
cm,较小三角形与较大三角形周长的比是$\dfrac{1}{3}$
.答案
3. 45,$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：首先，两个三角形相似，对应边的比值等于相似比，我们可以先找到两个三角形的对应最长边，算出相似比；其次，相似三角形的周长比等于相似比，我们可以先算出较小三角形的周长，再结合相似比求出较大三角形的周长，也可以先根据对应边成比例求出较大三角形的另外两条边长，再计算周长，最后得到两个三角形的周长比。
【解析】
第一步：计算两个相似三角形的相似比
较小三角形的最长边为7cm，与其相似的较大三角形的最长边为21cm，因此相似比（较小三角形:较大三角形）为$\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$。
第二步：计算较小三角形的周长
较小三角形三边长为3cm、5cm、7cm，周长为$3+5+7=15$cm。
第三步：计算较大三角形的周长
根据相似三角形的周长比等于相似比，可得$\frac{较小三角形周长}{较大三角形周长}=\frac{1}{3}$，代入较小三角形周长15cm，解得较大三角形周长为$15×3=45$cm。
第四步：求周长比
较小三角形与较大三角形的周长比为$\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$。
【答案】
45，$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1.相似三角形对应边成比例
2.相似三角形周长比等于相似比
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是先通过对应最长边确定相似比，再利用周长比与相似比的关系快速求解，掌握相似三角形的基本性质即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：首先，两个三角形相似，对应边的比值等于相似比，我们可以先找到两个三角形的对应最长边，算出相似比；其次，相似三角形的周长比等于相似比，我们可以先算出较小三角形的周长，再结合相似比求出较大三角形的周长，也可以先根据对应边成比例求出较大三角形的另外两条边长，再计算周长，最后得到两个三角形的周长比。
【解析】
第一步：计算两个相似三角形的相似比
较小三角形的最长边为7cm，与其相似的较大三角形的最长边为21cm，因此相似比（较小三角形:较大三角形）为$\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$。
第二步：计算较小三角形的周长
较小三角形三边长为3cm、5cm、7cm，周长为$3+5+7=15$cm。
第三步：计算较大三角形的周长
根据相似三角形的周长比等于相似比，可得$\frac{较小三角形周长}{较大三角形周长}=\frac{1}{3}$，代入较小三角形周长15cm，解得较大三角形周长为$15×3=45$cm。
第四步：求周长比
较小三角形与较大三角形的周长比为$\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$。
【答案】
45，$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1.相似三角形对应边成比例
2.相似三角形周长比等于相似比
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是先通过对应最长边确定相似比，再利用周长比与相似比的关系快速求解，掌握相似三角形的基本性质即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
4. 如图7,在$□ ABCD$中,点E为AD的中点,连接BE,交AC于点F,则$AF:CF$等于
1:2
.答案
4. 1:2
解析
【分析】
解题时先从已知的平行四边形条件入手，回忆平行四边形对边平行且相等的性质，再结合点E是AD中点的条件，得到AE与BC的长度比；接下来根据平行线的性质得到相等的内错角，证明△AEF和△CBF相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出AF与CF的比值。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD//BC，AD=BC
∵ 点E为AD的中点
∴ $AE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$，即$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$
∵ AD//BC
∴ ∠EAF = ∠BCF，∠AEF = ∠CBF
∴ △AEF ∽ △CBF（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$
即 $AF:CF = 1:2$
【答案】
1:2
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础题，解题的关键是结合平行四边形的平行特性找到相似三角形，将所求线段比转化为相似三角形的对应边比，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的平行四边形条件入手，回忆平行四边形对边平行且相等的性质，再结合点E是AD中点的条件，得到AE与BC的长度比；接下来根据平行线的性质得到相等的内错角，证明△AEF和△CBF相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出AF与CF的比值。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD//BC，AD=BC
∵ 点E为AD的中点
∴ $AE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$，即$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$
∵ AD//BC
∴ ∠EAF = ∠BCF，∠AEF = ∠CBF
∴ △AEF ∽ △CBF（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$
即 $AF:CF = 1:2$
【答案】
1:2
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础题，解题的关键是结合平行四边形的平行特性找到相似三角形，将所求线段比转化为相似三角形的对应边比，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图8，已知△ABC∽△DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E. 求未知边x，y的长度.
1. 如图8，已知△ABC∽△DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E. 求未知边x，y的长度.
答案
1. x=6,y=3.5
解析
【分析】
本题考查相似三角形性质的应用，解题思路如下：首先根据题目给出的相似关系和对应角相等，确定两个三角形的对应边；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式；最后代入已知边长求解未知量x、y即可。
【解析】
解：$\because △ ABC ∽ △ DEF$，且$∠ A=∠ D$，$∠ B=∠ E$
$\therefore$ 两个三角形的对应边成比例，即$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$
结合图形可得：$AC=4$，$DF=8$，$AB=x$，$DE=12$，$BC=y$，$EF=7$
将已知边长代入比例式得：$\frac{x}{12}=\frac{y}{7}=\frac{4}{8}$
求解x：
$\frac{x}{12}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，解得$x=12×\frac{1}{2}=6$
求解y：
$\frac{y}{7}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，解得$y=7×\frac{1}{2}=3.5$
【答案】
$x=6$，$y=3.5$
【知识点】
相似三角形的性质，比例式计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是准确识别相似三角形的对应边，再通过比例运算求解未知量，能帮助学生巩固相似三角形的基础性质。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形性质的应用，解题思路如下：首先根据题目给出的相似关系和对应角相等，确定两个三角形的对应边；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式；最后代入已知边长求解未知量x、y即可。
【解析】
解：$\because △ ABC ∽ △ DEF$，且$∠ A=∠ D$，$∠ B=∠ E$
$\therefore$ 两个三角形的对应边成比例，即$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$
结合图形可得：$AC=4$，$DF=8$，$AB=x$，$DE=12$，$BC=y$，$EF=7$
将已知边长代入比例式得：$\frac{x}{12}=\frac{y}{7}=\frac{4}{8}$
求解x：
$\frac{x}{12}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，解得$x=12×\frac{1}{2}=6$
求解y：
$\frac{y}{7}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，解得$y=7×\frac{1}{2}=3.5$
【答案】
$x=6$，$y=3.5$
【知识点】
相似三角形的性质，比例式计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是准确识别相似三角形的对应边，再通过比例运算求解未知量，能帮助学生巩固相似三角形的基础性质。
【难度系数】
0.8
2. 如图9,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$△ ABC ∽ △ BDC$,$AB=3$,$AC=5$,求$DC$的长. 
答案
$\dfrac{16}{5}$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，先在Rt△ABC中利用勾股定理计算BC的长度，已知直角边AB和斜边AC的长度，可直接代入勾股公式求解；第二步，根据△ABC∽△BDC的相似关系，找准对应边的比例关系，将已知边长代入比例式即可求出DC的长，注意相似三角形的对应顶点要对应准确，避免比例关系列错。
【解析】
1. 求BC的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$AC=5$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
2. 利用相似三角形性质求DC：
$\because △ ABC ∽ △ BDC$，对应角$∠ C$为公共角，$∠ ABC=∠ BDC=90°$
$\therefore$ 对应边成比例：$\frac{BC}{AC}=\frac{DC}{BC}$
变形得$DC=\frac{BC^2}{AC}$，代入$BC=4$，$AC=5$：
$DC=\frac{4^2}{5}=\frac{16}{5}$
【答案】
$\dfrac{16}{5}$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是准确找到相似三角形的对应边，结合勾股定理求出中间未知量后即可通过比例式计算目标边长，掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题关键。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，先在Rt△ABC中利用勾股定理计算BC的长度，已知直角边AB和斜边AC的长度，可直接代入勾股公式求解；第二步，根据△ABC∽△BDC的相似关系，找准对应边的比例关系，将已知边长代入比例式即可求出DC的长，注意相似三角形的对应顶点要对应准确，避免比例关系列错。
【解析】
1. 求BC的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$AC=5$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
2. 利用相似三角形性质求DC：
$\because △ ABC ∽ △ BDC$，对应角$∠ C$为公共角，$∠ ABC=∠ BDC=90°$
$\therefore$ 对应边成比例：$\frac{BC}{AC}=\frac{DC}{BC}$
变形得$DC=\frac{BC^2}{AC}$，代入$BC=4$，$AC=5$：
$DC=\frac{4^2}{5}=\frac{16}{5}$
【答案】
$\dfrac{16}{5}$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是准确找到相似三角形的对应边，结合勾股定理求出中间未知量后即可通过比例式计算目标边长，掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题关键。
【难度系数】
0.7
