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2. 已知矩形草坪ABCD的长AD=60米，宽CD=40米.
(1)如图4-1，沿矩形草坪ABCD四周有2米宽的环形小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由.
(2)小明提出了如下方案，调整小路的宽度，保持相对的两条小路的宽度相等，如图4-2，如果要使矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似，那么请帮小明计算$\frac{x}{y}$的值.
图4-1
图4-2
(1)如图4-1，沿矩形草坪ABCD四周有2米宽的环形小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由.
(2)小明提出了如下方案，调整小路的宽度，保持相对的两条小路的宽度相等，如图4-2，如果要使矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似，那么请帮小明计算$\frac{x}{y}$的值.
图4-1
图4-2
答案
(1)不相似,理由略 (2)$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题考查相似多边形的判定，解题思路如下：
（1）判断两个矩形是否相似时，矩形的四个角都是直角，对应角必然相等，因此只需验证对应边是否成比例即可。先计算出小路外边缘矩形的长和宽，再分别计算两个矩形长的比、宽的比，若比值相等则相似，否则不相似。
（2）要使两个矩形相似，需结合对应边成比例列等式。首先根据相对小路宽度相等，写出外边缘矩形的长和宽的表达式，再根据相似多边形对应边成比例列出比例式，化简后即可求出$\frac{x}{y}$的值。
【解析】
（1）两个矩形不相似，理由如下：
∵ 小路宽为2米，
∴ 小路外边缘矩形的长为：$60 + 2×2 = 64$（米），宽为：$40 + 2×2 = 44$（米）。
∵ 矩形的四个角都是直角，
∴ 两个矩形的对应角相等。
计算对应边的比值：$\frac{60}{64}=\frac{15}{16}$，$\frac{40}{44}=\frac{10}{11}$，
∵ $\frac{15}{16}≠\frac{10}{11}$，即两个矩形的对应边不成比例，
∴ 小路内外边缘形成的两个矩形不相似。
（2）
∵ 相对的两条小路宽度相等，
∴ 矩形$A'B'C'D'$的长为$60+2y$，宽为$40+2x$。
∵ 矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$相似，
∴ 对应边成比例，即$\frac{60+2y}{60}=\frac{40+2x}{40}$，
化简得：$\frac{30+y}{30}=\frac{20+x}{20}$，
交叉相乘得：$20(30+y)=30(20+x)$，
展开得：$600+20y=600+30x$，
整理得：$30x=20y$，
∴ $\frac{x}{y}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$。
【答案】
（1）不相似，理由见解析；（2）$\frac{2}{3}$
【知识点】
1.相似多边形的判定 2.比例的基本性质 3.矩形的性质
【点评】
本题核心是相似多边形的判定，需要注意相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，缺一不可。解题时要准确对应两个矩形的边长，再列比例式计算即可。
【难度系数】
0.7
本题考查相似多边形的判定，解题思路如下：
（1）判断两个矩形是否相似时，矩形的四个角都是直角，对应角必然相等，因此只需验证对应边是否成比例即可。先计算出小路外边缘矩形的长和宽，再分别计算两个矩形长的比、宽的比，若比值相等则相似，否则不相似。
（2）要使两个矩形相似，需结合对应边成比例列等式。首先根据相对小路宽度相等，写出外边缘矩形的长和宽的表达式，再根据相似多边形对应边成比例列出比例式，化简后即可求出$\frac{x}{y}$的值。
【解析】
（1）两个矩形不相似，理由如下：
∵ 小路宽为2米，
∴ 小路外边缘矩形的长为：$60 + 2×2 = 64$（米），宽为：$40 + 2×2 = 44$（米）。
∵ 矩形的四个角都是直角，
∴ 两个矩形的对应角相等。
计算对应边的比值：$\frac{60}{64}=\frac{15}{16}$，$\frac{40}{44}=\frac{10}{11}$，
∵ $\frac{15}{16}≠\frac{10}{11}$，即两个矩形的对应边不成比例，
∴ 小路内外边缘形成的两个矩形不相似。
（2）
∵ 相对的两条小路宽度相等，
∴ 矩形$A'B'C'D'$的长为$60+2y$，宽为$40+2x$。
∵ 矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$相似，
∴ 对应边成比例，即$\frac{60+2y}{60}=\frac{40+2x}{40}$，
化简得：$\frac{30+y}{30}=\frac{20+x}{20}$，
交叉相乘得：$20(30+y)=30(20+x)$，
展开得：$600+20y=600+30x$，
整理得：$30x=20y$，
∴ $\frac{x}{y}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$。
【答案】
（1）不相似，理由见解析；（2）$\frac{2}{3}$
【知识点】
1.相似多边形的判定 2.比例的基本性质 3.矩形的性质
【点评】
本题核心是相似多边形的判定，需要注意相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，缺一不可。解题时要准确对应两个矩形的边长，再列比例式计算即可。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 如图
，$△ ABC ∽ △ ADE$，且$∠ B=∠ 1$，则下列比例式正确的是(
A.$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AD}{DC}$
B.$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$
C.$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{ED}{BC}$
D.$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$
1. 如图
，$△ ABC ∽ △ ADE$，且$∠ B=∠ 1$，则下列比例式正确的是(D
)A.$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AD}{DC}$
B.$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$
C.$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{ED}{BC}$
D.$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$
答案
1. D
解析
【分析】
解这道题首先要用到相似三角形的性质，核心是先准确确定两个相似三角形的对应角和对应边。首先已知△ABC∽△ADE，且∠B=∠1，再结合两个三角形的公共角∠BAC=∠DAE，就能明确三组对应角，进而找到对应边的比例关系，最后将得到的比例式变形后和各选项逐一比对即可选出正确答案。
【解析】
第一步：确定相似三角形的对应角
∵△ABC∽△ADE，∠B=∠1，且∠BAC=∠DAE（两个三角形的公共角相等）
∴根据三角形内角和为180°，可得剩余一组对应角相等：∠C=∠E
第二步：写出相似三角形对应边的比例式
根据相似三角形对应边成比例的性质，结合对应角的对应关系，可得：
$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{BC}{DE}$
第三步：变形比例式并比对选项
对$\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{BC}{DE}$根据比例的基本性质交叉变形，可得$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$，和选项D一致。
其他选项分析：
A选项中BE、DC不属于两个相似三角形的边，比例式不成立；
B选项中AD对应边为AB，不是AC，比例式错误；
C选项中AE对应边为AC，不是AB，比例式错误。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形对应角相等；相似三角形对应边成比例；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形性质的基础应用，解题的关键是准确识别相似三角形的对应顶点和对应边，避免因对应关系混淆出错，掌握相似三角形的对应规律就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要用到相似三角形的性质，核心是先准确确定两个相似三角形的对应角和对应边。首先已知△ABC∽△ADE，且∠B=∠1，再结合两个三角形的公共角∠BAC=∠DAE，就能明确三组对应角，进而找到对应边的比例关系，最后将得到的比例式变形后和各选项逐一比对即可选出正确答案。
【解析】
第一步：确定相似三角形的对应角
∵△ABC∽△ADE，∠B=∠1，且∠BAC=∠DAE（两个三角形的公共角相等）
∴根据三角形内角和为180°，可得剩余一组对应角相等：∠C=∠E
第二步：写出相似三角形对应边的比例式
根据相似三角形对应边成比例的性质，结合对应角的对应关系，可得：
$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{BC}{DE}$
第三步：变形比例式并比对选项
对$\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{BC}{DE}$根据比例的基本性质交叉变形，可得$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$，和选项D一致。
其他选项分析：
A选项中BE、DC不属于两个相似三角形的边，比例式不成立；
B选项中AD对应边为AB，不是AC，比例式错误；
C选项中AE对应边为AC，不是AB，比例式错误。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形对应角相等；相似三角形对应边成比例；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形性质的基础应用，解题的关键是准确识别相似三角形的对应顶点和对应边，避免因对应关系混淆出错，掌握相似三角形的对应规律就能快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 如图2，$△ ABC ∽ △ ADE$，且$∠ B=∠ D$，$AB=3$，$AD=1.8$，则$△ ADE$与$△ ABC$的相似比为(
A.$5:3$
B.$3:5$
C.$2:3$
D.$3:2$
B
)A.$5:3$
B.$3:5$
C.$2:3$
D.$3:2$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确相似三角形相似比的定义：相似三角形的相似比是两个相似三角形对应边的比值，且比值的顺序和问的两个三角形的顺序一致。首先根据题目给出的相似关系和对应角相等的条件，确定两个三角形的对应边，再按要求的顺序计算比值即可。
【解析】
已知$△ ABC ∽ △ ADE$，且$∠ B=∠ D$，因此可得对应边关系：AD对应AB，AE对应AC，DE对应BC。
题目要求$△ ADE$与$△ ABC$的相似比，即$△ ADE$的对应边与$△ ABC$的对应边的比值，因此相似比为$AD:AB$。
代入数值计算：$AD:AB=1.8:3=\frac{1.8}{3}=\frac{3}{5}=3:5$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的对应关系，相似比的计算
【点评】
本题是相似三角形的基础题，易错点是容易混淆两个三角形的顺序，导致相似比算反。解题时首先要根据相似的对应关系找准对应边，再明确所求相似比的先后顺序，代入数值计算即可避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确相似三角形相似比的定义：相似三角形的相似比是两个相似三角形对应边的比值，且比值的顺序和问的两个三角形的顺序一致。首先根据题目给出的相似关系和对应角相等的条件，确定两个三角形的对应边，再按要求的顺序计算比值即可。
【解析】
已知$△ ABC ∽ △ ADE$，且$∠ B=∠ D$，因此可得对应边关系：AD对应AB，AE对应AC，DE对应BC。
题目要求$△ ADE$与$△ ABC$的相似比，即$△ ADE$的对应边与$△ ABC$的对应边的比值，因此相似比为$AD:AB$。
代入数值计算：$AD:AB=1.8:3=\frac{1.8}{3}=\frac{3}{5}=3:5$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的对应关系，相似比的计算
【点评】
本题是相似三角形的基础题，易错点是容易混淆两个三角形的顺序，导致相似比算反。解题时首先要根据相似的对应关系找准对应边，再明确所求相似比的先后顺序，代入数值计算即可避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图3，若$△ ABC ∽ △ DEF$，则$∠ E$的度数为(
A.$28°$
B.$32°$
C.$42°$
D.$52°$
C
)A.$28°$
B.$32°$
C.$42°$
D.$52°$
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据相似三角形的表示规则，相似符号前后的顶点是一一对应的，因此可确定对应角相等的关系。第一步先利用三角形内角和为180°，计算出△ABC中∠B的度数，第二步再根据相似三角形对应角相等，得出∠E与∠B相等，即可求出∠E的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 110° - 28° = 42°$
$\because △ ABC ∽ △ DEF$，顶点A对应D、B对应E、C对应F
$\therefore ∠ E = ∠ B = 42°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题解题的核心是能根据相似三角形的书写顺序准确找到对应角，再结合三角形内角和进行角度计算，属于基础类题目，重点考查对相似三角形性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先根据相似三角形的表示规则，相似符号前后的顶点是一一对应的，因此可确定对应角相等的关系。第一步先利用三角形内角和为180°，计算出△ABC中∠B的度数，第二步再根据相似三角形对应角相等，得出∠E与∠B相等，即可求出∠E的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 110° - 28° = 42°$
$\because △ ABC ∽ △ DEF$，顶点A对应D、B对应E、C对应F
$\therefore ∠ E = ∠ B = 42°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题解题的核心是能根据相似三角形的书写顺序准确找到对应角，再结合三角形内角和进行角度计算，属于基础类题目，重点考查对相似三角形性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
