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11. 把多项式$3ab^2(x-y)^3 -9ab(x-y)^2$分解因式时，应提取的公因式是 【 】
A.$3ab(x-y)^2$
B.$3ab^2(x-y)$
C.$9ab(x-y)^2$
D.$3ab(x-y)$
A.$3ab(x-y)^2$
B.$3ab^2(x-y)$
C.$9ab(x-y)^2$
D.$3ab(x-y)$
答案
A
解析
【分析】
要确定多项式分解因式时应提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同因式（包括字母和多项式形式的因式），第三步取相同因式的最低次幂，三步的结果相乘就是要提取的公因式。
【解析】
公因式的确定按以下三步进行：
1. 定系数：多项式两项的系数分别为3和-9，它们的最大公约数是3；
2. 定公共因式：两项都含有的因式为字母a、字母b，以及多项式因式$(x-y)$；
3. 定指数：相同因式取最低次幂，其中a的指数都是1，取1；b的指数分别为2和1，取1；$(x-y)$的指数分别为3和2，取2。
将以上结果组合，得到公因式为$3ab(x-y)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法分解因式中公因式的确定，熟练掌握"定系数、定公共因式、定指数"的公因式确定步骤是解题核心，需注意不要误将高次幂作为公因式的指数。
【难度系数】
0.8
要确定多项式分解因式时应提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同因式（包括字母和多项式形式的因式），第三步取相同因式的最低次幂，三步的结果相乘就是要提取的公因式。
【解析】
公因式的确定按以下三步进行：
1. 定系数：多项式两项的系数分别为3和-9，它们的最大公约数是3；
2. 定公共因式：两项都含有的因式为字母a、字母b，以及多项式因式$(x-y)$；
3. 定指数：相同因式取最低次幂，其中a的指数都是1，取1；b的指数分别为2和1，取1；$(x-y)$的指数分别为3和2，取2。
将以上结果组合，得到公因式为$3ab(x-y)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法分解因式中公因式的确定，熟练掌握"定系数、定公共因式、定指数"的公因式确定步骤是解题核心，需注意不要误将高次幂作为公因式的指数。
【难度系数】
0.8
12. 把多项式$x^2y^5 - xy^n z$分解因式时，提取的公因式是$xy^5$，则$n$的值可能为 【 】
A.6
B.4
C.3
D.2
A.6
B.4
C.3
D.2
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要回忆提公因式法中确定公因式的规则：公因式里相同字母的指数，取多项式各项中该字母的最小指数。本题已知提取的公因式是$xy^5$，我们只需对比两项中y的指数即可推出n的取值范围，再匹配选项得到答案。
【解析】
根据提公因式法中公因式的确定规则：对于相同字母，公因式中该字母的指数取各项中该字母的最低次幂。
多项式的两项分别为：$x^2y^5$（y的指数为5）、$xy^n z$（y的指数为n）。
已知提取的公因式中y的指数为5，说明5是y的两个指数中的最小值，因此$n≥5$。
观察选项，只有6满足$n≥5$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题核心考查公因式的确定方法，解题的易错点是混淆公因式指数取最高次还是最低次，牢记“相同字母取最低次幂”的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要回忆提公因式法中确定公因式的规则：公因式里相同字母的指数，取多项式各项中该字母的最小指数。本题已知提取的公因式是$xy^5$，我们只需对比两项中y的指数即可推出n的取值范围，再匹配选项得到答案。
【解析】
根据提公因式法中公因式的确定规则：对于相同字母，公因式中该字母的指数取各项中该字母的最低次幂。
多项式的两项分别为：$x^2y^5$（y的指数为5）、$xy^n z$（y的指数为n）。
已知提取的公因式中y的指数为5，说明5是y的两个指数中的最小值，因此$n≥5$。
观察选项，只有6满足$n≥5$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题核心考查公因式的确定方法，解题的易错点是混淆公因式指数取最高次还是最低次，牢记“相同字母取最低次幂”的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13. 计算$(-2)^{100} + (-2)^{99}$的结果是 【 】
A.$-2^{100}$
B.$-2^{99}$
C.$2^{100}$
D.$2^{99}$
A.$-2^{100}$
B.$-2^{99}$
C.$2^{100}$
D.$2^{99}$
答案
D
解析
【分析】
观察算式可知，两个项的底数均为-2，指数分别为100和99，属于底数相同的幂的加法运算，可通过提公因式法简化计算：第一步先确定公因式，取相同底数、最低次幂，即公因式为$(-2)^{99}$；第二步提取公因式后计算括号内的加法；第三步结合乘方的符号法则化简得到最终结果，对应选项即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}(-2)^{100} + (-2)^{99}&=(-2)^{99}×(-2) + (-2)^{99}×1 \\&=(-2)^{99}×[(-2)+1] \\&=(-2)^{99}×(-1) \\&=-2^{99}×(-1) \\&=2^{99}\end{aligned}$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 有理数乘方运算
【点评】
本题考查幂的加减简便运算，解题核心是准确找出公因式，运算时需注意负数乘方的符号规律，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.7
观察算式可知，两个项的底数均为-2，指数分别为100和99，属于底数相同的幂的加法运算，可通过提公因式法简化计算：第一步先确定公因式，取相同底数、最低次幂，即公因式为$(-2)^{99}$；第二步提取公因式后计算括号内的加法；第三步结合乘方的符号法则化简得到最终结果，对应选项即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}(-2)^{100} + (-2)^{99}&=(-2)^{99}×(-2) + (-2)^{99}×1 \\&=(-2)^{99}×[(-2)+1] \\&=(-2)^{99}×(-1) \\&=-2^{99}×(-1) \\&=2^{99}\end{aligned}$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 有理数乘方运算
【点评】
本题考查幂的加减简便运算，解题核心是准确找出公因式，运算时需注意负数乘方的符号规律，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.7
14. 已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，则代数式$a^2 - ac - b(a - c)$的值为
-5
。答案
14. -5
解析
【分析】
本题已知两个关于a、b、c的差的等式，无法直接求出a、b、c的具体值，因此考虑先对所求代数式进行因式分解，再结合已知条件计算出所需的整体值，最后代入计算即可。解题步骤可分为三步：1. 利用已知的两个等式求出a-c的值；2. 用提公因式法对代数式化简；3. 将已知的a-b和求出的a-c整体代入化简后的式子计算结果。
【解析】
第一步：计算$a-c$的值
已知$a-b=5$，$b-c=-6$，将两式相加可得：
$(a-b)+(b-c)=5+(-6)$
化简得：$a-c=-1$
第二步：对代数式$a^2 - ac - b(a - c)$因式分解
先对前两项提公因式$a$，可得：
$a^2 - ac - b(a - c)=a(a - c) - b(a - c)$
再提公因式$(a - c)$，可得：
$a(a - c) - b(a - c)=(a - c)(a - b)$
第三步：整体代入求值
将$a-c=-1$，$a-b=5$代入$(a - c)(a - b)$得：
$(-1)×5=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是因式分解的典型应用类题目，解题的核心是通过提公因式法将原式变形为含已知等式的形式，利用整体代入的方法简化计算，无需单独求解每个字母的取值，降低了计算量。
【难度系数】
0.7
本题已知两个关于a、b、c的差的等式，无法直接求出a、b、c的具体值，因此考虑先对所求代数式进行因式分解，再结合已知条件计算出所需的整体值，最后代入计算即可。解题步骤可分为三步：1. 利用已知的两个等式求出a-c的值；2. 用提公因式法对代数式化简；3. 将已知的a-b和求出的a-c整体代入化简后的式子计算结果。
【解析】
第一步：计算$a-c$的值
已知$a-b=5$，$b-c=-6$，将两式相加可得：
$(a-b)+(b-c)=5+(-6)$
化简得：$a-c=-1$
第二步：对代数式$a^2 - ac - b(a - c)$因式分解
先对前两项提公因式$a$，可得：
$a^2 - ac - b(a - c)=a(a - c) - b(a - c)$
再提公因式$(a - c)$，可得：
$a(a - c) - b(a - c)=(a - c)(a - b)$
第三步：整体代入求值
将$a-c=-1$，$a-b=5$代入$(a - c)(a - b)$得：
$(-1)×5=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是因式分解的典型应用类题目，解题的核心是通过提公因式法将原式变形为含已知等式的形式，利用整体代入的方法简化计算，无需单独求解每个字母的取值，降低了计算量。
【难度系数】
0.7
15. 把多项式$(a - 3)^2 - (2a - 6)$分解因式的结果是
$(a-3)(a-5)$
。答案
15. $(a-3)(a-5)$
解析
【分析】
首先观察多项式的两项，发现第二项$2a - 6$可以提取公因数2变形为$2(a - 3)$，此时原式两项均含有公因式$(a - 3)$，接下来利用提公因式法，将公因式$(a - 3)$提取出来，再对剩余的部分进行化简合并，即可得到因式分解的结果。
【解析】
第一步：对原式第二项变形：
$2a - 6 = 2(a - 3)$
则原式可写为：
$(a - 3)^2 - 2(a - 3)$
第二步：提取公因式$(a - 3)$：
原式$=(a - 3)[(a - 3) - 2]$
第三步：化简括号内的代数式：
$(a - 3) - 2 = a - 3 - 2 = a - 5$
因此分解结果为$(a - 3)(a - 5)$
【答案】
$(a-3)(a-5)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的识别
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是通过代数式变形找到隐藏的公因式，提取公因式后要注意对剩余项正确化简，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
首先观察多项式的两项，发现第二项$2a - 6$可以提取公因数2变形为$2(a - 3)$，此时原式两项均含有公因式$(a - 3)$，接下来利用提公因式法，将公因式$(a - 3)$提取出来，再对剩余的部分进行化简合并，即可得到因式分解的结果。
【解析】
第一步：对原式第二项变形：
$2a - 6 = 2(a - 3)$
则原式可写为：
$(a - 3)^2 - 2(a - 3)$
第二步：提取公因式$(a - 3)$：
原式$=(a - 3)[(a - 3) - 2]$
第三步：化简括号内的代数式：
$(a - 3) - 2 = a - 3 - 2 = a - 5$
因此分解结果为$(a - 3)(a - 5)$
【答案】
$(a-3)(a-5)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的识别
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是通过代数式变形找到隐藏的公因式，提取公因式后要注意对剩余项正确化简，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
16. 分解因式：
(1) $-4x^3 + 16x^2 - 26x$；
(2) $15xy + 10x^2 - 5x$；
(3) $(2a + b)(3a - 2b) - 4a(2a + b)$；
(4) $(x + 1)(x + 3) - 3$。
(1) $-4x^3 + 16x^2 - 26x$；
(2) $15xy + 10x^2 - 5x$；
(3) $(2a + b)(3a - 2b) - 4a(2a + b)$；
(4) $(x + 1)(x + 3) - 3$。
答案
(1) $-2x(2x^2 - 8x + 13)$ (2) $5x(3y + 2x - 1)$ (3) $-(2a + b)(a + 2b)$ (4) $x(x + 4)$
解析
【分析】
这组分解因式的题目核心是运用提公因式法求解，解题思路如下：①先观察式子是否有公因式：公因式的确定方法为“先找系数的最大公约数，再找相同字母（或多项式因式）的最低次幂”，若多项式首项为负，优先提取负号；②提取公因式后，用原式每一项除以公因式得到剩余的因式，合并同类项化简；③若原式是多项式乘积的形式且没有公共的多项式因式，先利用整式乘法展开、合并同类项后，再找公因式分解。
(1)题首项系数为负，公因式为-2x，提取后化简剩余项即可；(2)题公因式为5x，直接提取化简；(3)题两项含有公共多项式因式$(2a+b)$，提取后合并剩余的整式再整理符号；(4)题无公因式，先展开乘积项、合并同类项后再提取公因式。
【解析】
(1) 原式提取公因式$-2x$：
$\begin{aligned}-4x^3 + 16x^2 - 26x&= -2x · 2x^2 + (-2x) · (-8x) + (-2x) · 13 \\&= -2x(2x^2 - 8x + 13)\end{aligned}$
(2) 原式提取公因式$5x$：
$\begin{aligned}15xy + 10x^2 - 5x&= 5x · 3y + 5x · 2x + 5x · (-1) \\&= 5x(3y + 2x - 1)\end{aligned}$
(3) 原式提取公因式$(2a+b)$：
$\begin{aligned}(2a + b)(3a - 2b) - 4a(2a + b)&= (2a + b)[(3a - 2b) - 4a] \\&=(2a + b)(-a - 2b) \\&= -(2a + b)(a + 2b)\end{aligned}$
(4) 先利用多项式乘多项式展开原式：
$\begin{aligned}(x + 1)(x + 3) - 3 &= x^2 + 3x + x + 3 - 3 \\&=x^2 + 4x \\&=x(x + 4)\end{aligned}$
【答案】
(1) $-2x(2x^2 - 8x + 13)$；(2) $5x(3y + 2x - 1)$；(3) $-(2a + b)(a + 2b)$；(4) $x(x + 4)$
【知识点】
提公因式法分解因式；整式乘法运算；合并同类项
【点评】
本题是分解因式的基础题型，重点考查提公因式法的使用规则，解题时需先观察式子结构，优先提取公因式，注意公因式可以是单项式也可以是多项式，对于含有乘积项的式子必要时先展开化简再分解，分解结果要保证最简。
【难度系数】
0.8
这组分解因式的题目核心是运用提公因式法求解，解题思路如下：①先观察式子是否有公因式：公因式的确定方法为“先找系数的最大公约数，再找相同字母（或多项式因式）的最低次幂”，若多项式首项为负，优先提取负号；②提取公因式后，用原式每一项除以公因式得到剩余的因式，合并同类项化简；③若原式是多项式乘积的形式且没有公共的多项式因式，先利用整式乘法展开、合并同类项后，再找公因式分解。
(1)题首项系数为负，公因式为-2x，提取后化简剩余项即可；(2)题公因式为5x，直接提取化简；(3)题两项含有公共多项式因式$(2a+b)$，提取后合并剩余的整式再整理符号；(4)题无公因式，先展开乘积项、合并同类项后再提取公因式。
【解析】
(1) 原式提取公因式$-2x$：
$\begin{aligned}-4x^3 + 16x^2 - 26x&= -2x · 2x^2 + (-2x) · (-8x) + (-2x) · 13 \\&= -2x(2x^2 - 8x + 13)\end{aligned}$
(2) 原式提取公因式$5x$：
$\begin{aligned}15xy + 10x^2 - 5x&= 5x · 3y + 5x · 2x + 5x · (-1) \\&= 5x(3y + 2x - 1)\end{aligned}$
(3) 原式提取公因式$(2a+b)$：
$\begin{aligned}(2a + b)(3a - 2b) - 4a(2a + b)&= (2a + b)[(3a - 2b) - 4a] \\&=(2a + b)(-a - 2b) \\&= -(2a + b)(a + 2b)\end{aligned}$
(4) 先利用多项式乘多项式展开原式：
$\begin{aligned}(x + 1)(x + 3) - 3 &= x^2 + 3x + x + 3 - 3 \\&=x^2 + 4x \\&=x(x + 4)\end{aligned}$
【答案】
(1) $-2x(2x^2 - 8x + 13)$；(2) $5x(3y + 2x - 1)$；(3) $-(2a + b)(a + 2b)$；(4) $x(x + 4)$
【知识点】
提公因式法分解因式；整式乘法运算；合并同类项
【点评】
本题是分解因式的基础题型，重点考查提公因式法的使用规则，解题时需先观察式子结构，优先提取公因式，注意公因式可以是单项式也可以是多项式，对于含有乘积项的式子必要时先展开化简再分解，分解结果要保证最简。
【难度系数】
0.8
