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17. 已知$x+2y-3z=-\dfrac{1}{3},xyz=2$,求$\dfrac{3}{2}x^2yz+3xy^2z-\dfrac{9}{2}xyz^2$的值.
答案
原式$=\dfrac{3}{2}xyz(x+2y-3z)=-1$
解析
【分析】
观察待求代数式的结构，发现各项都含有公因式$\dfrac{3}{2}xyz$，而已知条件刚好给出了$xyz$和$x+2y-3z$的值，因此可以先通过提公因式法对待求式因式分解，将其转化为含有已知式子的形式，再整体代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
对所求代数式提取公因式$\dfrac{3}{2}xyz$：
$\begin{aligned}\dfrac{3}{2}x^2yz+3xy^2z-\dfrac{9}{2}xyz^2&=\dfrac{3}{2}xyz· x + \dfrac{3}{2}xyz· 2y + \dfrac{3}{2}xyz· (-3z)\\&=\dfrac{3}{2}xyz(x+2y-3z)\end{aligned}$
将$x+2y-3z=-\dfrac{1}{3}$，$xyz=2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{3}{2}×2×(-\dfrac{1}{3})\\&=3×(-\dfrac{1}{3})\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题核心是利用提公因式法变形待求式，结合整体代入思想计算，避免了单独求解未知数的繁琐，能很好地考察因式分解的应用能力和整体代入的数学思维。
【难度系数】
0.8
观察待求代数式的结构，发现各项都含有公因式$\dfrac{3}{2}xyz$，而已知条件刚好给出了$xyz$和$x+2y-3z$的值，因此可以先通过提公因式法对待求式因式分解，将其转化为含有已知式子的形式，再整体代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
对所求代数式提取公因式$\dfrac{3}{2}xyz$：
$\begin{aligned}\dfrac{3}{2}x^2yz+3xy^2z-\dfrac{9}{2}xyz^2&=\dfrac{3}{2}xyz· x + \dfrac{3}{2}xyz· 2y + \dfrac{3}{2}xyz· (-3z)\\&=\dfrac{3}{2}xyz(x+2y-3z)\end{aligned}$
将$x+2y-3z=-\dfrac{1}{3}$，$xyz=2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{3}{2}×2×(-\dfrac{1}{3})\\&=3×(-\dfrac{1}{3})\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题核心是利用提公因式法变形待求式，结合整体代入思想计算，避免了单独求解未知数的繁琐，能很好地考察因式分解的应用能力和整体代入的数学思维。
【难度系数】
0.8
18. 已知关于 $ x $ 的多项式 $ 3x^2 + x + m $ 因式分解后有一个因式为 $ (3x - 2) $.
（1）求 $ m $ 的值；
（2）把该多项式因式分解.
（1）求 $ m $ 的值；
（2）把该多项式因式分解.
答案
(1) -2 (2) $(3x - 2)(x + 1)$
解析
【分析】
（1）根据因式的性质：若多项式含有因式$(ax+b)$，则当$ax+b=0$时，该多项式的值为0。先求解$3x-2=0$得到$x$的值，代入多项式即可得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
（2）将求出的$m$代入原多项式，用十字相乘法对二次三项式进行因式分解即可。
【解析】
（1）解：$\because$ 多项式$3x^2 + x + m$因式分解后有一个因式为$(3x - 2)$
$\therefore$ 当$3x - 2 = 0$，即$x = \frac{2}{3}$时，$3x^2 + x + m = 0$
将$x = \frac{2}{3}$代入多项式得：
$3×(\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} + m = 0$
计算得：$\frac{4}{3} + \frac{2}{3} + m = 0$
化简得 $2 + m = 0$
解得 $m = -2$
（2）解：将$m = -2$代入多项式得$3x^2 + x - 2$，用十字相乘法分解：
二次项系数$3$拆为$3×1$，常数项$-2$拆为$(-2)×1$，交叉相乘相加得$3×1 + 1×(-2)=1$，与一次项系数相等，因此：
$3x^2 + x - 2 = (3x - 2)(x + 1)$
【答案】
（1）$\boldsymbol{-2}$
（2）$\boldsymbol{(3x - 2)(x + 1)}$
【知识点】
因式的性质；多项式求值；十字相乘法因式分解
【点评】
本题是因式分解章节的典型常考题，解题核心是利用因式对应的方程根与多项式的关系求解未知参数，再对多项式进行分解，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
（1）根据因式的性质：若多项式含有因式$(ax+b)$，则当$ax+b=0$时，该多项式的值为0。先求解$3x-2=0$得到$x$的值，代入多项式即可得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
（2）将求出的$m$代入原多项式，用十字相乘法对二次三项式进行因式分解即可。
【解析】
（1）解：$\because$ 多项式$3x^2 + x + m$因式分解后有一个因式为$(3x - 2)$
$\therefore$ 当$3x - 2 = 0$，即$x = \frac{2}{3}$时，$3x^2 + x + m = 0$
将$x = \frac{2}{3}$代入多项式得：
$3×(\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} + m = 0$
计算得：$\frac{4}{3} + \frac{2}{3} + m = 0$
化简得 $2 + m = 0$
解得 $m = -2$
（2）解：将$m = -2$代入多项式得$3x^2 + x - 2$，用十字相乘法分解：
二次项系数$3$拆为$3×1$，常数项$-2$拆为$(-2)×1$，交叉相乘相加得$3×1 + 1×(-2)=1$，与一次项系数相等，因此：
$3x^2 + x - 2 = (3x - 2)(x + 1)$
【答案】
（1）$\boldsymbol{-2}$
（2）$\boldsymbol{(3x - 2)(x + 1)}$
【知识点】
因式的性质；多项式求值；十字相乘法因式分解
【点评】
本题是因式分解章节的典型常考题，解题核心是利用因式对应的方程根与多项式的关系求解未知参数，再对多项式进行分解，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
1. 下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是 【 】
A.$x^2 + 4y^2$
B.$-\dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{9}y^2$
C.$-\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{9}y^2$
D.$3x^2 - 4y$
A.$x^2 + 4y^2$
B.$-\dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{9}y^2$
C.$-\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{9}y^2$
D.$3x^2 - 4y$
答案
C
解析
【分析】
首先明确能用平方差公式进行因式分解的式子需要满足三个核心特征：①式子共两项；②两项都可以写成某个整式的平方形式；③两项符号相反，整体为“平方减平方”的结构。接下来逐一比对每个选项是否符合以上特征，即可快速选出正确答案。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，即待分解的式子需为两个整式的平方差结构。
逐一分析选项：
A. $x^2 + 4y^2$：两项符号相同，属于平方和，不符合平方差结构，排除；
B. $-\dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{9}y^2 = -(\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{9}y^2)$：括号内为平方和，两项符号相同，不符合，排除；
C. $-\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{9}y^2 = (\dfrac{1}{3}y)^2 - (\dfrac{1}{2}x)^2$：符合两个整式的平方差结构，可以用平方差公式分解，当选；
D. $3x^2 - 4y$：第二项$4y$不是某个整式的平方形式，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查平方差公式因式分解的适用条件，解题关键是牢记平方差公式的结构特点，属于基础概念考查类题目。
【难度系数】
0.85
首先明确能用平方差公式进行因式分解的式子需要满足三个核心特征：①式子共两项；②两项都可以写成某个整式的平方形式；③两项符号相反，整体为“平方减平方”的结构。接下来逐一比对每个选项是否符合以上特征，即可快速选出正确答案。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，即待分解的式子需为两个整式的平方差结构。
逐一分析选项：
A. $x^2 + 4y^2$：两项符号相同，属于平方和，不符合平方差结构，排除；
B. $-\dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{9}y^2 = -(\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{9}y^2)$：括号内为平方和，两项符号相同，不符合，排除；
C. $-\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{9}y^2 = (\dfrac{1}{3}y)^2 - (\dfrac{1}{2}x)^2$：符合两个整式的平方差结构，可以用平方差公式分解，当选；
D. $3x^2 - 4y$：第二项$4y$不是某个整式的平方形式，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查平方差公式因式分解的适用条件，解题关键是牢记平方差公式的结构特点，属于基础概念考查类题目。
【难度系数】
0.85
