1. 计算$(-3a^2)^3$的结果是 【 】

A.$-9a^5$
B.$9a^5$
C.$-27a^6$
D.$27a^6$

C

【分析】
解题时首先回忆积的乘方、幂的乘方的运算法则，本题需分两步计算：第一步先将积的两个因式-3和a²分别进行三次方运算，第二步将两个运算结果相乘。计算时要注意负数奇次幂的符号为负，幂的乘方运算是底数不变、指数相乘，不要混淆为指数相加，避免选错答案。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n· b^n$（$n$为正整数），可得：
$(-3a^2)^3=(-3)^3· (a^2)^3$
先计算常数项的乘方：$(-3)^3=-27$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{m· n}$（$m$、$n$为正整数），可得：$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$
将两部分结果相乘得：$(-3a^2)^3=-27a^6$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于整式乘方的基础运算题，解题核心是熟练掌握乘方相关的运算法则，运算时要格外注意负数乘方的符号判断以及指数的运算规则，避免出现符号错误、指数运算混淆等常见失误。
【难度系数】
0.8

2. 计算：$(-\dfrac{2}{3}xy^2)^3 =$ 【 】

A.$-\dfrac{8}{27}x^3y^6$
B.$-\dfrac{4}{27}x^3y^6$
C.$-\dfrac{8}{9}x^3y^5$
D.$\dfrac{4}{9}x^3y^5$

A

【分析】
本题考查积的乘方与幂的乘方的运算，解题思路如下：首先回忆积的乘方运算法则：积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同时结合幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算含字母指数的项，还要注意负数的奇数次幂结果为负，依次计算各因式的乘方结果后相乘即可得到最终答案。
【解析】
根据积的乘方运算法则展开计算：
$\begin{aligned}(-\dfrac{2}{3}xy^2)^3&=(-\dfrac{2}{3})^3· x^3· (y^2)^3\\&=\dfrac{(-2)^3}{3^3}· x^3· y^{2×3}\\&=-\dfrac{8}{27}x^3y^6\end{aligned}$
对比选项可知结果对应A选项。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查乘方相关运算法则的应用，解题时需特别注意负数乘方的符号判断，以及幂的乘方中指数是相乘而非相加，避免出现系数乘方、指数运算的低级错误。
【难度系数】
0.8

3. 下列计算中，正确的是 【 】

A.$(-a)^2 = -a^2$
B.$(-a)^3 = -a^3$
C.$(ab^2)^2 = ab^4$
D.$(-a^2)(-a)^2 = a^4$

B

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路为：逐一验证每个选项的运算是否正确，分别运用乘方的符号规律、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算各选项的结果，将计算结果与选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据乘方的意义，$(-a)^2=(-a)×(-a)=a^2≠ -a^2$，故A错误；
B选项：根据乘方的意义，$(-a)^3=(-a)×(-a)×(-a)=-a^3$，故B正确；
C选项：根据积的乘方法则，$(ab^2)^2=a^2· (b^2)^2=a^2b^4≠ ab^4$，积的乘方需要将每个因式分别乘方，此处漏掉了$a$的乘方，故C错误；
D选项：先计算$(-a)^2=a^2$，再计算乘法：$(-a^2)·(-a)^2=(-a^2)· a^2=-a^{2+2}=-a^4≠ a^4$，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
乘方的符号法则；积的乘方运算；同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查对幂的各类运算法则的掌握熟练度，解题时需格外注意运算中的符号判断，以及积的乘方运算中不要漏乘某个因式的乘方，熟练掌握基础法则是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8

4. 下列计算中,正确的是
【 】

A.$(a^3)^3 = a^9$
B.$(2a)^3 = 6a^3$
C.$(-a^3)^2 = -a^6$
D.$(-a^2)^3 = a^6$

A

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题需结合幂的乘方法则、积的乘方法则以及负数乘方的符号规律，逐一验证每个选项的运算正确性即可。核心用到三个规律：①幂的乘方：底数不变，指数相乘；②积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；③负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据幂的乘方法则，$(a^3)^3 = a^{3×3}=a^9$，运算正确；
B. 根据积的乘方法则，$(2a)^3=2^3· a^3=8a^3≠6a^3$，运算错误；
C. 先处理符号再计算幂的乘方：$(-a^3)^2=(-1)^2·(a^3)^2=1× a^{3×2}=a^6≠ -a^6$，运算错误；
D. 同理：$(-a^2)^3=(-1)^3·(a^2)^3=-1× a^{2×3}=-a^6≠ a^6$，运算错误。
综上，只有A选项运算正确。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算、乘方符号判定
【点评】
本题是幂运算的基础常规题型，主要考查对幂的相关运算法则的掌握程度，做题时要格外注意不要遗漏对系数、负号的乘方运算，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8

5. 有下列计算：①$(3x^3)^2 = 6x^6$；②$(-5a^5b^5)^2 = -25a^{10}b^{10}$；③$(-\dfrac{2}{3}x)^3 = -\dfrac{8}{3}x^3$；④$(3x^2y^3)^4 = 81x^6y^7$。其中，错误的有 【 】

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

D

【分析】
本题考查积的乘方与幂的乘方的运算法则，解题时需先回忆运算法则：积的乘方，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同时注意负数的偶次幂为正，奇次幂为负。我们只需逐个验证4个计算式是否符合法则，统计错误的个数即可选出答案。
【解析】
我们根据积的乘方、幂的乘方法则逐个判断：
①计算$(3x^3)^2$：先算系数$3^2=9$，再算幂的乘方$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，因此正确结果为$9x^6$，原式计算错误；
②计算$(-5a^5b^5)^2$：负数的偶次幂为正，$(-5)^2=25$，再算幂的乘方$(a^5)^2=a^{10}$，$(b^5)^2=b^{10}$，因此正确结果为$25a^{10}b^{10}$，原式符号错误，计算错误；
③计算$(-\dfrac{2}{3}x)^3$：负数的奇次幂为负，$(-\dfrac{2}{3})^3=-\dfrac{8}{27}$，$x^3$不变，因此正确结果为$-\dfrac{8}{27}x^3$，原式系数乘方计算错误；
④计算$(3x^2y^3)^4$：$3^4=81$，$(x^2)^4=x^{2×4}=x^8$，$(y^3)^4=y^{3×4}=y^{12}$，因此正确结果为$81x^8y^{12}$，原式指数运算错误。
综上，①②③④共4个计算全部错误。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；乘方符号判定
【点评】
本题属于整式乘方的基础考查题，解题核心是熟练掌握乘方运算法则，做题时要注意不要漏乘系数的乘方，也不要混淆幂的乘方（指数相乘）和同底数幂相乘（指数相加）的运算规则，同时要格外注意负数乘方的符号判断。
【难度系数】
0.6

6. 计算:(1) $(-2a^2b^2)^3=$ ；(2) $(-2a^2b^3c)^4=$ 。

6. (1) $-8a^6b^6$ (2) $16a^8b^{12}c^4$

【分析】
解题需应用积的乘方和幂的乘方运算法则：首先根据积的乘方法则，把积中的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；幂的乘方运算时底数不变，指数相乘；同时注意负数的奇次幂为负，偶次幂为正。第(1)问是奇数次乘方，先确定符号为负，再分别计算各因式的乘方结果后相乘；第(2)问是偶数次乘方，先确定符号为正，再依次计算各因式的乘方结果后相乘。
【解析】
(1) 计算$(-2a^2b^2)^3$：
根据积的乘方法则，将各因式分别乘方得：
原式$=(-2)^3 · (a^2)^3 · (b^2)^3$
分别计算各项：
$(-2)^3=-8$，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$，$(b^2)^3=b^{2×3}=b^6$
相乘得结果：$-8a^6b^6$
(2) 计算$(-2a^2b^3c)^4$：
根据积的乘方法则，将各因式分别乘方得：
原式$=(-2)^4 · (a^2)^4 · (b^3)^4 · c^4$
分别计算各项：
$(-2)^4=16$，$(a^2)^4=a^{2×4}=a^8$，$(b^3)^4=b^{3×4}=b^{12}$，$c^4=c^4$
相乘得结果：$16a^8b^{12}c^4$
【答案】
(1) $-8a^6b^6$ (2) $16a^8b^{12}c^4$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，乘方符号判断
【点评】
本题属于整式运算的基础题，核心考查积的乘方、幂的乘方的运算法则，解题的易错点是忽略负数乘方的符号判断以及指数运算错误，熟练掌握相关运算法则即可快速准确解答。
【难度系数】
0.8

7. 若$x^n = 3$，$y^n = 7$，则$(xy)^n = $，$(x^2 y^3)^n = $。

7. 21 3087

【分析】
解题时需先回忆幂的相关运算性质：①积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n=a^n b^n$；②幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$。第一空求$(xy)^n$，可直接套用积的乘方公式拆分后代入已知条件计算；第二空求$(x^2 y^3)^n$，先利用积的乘方拆分式子，再用幂的乘方将式子变形为含$x^n$、$y^n$的形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
1. 计算$(xy)^n$：
根据积的乘方运算性质可得：$\displaystyle (xy)^n = x^n · y^n$
将$x^n=3$，$y^n=7$代入得：$\displaystyle 3×7=21$
2. 计算$(x^2 y^3)^n$：
根据积的乘方运算性质拆分得：$\displaystyle (x^2 y^3)^n = (x^2)^n · (y^3)^n$
再根据幂的乘方运算性质变形得：$\displaystyle (x^2)^n · (y^3)^n = x^{2n} · y^{3n} = (x^n)^2 · (y^n)^3$
将$x^n=3$，$y^n=7$代入得：
$\displaystyle 3^2 × 7^3 = 9 × 343 = 3087$
【答案】
21；3087
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查幂的运算性质的灵活运用，解题的关键是熟记运算公式，能将所求式子合理变形为可代入已知条件的形式，计算时注意指数运算不要出错。
【难度系数】
0.9

8. (1)若$(5m)^2=100$,则$m=$；(2)()$^n=3^n a^{2n}b^n$.

8. (1) $\pm2$ (2) $3a^2b$

【分析】
(1) 解题思路：已知式子$(5m)$的平方等于100，根据平方根的定义，平方等于100的数为$\pm10$，由此可得到关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值；也可先通过积的乘方展开左边的式子，再求解$m^2$的值后开平方得到结果。
(2) 解题思路：本题考查积的乘方的逆用，积的乘方法则为$(ab)^n=a^n b^n$，反过来，多个指数均为$n$的乘方相乘时，可将各底数相乘后整体取$n$次方，因此把右侧各项转化为指数为$n$的乘方形式，合并底数即可得到答案。
【解析】
(1) 对等式$(5m)^2=100$两边同时开平方，可得：
$5m=\pm\sqrt{100}=\pm10$
等式两边同时除以5，解得：
$m=\pm\frac{10}{5}=\pm2$
(2) 根据幂的乘方法则可得$a^{2n}=(a^2)^n$，因此：
$3^n a^{2n}b^n=3^n· (a^2)^n· b^n$
根据积的乘方的逆运算，上式可整理为：
$3^n· (a^2)^n· b^n=(3a^2b)^n$
因此括号内应填$3a^2b$。
【答案】
(1) $\pm2$；(2) $3a^2b$
【知识点】
平方根运算；积的乘方的逆运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对平方根定义和幂的运算法则的掌握程度，熟练掌握相关公式的正用和逆用是解题的关键。
【难度系数】
0.8

9. 若$7^8 × (-\frac{1}{7})^9 = a$，则$a + 1 = \_\_\_\_\_\_$。

$\dfrac{6}{7}$

【分析】
解题时先观察算式结构，发现两个幂的底数互为倒数，指数接近，因此可利用积的乘方的逆运算简化计算：第一步先把指数较高的$(-\frac{1}{7})^9$拆成$(-\frac{1}{7})^8×(-\frac{1}{7})$，让两个幂的指数统一为8；第二步逆用积的乘方公式$a^n b^n=(ab)^n$计算同指数幂的乘积，求出$a$的值；最后计算$a+1$的结果即可。
【解析】
先计算$a$的值：
$\begin{aligned}a&=7^8×(-\frac{1}{7})^9\\&=7^8×(-\frac{1}{7})^8×(-\frac{1}{7})\\&=[7×(-\frac{1}{7})]^8×(-\frac{1}{7})\\&=(-1)^8×(-\frac{1}{7})\\&=1×(-\frac{1}{7})\\&=-\frac{1}{7}\end{aligned}$
再计算$a+1$：
$a+1=-\frac{1}{7}+1=\frac{6}{7}$
【答案】
$\dfrac{6}{7}$
【知识点】
积的乘方逆用，乘方运算，有理数加法
【点评】
本题主要考查幂的相关运算的灵活运用，解题核心是通过拆分高次幂构造同指数幂，再利用积的乘方的逆运算简化计算过程，避免直接计算高次幂的繁琐，熟练掌握幂的运算法则是快速解题的基础。
【难度系数】
0.8

10. 计算：
(1) $(-5a^2b)^3$；
(2) $-(3x^3y^2z)^2$；
(3) $(3x^2y^{2n})^2$；
(4) $a^2 · (2a^3)^4 - 3a^5 · a^9$。

(1) $-125a^6b^3$ (2) $-9x^6y^4z^2$ (3) $9x^4y^{4n}$ (4) $13a^{14}$

【分析】
解决这类幂的运算问题，需牢记运算法则和运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有同类项要合并同类项。核心运算法则包括：1.积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；2.幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；3.同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加。解题时注意区分负号的位置：负号在括号内时要参与乘方，在括号外时乘方结果保留负号；遇到指数含字母的情况，按乘法法则计算指数即可。
【解析】
(1) 按照积的乘方法则拆分计算：
$(-5a^2b)^3=(-5)^3·(a^2)^3· b^3=-125· a^{2×3}· b^3=-125a^6b^3$
(2) 先计算括号内的积的乘方，再保留外层负号：
$-(3x^3y^2z)^2=-[3^2·(x^3)^2·(y^2)^2· z^2]=-(9x^6y^4z^2)=-9x^6y^4z^2$
(3) 含字母指数的幂按幂的乘方法则计算：
$(3x^2y^{2n})^2=3^2·(x^2)^2·(y^{2n})^2=9· x^4· y^{2n×2}=9x^4y^{4n}$
(4) 按照先乘方、再乘法、最后合并同类项的顺序计算：
第一步：算乘方：$(2a^3)^4=2^4·(a^3)^4=16a^{12}$
第二步：算乘法：$a^2·16a^{12}=16a^{2+12}=16a^{14}$，$3a^5· a^9=3a^{5+9}=3a^{14}$
第三步：合并同类项：$16a^{14}-3a^{14}=13a^{14}$
【答案】
(1) $-125a^6b^3$；(2) $-9x^6y^4z^2$；(3) $9x^4y^{4n}$；(4) $13a^{14}$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂的运算基础题，核心考查各类幂运算法则的应用和整式混合运算的顺序，解题时要特别注意符号的判定、指数的计算，避免出现指数相加和相乘混淆的错误。
【难度系数】
0.8