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16. 计算：
(1) $m · (m^3)^6$；
(2) $(x^4)^2 · (x^3)^3$；
(3) $(a^{2m})^3 · (a^4)^m$；
(4) $2(x^3)^4 + x^4(x^4)^2 + x^5 · x^7 + x^6(x^3)^2$。
(1) $m · (m^3)^6$；
(2) $(x^4)^2 · (x^3)^3$；
(3) $(a^{2m})^3 · (a^4)^m$；
(4) $2(x^3)^4 + x^4(x^4)^2 + x^5 · x^7 + x^6(x^3)^2$。
答案
(1) $m^{19}$ (2) $x^{17}$ (3) $a^{10m}$ (4) $5x^{12}$
解析
【分析】
这几道题均属于幂的运算类基础计算题，解题时遵循“先乘方、再乘法、最后合并同类项”的顺序运算顺序思考即可：
第一步先回忆核心法则：①幂的乘方：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）；②同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数）；③合并同类项时，同类项系数相加，字母和指数不变。每道小题按上述顺序逐步计算即可，注意不要混淆两种幂运算的指数规则。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法：
原式$=m·m^{3×6}=m·m^{18}=m^{1+18}=m^{19}$
(2) 先分别计算两个幂的乘方，再计算同底数幂乘法：
原式$=x^{4×2}·x^{3×3}=x^8·x^9=x^{8+9}=x^{17}$
(3) 先分别计算两个幂的乘方，再计算同底数幂乘法：
原式$=a^{2m×3}·a^{4×m}=a^{6m}·a^{4m}=a^{6m+4m}=a^{10m}$
(4) 先分别计算每一项的幂乘方、同底数幂乘法，再合并同类项：
第一项：$2(x^3)^4=2x^{3×4}=2x^{12}$
第二项：$x^4(x^4)^2=x^4·x^{4×2}=x^4·x^8=x^{12}$
第三项：$x^5·x^7=x^{5+7}=x^{12}$
第四项：$x^6(x^3)^2=x^6·x^{3×2}=x^6·x^6=x^{12}$
合并得：原式$=2x^{12}+x^{12}+x^{12}+x^{12}=5x^{12}$
【答案】
(1) $m^{19}$ (2) $x^{17}$ (3) $a^{10m}$ (4) $5x^{12}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题是幂运算的常规基础题型，核心考查对幂的运算法则的识记与应用能力，解题时需注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免混淆出错。
【难度系数】
0.85
这几道题均属于幂的运算类基础计算题，解题时遵循“先乘方、再乘法、最后合并同类项”的顺序运算顺序思考即可：
第一步先回忆核心法则：①幂的乘方：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）；②同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数）；③合并同类项时，同类项系数相加，字母和指数不变。每道小题按上述顺序逐步计算即可，注意不要混淆两种幂运算的指数规则。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法：
原式$=m·m^{3×6}=m·m^{18}=m^{1+18}=m^{19}$
(2) 先分别计算两个幂的乘方，再计算同底数幂乘法：
原式$=x^{4×2}·x^{3×3}=x^8·x^9=x^{8+9}=x^{17}$
(3) 先分别计算两个幂的乘方，再计算同底数幂乘法：
原式$=a^{2m×3}·a^{4×m}=a^{6m}·a^{4m}=a^{6m+4m}=a^{10m}$
(4) 先分别计算每一项的幂乘方、同底数幂乘法，再合并同类项：
第一项：$2(x^3)^4=2x^{3×4}=2x^{12}$
第二项：$x^4(x^4)^2=x^4·x^{4×2}=x^4·x^8=x^{12}$
第三项：$x^5·x^7=x^{5+7}=x^{12}$
第四项：$x^6(x^3)^2=x^6·x^{3×2}=x^6·x^6=x^{12}$
合并得：原式$=2x^{12}+x^{12}+x^{12}+x^{12}=5x^{12}$
【答案】
(1) $m^{19}$ (2) $x^{17}$ (3) $a^{10m}$ (4) $5x^{12}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题是幂运算的常规基础题型，核心考查对幂的运算法则的识记与应用能力，解题时需注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免混淆出错。
【难度系数】
0.85
17. 若$2x+5y-3=0$，求$4^x · 32^y$的值.
答案
17. 8
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的底数4和32，二者都可以转化为以2为底的幂，因此先利用幂的乘方法则将两个因式转化为同底数幂，再根据同底数幂的乘法法则合并，此时得到的指数恰好是已知等式变形后得到的2x+5y的值，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because 2x+5y-3=0$
$\therefore 2x+5y=3$
$\therefore 4^x · 32^y$
$=(2^2)^x · (2^5)^y$
$=2^{2x} · 2^{5y}$
$=2^{2x+5y}$
$=2^3$
$=8$
【答案】
8
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，整体代入求值
【点评】
本题核心是灵活运用幂的运算法则对代数式进行变形，将不同底数的幂统一为同底数幂，再结合已知条件运用整体代入思想求解，是幂的运算章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式的底数4和32，二者都可以转化为以2为底的幂，因此先利用幂的乘方法则将两个因式转化为同底数幂，再根据同底数幂的乘法法则合并，此时得到的指数恰好是已知等式变形后得到的2x+5y的值，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because 2x+5y-3=0$
$\therefore 2x+5y=3$
$\therefore 4^x · 32^y$
$=(2^2)^x · (2^5)^y$
$=2^{2x} · 2^{5y}$
$=2^{2x+5y}$
$=2^3$
$=8$
【答案】
8
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，整体代入求值
【点评】
本题核心是灵活运用幂的运算法则对代数式进行变形，将不同底数的幂统一为同底数幂，再结合已知条件运用整体代入思想求解，是幂的运算章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.8
18. 解决下列有关幂的问题：
(1) 若$2^6 = a^3 = 4^b$，求$a + b$值；
(2) 若$n$为正整数，且$x^{2n}=2$，求$(3x^{3n})^2 - 10(x^2)^{2n}$的值。
(1) 若$2^6 = a^3 = 4^b$，求$a + b$值；
(2) 若$n$为正整数，且$x^{2n}=2$，求$(3x^{3n})^2 - 10(x^2)^{2n}$的值。
答案
18. (1) $\because 2^6 = a^3 , \therefore (2^2)^3 = a^3 . \therefore 4^3 = a^3 . \therefore a = 4. \because 2^6 = 4^b , \therefore 2^6 = (2^2)^b . \therefore 2^6 = 2^{2b} . \therefore 2b = 6. \therefore b = 3. \therefore a + b = 7$ (2) $\because x^{2n} = 2, \therefore (3x^{3n})^2 - 10(x^2)^{2n} = 9x^{6n} - 10x^{4n} = 9(x^{2n})^3 - 10(x^{2n})^2 = 9×2^3 - 10×2^2 = 32$
解析
【分析】
(1) 第一问可通过幂的乘方性质对$2^6$变形求解：先将$2^6$转化为指数为3的幂，即可求出$a$的值；再将$4^b$转化为底数为2的幂，利用同底数幂相等时指数相等的性质求出$b$的值，最后计算$a+b$即可。
(2) 第二问先利用积的乘方、幂的乘方的运算性质展开化简所求式子，将式子转化为含$x^{2n}$的形式，再把已知$x^{2n}=2$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$2^6 = a^3 = 4^b$，
求$a$的值：
$\because 2^6 = (2^2)^3 = 4^3 = a^3$
$\therefore a = 4$
求$b$的值：
$\because 2^6 = 4^b = (2^2)^b = 2^{2b}$
同底数幂相等则指数相等，可得$2b=6$，解得$b=3$
$\therefore a+b=4+3=7$
(2) 已知$x^{2n}=2$，化简所求式子：
$(3x^{3n})^2 - 10(x^2)^{2n}$
根据积的乘方、幂的乘方运算性质展开：
$= 9x^{6n} - 10x^{4n}$
逆用幂的乘方性质变形为含$x^{2n}$的形式：
$= 9(x^{2n})^3 - 10(x^{2n})^2$
代入$x^{2n}=2$计算：
$= 9× 2^3 - 10× 2^2 = 9×8 - 10×4 = 72-40=32$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{32}$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，整体代入求值
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是熟练掌握幂的乘方、积的乘方的运算规则，会逆用幂的乘方公式对式子变形，结合整体代入思想计算即可，是幂运算的常规题型。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问可通过幂的乘方性质对$2^6$变形求解：先将$2^6$转化为指数为3的幂，即可求出$a$的值；再将$4^b$转化为底数为2的幂，利用同底数幂相等时指数相等的性质求出$b$的值，最后计算$a+b$即可。
(2) 第二问先利用积的乘方、幂的乘方的运算性质展开化简所求式子，将式子转化为含$x^{2n}$的形式，再把已知$x^{2n}=2$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$2^6 = a^3 = 4^b$，
求$a$的值：
$\because 2^6 = (2^2)^3 = 4^3 = a^3$
$\therefore a = 4$
求$b$的值：
$\because 2^6 = 4^b = (2^2)^b = 2^{2b}$
同底数幂相等则指数相等，可得$2b=6$，解得$b=3$
$\therefore a+b=4+3=7$
(2) 已知$x^{2n}=2$，化简所求式子：
$(3x^{3n})^2 - 10(x^2)^{2n}$
根据积的乘方、幂的乘方运算性质展开：
$= 9x^{6n} - 10x^{4n}$
逆用幂的乘方性质变形为含$x^{2n}$的形式：
$= 9(x^{2n})^3 - 10(x^{2n})^2$
代入$x^{2n}=2$计算：
$= 9× 2^3 - 10× 2^2 = 9×8 - 10×4 = 72-40=32$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{32}$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，整体代入求值
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是熟练掌握幂的乘方、积的乘方的运算规则，会逆用幂的乘方公式对式子变形，结合整体代入思想计算即可，是幂运算的常规题型。
【难度系数】
0.8
