登录
3. 下列各式的括号内应填入$a^4$的是 【 】
A.$a^{12}=(\quad)^2$
B.$a^{12}=(\quad)^3$
C.$a^{12}=(\quad)^4$
D.$a^{12}=(\quad)$
A.$a^{12}=(\quad)^2$
B.$a^{12}=(\quad)^3$
C.$a^{12}=(\quad)^4$
D.$a^{12}=(\quad)$
答案
B
解析
【分析】
本题考查幂的乘方的逆运算，解题思路如下：首先回忆幂的乘方的运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n均为正整数），即幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘。题目要求括号内填入$a^4$，我们可以通过两种思路推导：一是假设括号内为$a^4$，计算$(a^4)^n$是否等于$a^{12}$，找到对应的n；二是分别计算每个选项中括号内应填的项，判断是否为$a^4$。
【解析】
根据幂的乘方的逆运算规律：若$a^{12}=(a^x)^n$，则$x× n=12$，我们需要找到$x=4$的选项：
选项A：括号外指数为2，$x=12÷2=6$，括号内应填$a^6$，不符合要求；
选项B：括号外指数为3，$x=12÷3=4$，括号内应填$a^4$，符合要求；
选项C：括号外指数为4，$x=12÷4=3$，括号内应填$a^3$，不符合要求；
选项D：括号外无指数即指数为1，$x=12÷1=12$，括号内应填$a^{12}$，不符合要求。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方的逆运算
【点评】
本题是幂的乘方运算的基础题型，核心考查对幂的乘方法则的灵活运用，熟练掌握“底数不变，指数相乘”的运算规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题考查幂的乘方的逆运算，解题思路如下：首先回忆幂的乘方的运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n均为正整数），即幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘。题目要求括号内填入$a^4$，我们可以通过两种思路推导：一是假设括号内为$a^4$，计算$(a^4)^n$是否等于$a^{12}$，找到对应的n；二是分别计算每个选项中括号内应填的项，判断是否为$a^4$。
【解析】
根据幂的乘方的逆运算规律：若$a^{12}=(a^x)^n$，则$x× n=12$，我们需要找到$x=4$的选项：
选项A：括号外指数为2，$x=12÷2=6$，括号内应填$a^6$，不符合要求；
选项B：括号外指数为3，$x=12÷3=4$，括号内应填$a^4$，符合要求；
选项C：括号外指数为4，$x=12÷4=3$，括号内应填$a^3$，不符合要求；
选项D：括号外无指数即指数为1，$x=12÷1=12$，括号内应填$a^{12}$，不符合要求。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方的逆运算
【点评】
本题是幂的乘方运算的基础题型，核心考查对幂的乘方法则的灵活运用，熟练掌握“底数不变，指数相乘”的运算规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
4. 计算$(x^3)^2 · x^4$的结果是 【 】
A.$x^{10}$
B.$x^9$
C.$x^{24}$
D.$x^{12}$
A.$x^{10}$
B.$x^9$
C.$x^{24}$
D.$x^{12}$
答案
A
解析
【分析】
本题属于幂的混合运算题，解题时按照先算乘方、再算乘法的顺序逐步计算即可：第一步先处理幂的乘方运算，回忆幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，先算出$(x^3)^2$的结果；第二步再进行同底数幂的乘法运算，回忆同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，将第一步得到的结果与$x^4$相乘，最终得到运算结果后匹配选项即可。
【解析】
解：按照幂的运算顺序，先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法：
1. 计算幂的乘方：根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数），可得
$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$
2. 计算同底数幂的乘法：根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$（$m、n$为正整数），可得
$x^6· x^4=x^{6+4}=x^{10}$
因此运算结果为$x^{10}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查对幂的运算法则的记忆与应用，解题时注意区分两种运算的指数计算规则，避免混淆“指数相乘”和“指数相加”的适用场景，牢记运算顺序即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
本题属于幂的混合运算题，解题时按照先算乘方、再算乘法的顺序逐步计算即可：第一步先处理幂的乘方运算，回忆幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，先算出$(x^3)^2$的结果；第二步再进行同底数幂的乘法运算，回忆同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，将第一步得到的结果与$x^4$相乘，最终得到运算结果后匹配选项即可。
【解析】
解：按照幂的运算顺序，先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法：
1. 计算幂的乘方：根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数），可得
$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$
2. 计算同底数幂的乘法：根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$（$m、n$为正整数），可得
$x^6· x^4=x^{6+4}=x^{10}$
因此运算结果为$x^{10}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查对幂的运算法则的记忆与应用，解题时注意区分两种运算的指数计算规则，避免混淆“指数相乘”和“指数相加”的适用场景，牢记运算顺序即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
5. 计算:(1) $(a^3)^n =$
$a^{3n}$
；(2) $(a^{m-2})^4 =$ $a^{4m-8}$
。答案
5. (1) $a^{3n}$ (2) $a^{4m-8}$
解析
【分析】
这两道题均考查幂的乘方的运算，解题核心是牢记幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。解题时先判断运算类型属于幂的乘方，再对应套用法则计算即可，若指数是多项式，外指数与多项式相乘时要注意用分配律乘遍每一项，避免漏乘。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^x)^y=a^{x· y}$（$a≠0$，$x$、$y$为正整数）
(1) 底数$a$保持不变，将指数3和$n$相乘，可得：
$(a^3)^n=a^{3× n}=a^{3n}$
(2) 底数$a$保持不变，将指数$m-2$和4相乘，先计算指数部分：$4×(m-2)=4m-8$，因此：
$(a^{m-2})^4=a^{4(m-2)}=a^{4m-8}$
【答案】
(1) $a^{3n}$；(2) $a^{4m-8}$
【知识点】
幂的乘方法则，乘法分配律
【点评】
本题是幂的乘方的基础运算题，主要考查对幂的乘方运算法则的掌握程度，计算时需注意当指数是多项式时，外指数要和多项式的每一项分别相乘，避免出现漏乘的低级错误。
【难度系数】
0.9
这两道题均考查幂的乘方的运算，解题核心是牢记幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。解题时先判断运算类型属于幂的乘方，再对应套用法则计算即可，若指数是多项式，外指数与多项式相乘时要注意用分配律乘遍每一项，避免漏乘。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^x)^y=a^{x· y}$（$a≠0$，$x$、$y$为正整数）
(1) 底数$a$保持不变，将指数3和$n$相乘，可得：
$(a^3)^n=a^{3× n}=a^{3n}$
(2) 底数$a$保持不变，将指数$m-2$和4相乘，先计算指数部分：$4×(m-2)=4m-8$，因此：
$(a^{m-2})^4=a^{4(m-2)}=a^{4m-8}$
【答案】
(1) $a^{3n}$；(2) $a^{4m-8}$
【知识点】
幂的乘方法则，乘法分配律
【点评】
本题是幂的乘方的基础运算题，主要考查对幂的乘方运算法则的掌握程度，计算时需注意当指数是多项式时，外指数要和多项式的每一项分别相乘，避免出现漏乘的低级错误。
【难度系数】
0.9
6. 计算:(1) $(x^m)^2 · x^n =$
$x^{2m+n}$
; (2) $(x^5)^a + (x^a)^5 =$ $2x^{5a}$
.答案
6. (1) $x^{2m+n}$ (2) $2x^{5a}$
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时按照“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序计算即可：
（1）先处理幂的乘方运算，依据幂的乘方法则计算出$(x^m)^2$的结果，再依据同底数幂的乘法法则计算和$x^n$的乘积即可；
（2）先分别计算两个幂的乘方的结果，发现两个结果是同类项，最后合并同类项即可得到答案。
【解析】
（1）第一步计算幂的乘方：根据幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”，可得$(x^m)^2 = x^{m×2}=x^{2m}$；
第二步计算同底数幂的乘法：根据同底数幂乘法法则“底数不变，指数相加”，可得$x^{2m}·x^n = x^{2m+n}$。
（2）分别计算两个幂的乘方：
根据幂的乘方法则，$(x^5)^a = x^{5× a}=x^{5a}$，$(x^a)^5 = x^{a×5}=x^{5a}$；
再合并同类项：$x^{5a}+x^{5a}=2x^{5a}$。
【答案】
(1) $x^{2m+n}$；(2) $2x^{5a}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；合并同类项
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握幂的各类运算法则，注意区分幂的乘方、同底数幂乘法中指数的不同运算规则，避免混淆，只要准确记忆法则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算，解题时按照“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序计算即可：
（1）先处理幂的乘方运算，依据幂的乘方法则计算出$(x^m)^2$的结果，再依据同底数幂的乘法法则计算和$x^n$的乘积即可；
（2）先分别计算两个幂的乘方的结果，发现两个结果是同类项，最后合并同类项即可得到答案。
【解析】
（1）第一步计算幂的乘方：根据幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”，可得$(x^m)^2 = x^{m×2}=x^{2m}$；
第二步计算同底数幂的乘法：根据同底数幂乘法法则“底数不变，指数相加”，可得$x^{2m}·x^n = x^{2m+n}$。
（2）分别计算两个幂的乘方：
根据幂的乘方法则，$(x^5)^a = x^{5× a}=x^{5a}$，$(x^a)^5 = x^{a×5}=x^{5a}$；
再合并同类项：$x^{5a}+x^{5a}=2x^{5a}$。
【答案】
(1) $x^{2m+n}$；(2) $2x^{5a}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；合并同类项
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握幂的各类运算法则，注意区分幂的乘方、同底数幂乘法中指数的不同运算规则，避免混淆，只要准确记忆法则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
7. 若$a^x=6$，则$a^{2x}=\_\_\_\_\_\_$
答案
7. 36
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求式子的联系：已知$a^x=6$，所求的$a^{2x}$的指数$2x$是已知式子指数$x$的2倍，联想到幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，将公式逆用，就可以把$a^{2x}$变形为$(a^x)^2$的形式，再代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的乘方的逆运算规则：$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$a^{2x}=(a^x)^2$
把$a^x=6$代入上式，得：
$(a^x)^2=6^2=36$
【答案】
36
【知识点】
1. 幂的乘方法则
2. 幂的乘方的逆应用
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，主要考查对幂的乘方运算规则的灵活运用能力，解题的关键是熟练掌握幂的乘方公式的正用和逆用，根据指数的特征对所求式子进行合理变形后即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先观察已知条件和所求式子的联系：已知$a^x=6$，所求的$a^{2x}$的指数$2x$是已知式子指数$x$的2倍，联想到幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，将公式逆用，就可以把$a^{2x}$变形为$(a^x)^2$的形式，再代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的乘方的逆运算规则：$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$a^{2x}=(a^x)^2$
把$a^x=6$代入上式，得：
$(a^x)^2=6^2=36$
【答案】
36
【知识点】
1. 幂的乘方法则
2. 幂的乘方的逆应用
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，主要考查对幂的乘方运算规则的灵活运用能力，解题的关键是熟练掌握幂的乘方公式的正用和逆用，根据指数的特征对所求式子进行合理变形后即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8. 若$a + 2b = 2$，则$3^a · 9^b$的值为
9
。答案
8. 9
解析
【分析】
解题时先观察所求式子的底数特征，9是3的平方，因此可以先利用幂的乘方的性质将$9^b$转化为以3为底的幂，再根据同底数幂的乘法法则合并两个幂，此时指数恰好是已知条件里的$a+2b$，最后整体代入已知数值计算即可。
【解析】
解：对所求式子逐步变形计算：
1. 把$9^b$转化为以3为底的幂：
$3^a · 9^b = 3^a · (3^2)^b$
2. 根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(3^2)^b=3^{2b}$，原式变为：
$3^a · 3^{2b}$
3. 根据同底数幂的乘法法则$a^m · a^n=a^{m+n}$，合并得：
$3^a · 3^{2b}=3^{a+2b}$
4. 将已知条件$a+2b=2$代入，得：
$3^{2}=9$
【答案】
9
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，整体代入求值
【点评】
本题考查幂的相关运算性质的应用，解题核心是将不同底数的幂统一为同底数幂，再结合整体代入思想求解，是幂运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求式子的底数特征，9是3的平方，因此可以先利用幂的乘方的性质将$9^b$转化为以3为底的幂，再根据同底数幂的乘法法则合并两个幂，此时指数恰好是已知条件里的$a+2b$，最后整体代入已知数值计算即可。
【解析】
解：对所求式子逐步变形计算：
1. 把$9^b$转化为以3为底的幂：
$3^a · 9^b = 3^a · (3^2)^b$
2. 根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(3^2)^b=3^{2b}$，原式变为：
$3^a · 3^{2b}$
3. 根据同底数幂的乘法法则$a^m · a^n=a^{m+n}$，合并得：
$3^a · 3^{2b}=3^{a+2b}$
4. 将已知条件$a+2b=2$代入，得：
$3^{2}=9$
【答案】
9
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，整体代入求值
【点评】
本题考查幂的相关运算性质的应用，解题核心是将不同底数的幂统一为同底数幂，再结合整体代入思想求解，是幂运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 若$a^m=2$，$a^n=3$，则$a^{2m+n}=$
12
。答案
9. 12
解析
【分析】
解题时先观察待求式的指数特征，指数为2m+n，包含两部分：2m是m的2倍，n是单独的指数，因此可以先利用同底数幂乘法的逆运算，将$a^{2m+n}$拆分为$a^{2m}·a^n$；再利用幂的乘方的逆运算，将$a^{2m}$变形为$(a^m)^2$，此时待求式就转化为含有已知$a^m$、$a^n$的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法逆运算：$a^{x+y}=a^x·a^y$，幂的乘方逆运算：$a^{xy}=(a^x)^y$，可得：
$a^{2m+n}=a^{2m}·a^n=(a^m)^2·a^n$
将$a^m=2$，$a^n=3$代入上式得：
原式$=2^2×3=4×3=12$
【答案】
12
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题关键是熟练掌握幂的相关运算公式的正用和逆用，能够根据待求式的指数结构合理变形，结合已知条件代入求值即可。
【难度系数】
0.85
解题时先观察待求式的指数特征，指数为2m+n，包含两部分：2m是m的2倍，n是单独的指数，因此可以先利用同底数幂乘法的逆运算，将$a^{2m+n}$拆分为$a^{2m}·a^n$；再利用幂的乘方的逆运算，将$a^{2m}$变形为$(a^m)^2$，此时待求式就转化为含有已知$a^m$、$a^n$的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法逆运算：$a^{x+y}=a^x·a^y$，幂的乘方逆运算：$a^{xy}=(a^x)^y$，可得：
$a^{2m+n}=a^{2m}·a^n=(a^m)^2·a^n$
将$a^m=2$，$a^n=3$代入上式得：
原式$=2^2×3=4×3=12$
【答案】
12
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题关键是熟练掌握幂的相关运算公式的正用和逆用，能够根据待求式的指数结构合理变形，结合已知条件代入求值即可。
【难度系数】
0.85
10. 计算:
(1) $(10^2)^3 × 10^4$;
(2) $(x^2)^5 + (x^5)^2$;
(3) $a · a^2 · a^3 + (a^2)^3$;
(4) $(a^3)^n · a^{n+1}$.
(1) $(10^2)^3 × 10^4$;
(2) $(x^2)^5 + (x^5)^2$;
(3) $a · a^2 · a^3 + (a^2)^3$;
(4) $(a^3)^n · a^{n+1}$.
答案
(1) $10^{10}$ (2) $2x^{10}$ (3) $2a^6$ (4) $a^{4n+1}$
解析
【分析】
解决这类幂的运算题，要牢记幂的相关运算法则，遵循“先乘方，再乘除，最后算加减”的运算顺序：①遇到幂的乘方运算，按照“底数不变，指数相乘”计算；②遇到同底数幂相乘，按照“底数不变，指数相加”计算；③如果有同类项，最后合并同类项即可。
具体到各小题：(1)先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法；(2)先分别计算两个幂的乘方，再合并同类项；(3)先分别计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项；(4)先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法：
$(10^2)^3 × 10^4 = 10^{2×3} × 10^4 = 10^6 × 10^4 = 10^{6+4} = 10^{10}$
(2) 先分别计算两个幂的乘方，再合并同类项：
$(x^2)^5 + (x^5)^2 = x^{2×5} + x^{5×2} = x^{10} + x^{10} = 2x^{10}$
(3) 先分别计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项：
$a · a^2 · a^3 + (a^2)^3 = a^{1+2+3} + a^{2×3} = a^6 + a^6 = 2a^6$
(4) 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法：
$(a^3)^n · a^{n+1} = a^{3×n} · a^{n+1} = a^{3n + n + 1} = a^{4n+1}$
【答案】
(1) $10^{10}$；(2) $2x^{10}$；(3) $2a^6$；(4) $a^{4n+1}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心是区分幂的乘方与同底数幂乘法的指数运算规则，避免出现指数运算混淆的错误，运算时要严格按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算，同类项要准确合并。
【难度系数】
0.75
解决这类幂的运算题，要牢记幂的相关运算法则，遵循“先乘方，再乘除，最后算加减”的运算顺序：①遇到幂的乘方运算，按照“底数不变，指数相乘”计算；②遇到同底数幂相乘，按照“底数不变，指数相加”计算；③如果有同类项，最后合并同类项即可。
具体到各小题：(1)先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法；(2)先分别计算两个幂的乘方，再合并同类项；(3)先分别计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项；(4)先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法：
$(10^2)^3 × 10^4 = 10^{2×3} × 10^4 = 10^6 × 10^4 = 10^{6+4} = 10^{10}$
(2) 先分别计算两个幂的乘方，再合并同类项：
$(x^2)^5 + (x^5)^2 = x^{2×5} + x^{5×2} = x^{10} + x^{10} = 2x^{10}$
(3) 先分别计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项：
$a · a^2 · a^3 + (a^2)^3 = a^{1+2+3} + a^{2×3} = a^6 + a^6 = 2a^6$
(4) 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法：
$(a^3)^n · a^{n+1} = a^{3×n} · a^{n+1} = a^{3n + n + 1} = a^{4n+1}$
【答案】
(1) $10^{10}$；(2) $2x^{10}$；(3) $2a^6$；(4) $a^{4n+1}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心是区分幂的乘方与同底数幂乘法的指数运算规则，避免出现指数运算混淆的错误，运算时要严格按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算，同类项要准确合并。
【难度系数】
0.75
11. 已知$10^x = 2$，$10^y = 3$，则$10^{2x + 3y} = $ 【 】
A.36
B.72
C.108
D.24
A.36
B.72
C.108
D.24
答案
C
解析
【分析】
解题时先观察待求式的指数形式，指数为和的形式，可优先考虑逆用同底数幂的乘法法则，将待求式拆分为两个同底数幂相乘的形式；拆分后两个幂的指数为乘积形式，再逆用幂的乘方法则，将其转化为已知的$10^x$、$10^y$的乘方形式，最后代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算法则逆用进行变形计算：
1. 逆用同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m · a^n$，可得：
$10^{2x+3y}=10^{2x} × 10^{3y}$
2. 逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$10^{2x}=(10^x)^2$，$10^{3y}=(10^y)^3$
3. 将$10^x=2$，$10^y=3$代入上式计算：
原式=$(10^x)^2 × (10^y)^3 = 2^2 × 3^3 = 4 × 27 = 108$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂的乘方
【点评】
本题是幂的运算的常规题型，核心考查幂的运算法则的逆用，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算性质，能根据待求式的指数特征灵活变形，结合已知条件代入求值，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察待求式的指数形式，指数为和的形式，可优先考虑逆用同底数幂的乘法法则，将待求式拆分为两个同底数幂相乘的形式；拆分后两个幂的指数为乘积形式，再逆用幂的乘方法则，将其转化为已知的$10^x$、$10^y$的乘方形式，最后代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算法则逆用进行变形计算：
1. 逆用同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m · a^n$，可得：
$10^{2x+3y}=10^{2x} × 10^{3y}$
2. 逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$10^{2x}=(10^x)^2$，$10^{3y}=(10^y)^3$
3. 将$10^x=2$，$10^y=3$代入上式计算：
原式=$(10^x)^2 × (10^y)^3 = 2^2 × 3^3 = 4 × 27 = 108$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂的乘方
【点评】
本题是幂的运算的常规题型，核心考查幂的运算法则的逆用，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算性质，能根据待求式的指数特征灵活变形，结合已知条件代入求值，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
12. 已知$a=16^6$，$b=8^9$，$c=4^{13}$，则$a$、$b$、$c$的小关系为 【 】
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$c ＜ b ＜ a$
D.$b ＜ a ＜ c$
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$c ＜ b ＜ a$
D.$b ＜ a ＜ c$
答案
B
解析
【分析】
要比较a、b、c三个幂的大小，观察发现它们的底数16、8、4都是2的整数次幂，因此可以利用幂的乘方法则的逆运算，将三个数都转化为底数为2的幂，再根据底数大于1时，指数越大对应的幂越大的性质，通过比较指数的大小即可判断三个数的大小关系。
【解析】
先利用幂的乘方的逆运算将三个数转化为底数为2的幂：
$a=16^6=(2^4)^6=2^{4×6}=2^{24}$
$b=8^9=(2^3)^9=2^{3×9}=2^{27}$
$c=4^{13}=(2^2)^{13}=2^{2×13}=2^{26}$
因为底数$2＞1$，指数越大则幂越大，且$24＜26＜27$，所以$2^{24}＜2^{26}＜2^{27}$，即$a＜c＜b$。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方的逆用；同底数幂的大小比较
【点评】
本题是幂的运算模块的典型题型，解题核心是将不同底数的幂统一为相同底数，再通过比较指数大小得到结果，能有效考查对幂的乘方运算的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要比较a、b、c三个幂的大小，观察发现它们的底数16、8、4都是2的整数次幂，因此可以利用幂的乘方法则的逆运算，将三个数都转化为底数为2的幂，再根据底数大于1时，指数越大对应的幂越大的性质，通过比较指数的大小即可判断三个数的大小关系。
【解析】
先利用幂的乘方的逆运算将三个数转化为底数为2的幂：
$a=16^6=(2^4)^6=2^{4×6}=2^{24}$
$b=8^9=(2^3)^9=2^{3×9}=2^{27}$
$c=4^{13}=(2^2)^{13}=2^{2×13}=2^{26}$
因为底数$2＞1$，指数越大则幂越大，且$24＜26＜27$，所以$2^{24}＜2^{26}＜2^{27}$，即$a＜c＜b$。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方的逆用；同底数幂的大小比较
【点评】
本题是幂的运算模块的典型题型，解题核心是将不同底数的幂统一为相同底数，再通过比较指数大小得到结果，能有效考查对幂的乘方运算的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
13. 若$ 3^m = a $，$ 27^n = b $，$ m $、$ n $为正整数，则$ 3^{2m + 6n} $值为
$a^2b^2$
。答案
13. $a^2b^2$
解析
【分析】
解题时先观察所求式子的底数和指数特征，结合已知条件的底数都是3的相关幂，按以下思路推导：1. 利用同底数幂乘法的逆运算，把指数和的形式拆成两个同底数幂相乘，即$3^{2m+6n}=3^{2m} · 3^{6n}$；2. 利用幂的乘方的逆运算，将$3^{2m}$转化为$(3^m)^2$，直接代入已知$3^m=a$得到这部分的结果；3. 先把已知的$27^n$转化为底数为3的幂，得到$3^{3n}=b$，再将$3^{6n}$转化为$(3^{3n})^2$，代入$3^{3n}=b$得到这部分的结果；4. 把两部分结果相乘即可得到最终答案。
【解析】
解：根据幂的运算法则逆用推导：
1. 由同底数幂乘法的逆运算$a^{m+n}=a^m · a^n$，得：
$3^{2m+6n}=3^{2m} · 3^{6n}$
2. 由幂的乘方的逆运算$a^{mn}=(a^m)^n$，得：
$3^{2m}=(3^m)^2$，将$3^m=a$代入，得$3^{2m}=a^2$
3. 先化简已知条件$27^n=b$：
因为$27=3^3$，所以$27^n=(3^3)^n=3^{3n}=b$
再对$3^{6n}$变形：$3^{6n}=3^{2 × 3n}=(3^{3n})^2$，将$3^{3n}=b$代入，得$3^{6n}=b^2$
4. 合并两部分结果：
$3^{2m+6n}=a^2 · b^2 = a^2b^2$
【答案】
$a^2b^2$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题核心考查幂的运算性质的灵活应用，逆用幂的运算法则对式子进行合理变形是解题的关键，需要熟练掌握幂的相关运算公式，能结合已知条件匹配对应的变形方法。
【难度系数】
0.7
解题时先观察所求式子的底数和指数特征，结合已知条件的底数都是3的相关幂，按以下思路推导：1. 利用同底数幂乘法的逆运算，把指数和的形式拆成两个同底数幂相乘，即$3^{2m+6n}=3^{2m} · 3^{6n}$；2. 利用幂的乘方的逆运算，将$3^{2m}$转化为$(3^m)^2$，直接代入已知$3^m=a$得到这部分的结果；3. 先把已知的$27^n$转化为底数为3的幂，得到$3^{3n}=b$，再将$3^{6n}$转化为$(3^{3n})^2$，代入$3^{3n}=b$得到这部分的结果；4. 把两部分结果相乘即可得到最终答案。
【解析】
解：根据幂的运算法则逆用推导：
1. 由同底数幂乘法的逆运算$a^{m+n}=a^m · a^n$，得：
$3^{2m+6n}=3^{2m} · 3^{6n}$
2. 由幂的乘方的逆运算$a^{mn}=(a^m)^n$，得：
$3^{2m}=(3^m)^2$，将$3^m=a$代入，得$3^{2m}=a^2$
3. 先化简已知条件$27^n=b$：
因为$27=3^3$，所以$27^n=(3^3)^n=3^{3n}=b$
再对$3^{6n}$变形：$3^{6n}=3^{2 × 3n}=(3^{3n})^2$，将$3^{3n}=b$代入，得$3^{6n}=b^2$
4. 合并两部分结果：
$3^{2m+6n}=a^2 · b^2 = a^2b^2$
【答案】
$a^2b^2$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题核心考查幂的运算性质的灵活应用，逆用幂的运算法则对式子进行合理变形是解题的关键，需要熟练掌握幂的相关运算公式，能结合已知条件匹配对应的变形方法。
【难度系数】
0.7
14.已知$5^a = 4$，$5^b = 6$，$5^c = 9$，则$a$、$b$、$c$之间满足的等量关系是
$a + c = 2b$
。答案
14. $a + c = 2b$
解析
【分析】首先观察已知的三个幂对应的数值4、6、9的运算关系，可发现$4×9=6^2$，将对应的幂代入该等式即可建立三个幂之间的等量关系，再分别用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则化简等式左右两边，最后根据底数不为0且相等的两个幂，指数也相等的性质，就能推出a、b、c的关系。
【解析】
解：已知$5^a = 4$，$5^b = 6$，$5^c = 9$
先计算数值的运算：$4×9=36=6^2$，对应代入幂可得：
$5^a × 5^c = (5^b)^2$
根据同底数幂的乘法法则：$5^a × 5^c = 5^{a+c}$
根据幂的乘方法则：$(5^b)^2 = 5^{2b}$
因此等式可化简为：$5^{a+c}=5^{2b}$
由于底数$5≠0$且$5≠1$，幂相等则对应指数相等，可得：$a + c = 2b$
【答案】$a + c = 2b$
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】本题是幂运算的典型基础题，解题核心是通过数值的运算关系关联对应的幂，再利用幂的运算法则将幂的等量关系转化为指数的等量关系，考查对幂运算性质的灵活运用能力。
【难度系数】0.7
【解析】
解：已知$5^a = 4$，$5^b = 6$，$5^c = 9$
先计算数值的运算：$4×9=36=6^2$，对应代入幂可得：
$5^a × 5^c = (5^b)^2$
根据同底数幂的乘法法则：$5^a × 5^c = 5^{a+c}$
根据幂的乘方法则：$(5^b)^2 = 5^{2b}$
因此等式可化简为：$5^{a+c}=5^{2b}$
由于底数$5≠0$且$5≠1$，幂相等则对应指数相等，可得：$a + c = 2b$
【答案】$a + c = 2b$
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】本题是幂运算的典型基础题，解题核心是通过数值的运算关系关联对应的幂，再利用幂的运算法则将幂的等量关系转化为指数的等量关系，考查对幂运算性质的灵活运用能力。
【难度系数】0.7
15. 若$a^5 · (a^y)^2 = a^{11}$，则$y=$
3
.答案
15. 3
解析
【分析】
解决本题的思路如下：第一步，先回忆幂的相关运算法则，观察等式左边包含幂的乘方和同底数幂乘法两种运算，先按运算顺序计算幂的乘方；第二步，利用同底数幂的乘法法则计算左边的结果，将左边整理为底数为a的幂的形式；第三步，根据等式左右两边底数相同的幂相等时，对应指数相等，建立关于y的一元一次方程，解方程即可求出y的值。
【解析】
第一步：根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），计算幂的乘方：
$(a^y)^2=a^{2y}$
第二步：根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数），计算同底数幂的乘积：
$a^5·a^{2y}=a^{5+2y}$
第三步：等式右侧为$a^{11}$，同底数幂相等时对应指数相等，因此列方程：
$5+2y=11$
解方程：移项得$2y=11-5=6$，系数化为1得$y=3$
【答案】
3
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，一元一次方程求解
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考查对幂的运算法则的理解与应用，只要熟练掌握相关运算法则，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.9
解决本题的思路如下：第一步，先回忆幂的相关运算法则，观察等式左边包含幂的乘方和同底数幂乘法两种运算，先按运算顺序计算幂的乘方；第二步，利用同底数幂的乘法法则计算左边的结果，将左边整理为底数为a的幂的形式；第三步，根据等式左右两边底数相同的幂相等时，对应指数相等，建立关于y的一元一次方程，解方程即可求出y的值。
【解析】
第一步：根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），计算幂的乘方：
$(a^y)^2=a^{2y}$
第二步：根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数），计算同底数幂的乘积：
$a^5·a^{2y}=a^{5+2y}$
第三步：等式右侧为$a^{11}$，同底数幂相等时对应指数相等，因此列方程：
$5+2y=11$
解方程：移项得$2y=11-5=6$，系数化为1得$y=3$
【答案】
3
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，一元一次方程求解
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考查对幂的运算法则的理解与应用，只要熟练掌握相关运算法则，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.9
