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17. 已知 $ x^{2m - n} · x^{n - 1} = x^{11} $，$ y^{m - 1} · y^{4 - n} = y^{5} $，求 $ mn^2 $ 的值.
答案
由$x^{2m-n} · x^{n-1}=x^{11}$,可知$2m-n+n-1=11$,解得$m=6$;由$y^{m-1} · y^{4-n}=y^5$,可知$m-1+4-n=5$,即$6-n+3=5$,解得$n=4$. $\therefore mn^2=6×4^2=96$
解析
【分析】
本题可根据同底数幂的乘法法则求解，解题思路如下：第一步，依据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，对两个已知等式左边的指数合并，得到关于m、n的方程；第二步，第一个方程合并后n会抵消，可直接求出m的值；第三步，将求得的m代入第二个方程求出n的值；第四步，把m、n代入$mn^2$计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，m、n为正整数）：
1. 处理含x的等式：
$x^{2m-n}· x^{n-1}=x^{11}$，合并指数得$2m-n+n-1=11$
化简得$2m-1=11$，解得$m=6$
2. 处理含y的等式：
$y^{m-1}· y^{4-n}=y^5$，合并指数得$m-1+4-n=5$
将$m=6$代入上式：$6-1+4-n=5$
化简得$9-n=5$，解得$n=4$
3. 计算$mn^2$的值：
将$m=6$，$n=4$代入得：$mn^2=6×4^2=6×16=96$
【答案】
96
【知识点】
同底数幂的乘法，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则，能将幂的运算转化为指数的方程求解，计算时要注意乘方的运算优先级，避免运算顺序错误。
【难度系数】
0.8
本题可根据同底数幂的乘法法则求解，解题思路如下：第一步，依据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，对两个已知等式左边的指数合并，得到关于m、n的方程；第二步，第一个方程合并后n会抵消，可直接求出m的值；第三步，将求得的m代入第二个方程求出n的值；第四步，把m、n代入$mn^2$计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，m、n为正整数）：
1. 处理含x的等式：
$x^{2m-n}· x^{n-1}=x^{11}$，合并指数得$2m-n+n-1=11$
化简得$2m-1=11$，解得$m=6$
2. 处理含y的等式：
$y^{m-1}· y^{4-n}=y^5$，合并指数得$m-1+4-n=5$
将$m=6$代入上式：$6-1+4-n=5$
化简得$9-n=5$，解得$n=4$
3. 计算$mn^2$的值：
将$m=6$，$n=4$代入得：$mn^2=6×4^2=6×16=96$
【答案】
96
【知识点】
同底数幂的乘法，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则，能将幂的运算转化为指数的方程求解，计算时要注意乘方的运算优先级，避免运算顺序错误。
【难度系数】
0.8
18.【定义新知】如果$a$、$b$、$c$是整数，且$a^c = b$，那么我们规定一种记号$(a, b) = c$，例如：$4^2 = 16$，则记作$(4, 16) = 2$。
（1）【尝试应用】$(2, 8) = \_\_\_\_\_\_$；
（2）【拓展提升】若$k$、$m$、$n$、$p$均为整数，且$(k, 9) = m$，$(k, 27) = n$，$(k, 243) = p$，试说明：$m + n = p$。
（1）【尝试应用】$(2, 8) = \_\_\_\_\_\_$；
（2）【拓展提升】若$k$、$m$、$n$、$p$均为整数，且$(k, 9) = m$，$(k, 27) = n$，$(k, 243) = p$，试说明：$m + n = p$。
答案
(1) 3 (2) 由题意,得$k^m=9$,$k^n=27$,$k^p=243$. $\therefore k^m · k^n=9×27=243$. $\therefore k^m · k^n=k^p$,即$k^{m+n}=k^p$. $\therefore m + n = p$
解析
【分析】
（1）首先明确新定义记号的含义：若整数$a$的$c$次方等于$b$，则$(a,b)=c$。求解$(2,8)$时，只需找到满足$2^c=8$的整数$c$即可。
（2）要证明$m+n=p$，首先根据新定义将三个记号等式转化为幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算$k^m· k^n$的结果，结合其与$k^p$相等的关系，即可推导出指数的等量关系。
【解析】
（1）根据题中规定，$\because 2^3=8$，$\therefore (2,8)=3$。
（2）由题意，根据新定义可得：
$k^m=9$，$k^n=27$，$k^p=243$。
根据同底数幂的乘法法则：
$k^m · k^n = k^{m+n} = 9 × 27 = 243$，
又$\because k^p=243$，
$\therefore k^{m+n}=k^p$，
$\therefore m + n = p$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $m+n=p$成立
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题以新定义运算为载体，考查了对新概念的理解能力和幂运算性质的应用能力，引导学生将陌生问题转化为已学的幂运算问题，属于基础拓展类题型。
【难度系数】
0.8
（1）首先明确新定义记号的含义：若整数$a$的$c$次方等于$b$，则$(a,b)=c$。求解$(2,8)$时，只需找到满足$2^c=8$的整数$c$即可。
（2）要证明$m+n=p$，首先根据新定义将三个记号等式转化为幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算$k^m· k^n$的结果，结合其与$k^p$相等的关系，即可推导出指数的等量关系。
【解析】
（1）根据题中规定，$\because 2^3=8$，$\therefore (2,8)=3$。
（2）由题意，根据新定义可得：
$k^m=9$，$k^n=27$，$k^p=243$。
根据同底数幂的乘法法则：
$k^m · k^n = k^{m+n} = 9 × 27 = 243$，
又$\because k^p=243$，
$\therefore k^{m+n}=k^p$，
$\therefore m + n = p$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $m+n=p$成立
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题以新定义运算为载体，考查了对新概念的理解能力和幂运算性质的应用能力，引导学生将陌生问题转化为已学的幂运算问题，属于基础拓展类题型。
【难度系数】
0.8
1. 下列等式中，成立的是 【 】
A.$(a^4)^4 = a^4 · a^4$
B.$(a^2)^6 = (a^4)^4$
C.$(a^2)^6 = (a^3)^4$
D.$(a^6)^2 = (a^4)^8$
A.$(a^4)^4 = a^4 · a^4$
B.$(a^2)^6 = (a^4)^4$
C.$(a^2)^6 = (a^3)^4$
D.$(a^6)^2 = (a^4)^8$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个等式成立，需结合幂的相关运算法则，分别计算每个选项中等式左右两边的结果，再对比结果是否相等即可。解题前需明确两个核心法则：①幂的乘方：底数不变，指数相乘；②同底数幂相乘：底数不变，指数相加，注意区分两个法则的指数运算规则，不要混淆。
【解析】
根据幂的运算法则逐一计算各选项：
1. 计算A选项：
左边：$(a^4)^4=a^{4×4}=a^{16}$
右边：$a^4·a^4=a^{4+4}=a^8$
$a^{16}≠a^8$，故A不成立。
2. 计算B选项：
左边：$(a^2)^6=a^{2×6}=a^{12}$
右边：$(a^4)^4=a^{4×4}=a^{16}$
$a^{12}≠a^{16}$，故B不成立。
3. 计算C选项：
左边：$(a^2)^6=a^{2×6}=a^{12}$
右边：$(a^3)^4=a^{3×4}=a^{12}$
两边结果相等，故C成立。
4. 计算D选项：
左边：$(a^6)^2=a^{6×2}=a^{12}$
右边：$(a^4)^8=a^{4×8}=a^{32}$
$a^{12}≠a^{32}$，故D不成立。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础考查题，解题的核心是准确掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，计算时要注意区分两类运算的指数处理规则，避免将指数相乘和指数相加混淆。
【难度系数】
0.8
要判断哪个等式成立，需结合幂的相关运算法则，分别计算每个选项中等式左右两边的结果，再对比结果是否相等即可。解题前需明确两个核心法则：①幂的乘方：底数不变，指数相乘；②同底数幂相乘：底数不变，指数相加，注意区分两个法则的指数运算规则，不要混淆。
【解析】
根据幂的运算法则逐一计算各选项：
1. 计算A选项：
左边：$(a^4)^4=a^{4×4}=a^{16}$
右边：$a^4·a^4=a^{4+4}=a^8$
$a^{16}≠a^8$，故A不成立。
2. 计算B选项：
左边：$(a^2)^6=a^{2×6}=a^{12}$
右边：$(a^4)^4=a^{4×4}=a^{16}$
$a^{12}≠a^{16}$，故B不成立。
3. 计算C选项：
左边：$(a^2)^6=a^{2×6}=a^{12}$
右边：$(a^3)^4=a^{3×4}=a^{12}$
两边结果相等，故C成立。
4. 计算D选项：
左边：$(a^6)^2=a^{6×2}=a^{12}$
右边：$(a^4)^8=a^{4×8}=a^{32}$
$a^{12}≠a^{32}$，故D不成立。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础考查题，解题的核心是准确掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，计算时要注意区分两类运算的指数处理规则，避免将指数相乘和指数相加混淆。
【难度系数】
0.8
2. $x^{18}$ 不能写成 【 】
A.$(x^2)^{16}$
B.$(x^2)^9$
C.$(x^3)^6$
D.$x^9 · x^9$
A.$(x^2)^{16}$
B.$(x^2)^9$
C.$(x^3)^6$
D.$x^9 · x^9$
答案
A
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算法则，解题时先回忆幂的乘方、同底数幂乘法的运算规则，再逐一计算每个选项的运算结果，对比是否等于$x^{18}$，结果不一致的即为正确选项。用到的法则：1.幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数），底数不变，指数相乘；2.同底数幂乘法：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m、n$为正整数），底数不变，指数相加。
【解析】
对每个选项分别计算：
A选项：根据幂的乘方法则，$(x^2)^{16}=x^{2×16}=x^{32}≠ x^{18}$，符合题意；
B选项：根据幂的乘方法则，$(x^2)^9=x^{2×9}=x^{18}$，不符合题意；
C选项：根据幂的乘方法则，$(x^3)^6=x^{3×6}=x^{18}$，不符合题意；
D选项：根据同底数幂的乘法法则，$x^9·x^9=x^{9+9}=x^{18}$，不符合题意。
因此$x^{18}$不能写成A选项的形式。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查对幂的运算法则的记忆与应用，只要准确掌握公式、细心计算指数，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的相关运算法则，解题时先回忆幂的乘方、同底数幂乘法的运算规则，再逐一计算每个选项的运算结果，对比是否等于$x^{18}$，结果不一致的即为正确选项。用到的法则：1.幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数），底数不变，指数相乘；2.同底数幂乘法：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m、n$为正整数），底数不变，指数相加。
【解析】
对每个选项分别计算：
A选项：根据幂的乘方法则，$(x^2)^{16}=x^{2×16}=x^{32}≠ x^{18}$，符合题意；
B选项：根据幂的乘方法则，$(x^2)^9=x^{2×9}=x^{18}$，不符合题意；
C选项：根据幂的乘方法则，$(x^3)^6=x^{3×6}=x^{18}$，不符合题意；
D选项：根据同底数幂的乘法法则，$x^9·x^9=x^{9+9}=x^{18}$，不符合题意。
因此$x^{18}$不能写成A选项的形式。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查对幂的运算法则的记忆与应用，只要准确掌握公式、细心计算指数，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
