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11. 计算$(a^2 + a^2)^3$的结果是 【 】
A.$8a^5$
B.$8a^6$
C.$a^{12}$
D.$a^7$
A.$8a^5$
B.$8a^6$
C.$a^{12}$
D.$a^7$
答案
B
解析
【分析】
解题时先观察式子结构，第一步先处理括号内的同类项加法，合并同类项后得到单项式的乘方运算，再依次运用积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可得到结果，注意区分合并同类项和乘方运算的规则，不要混淆。
【解析】
第一步：合并括号内的同类项：
$a^2 + a^2 = 2a^2$
第二步：运用积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$计算乘方：
$(2a^2)^3 = 2^3 · (a^2)^3$
第三步：分别计算两部分，其中$2^3=8$，再运用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$计算$(a^2)^3$：
$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$
第四步：将两部分结果相乘：
$8 · a^6 = 8a^6$
【答案】
B
【知识点】
合并同类项，积的乘方，幂的乘方
【点评】
本题属于整式运算的基础题，解题核心是先明确括号内为加法运算需先合并同类项，再正确套用乘方的相关运算法则计算，避免混淆加法和乘方的运算规则。
【难度系数】
0.8
解题时先观察式子结构，第一步先处理括号内的同类项加法，合并同类项后得到单项式的乘方运算，再依次运用积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可得到结果，注意区分合并同类项和乘方运算的规则，不要混淆。
【解析】
第一步：合并括号内的同类项：
$a^2 + a^2 = 2a^2$
第二步：运用积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$计算乘方：
$(2a^2)^3 = 2^3 · (a^2)^3$
第三步：分别计算两部分，其中$2^3=8$，再运用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$计算$(a^2)^3$：
$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$
第四步：将两部分结果相乘：
$8 · a^6 = 8a^6$
【答案】
B
【知识点】
合并同类项，积的乘方，幂的乘方
【点评】
本题属于整式运算的基础题，解题核心是先明确括号内为加法运算需先合并同类项，再正确套用乘方的相关运算法则计算，避免混淆加法和乘方的运算规则。
【难度系数】
0.8
12. 如果$(2x^{a}y^{a+b})^{3}=8x^{9}y^{15}$成立，那么$a$、$b$的值为 【 】
A.$a=3$，$b=6$
B.$a=3$，$b=2$
C.$a=6$，$b=2$
D.$a=3$，$b=5$
A.$a=3$，$b=6$
B.$a=3$，$b=2$
C.$a=6$，$b=2$
D.$a=3$，$b=5$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要运用积的乘方、幂的乘方的运算法则将等式左边的式子展开，再根据等式两边相等的单项式中相同字母的指数对应相等，列出关于a、b的方程，解方程即可求出a、b的值。
【解析】
首先利用积的乘方与幂的乘方运算法则展开等式左边：
$\begin{aligned}(2x^{a}y^{a+b})^{3}&=2^3 · (x^a)^3 · (y^{a+b})^3\\&=8x^{3a}y^{3(a+b)}\end{aligned}$
已知该式等于$8x^{9}y^{15}$，因此相同字母的指数对应相等：
1. 对$x$的指数：$3a=9$，解得$a=3$；
2. 对$y$的指数：$3(a+b)=15$，将$a=3$代入得$3×(3+b)=15$，化简得$3+b=5$，解得$b=2$。
因此$a=3$，$b=2$。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、单项式相等的条件
【点评】
本题是整式乘方运算的基础应用题型，解题核心是熟练掌握乘方的相关运算性质，再利用“相等单项式对应字母指数相等”的规律建立方程求解，计算量小，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要运用积的乘方、幂的乘方的运算法则将等式左边的式子展开，再根据等式两边相等的单项式中相同字母的指数对应相等，列出关于a、b的方程，解方程即可求出a、b的值。
【解析】
首先利用积的乘方与幂的乘方运算法则展开等式左边：
$\begin{aligned}(2x^{a}y^{a+b})^{3}&=2^3 · (x^a)^3 · (y^{a+b})^3\\&=8x^{3a}y^{3(a+b)}\end{aligned}$
已知该式等于$8x^{9}y^{15}$，因此相同字母的指数对应相等：
1. 对$x$的指数：$3a=9$，解得$a=3$；
2. 对$y$的指数：$3(a+b)=15$，将$a=3$代入得$3×(3+b)=15$，化简得$3+b=5$，解得$b=2$。
因此$a=3$，$b=2$。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、单项式相等的条件
【点评】
本题是整式乘方运算的基础应用题型，解题核心是熟练掌握乘方的相关运算性质，再利用“相等单项式对应字母指数相等”的规律建立方程求解，计算量小，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
13. 计算$(-\dfrac{2}{3})^{2025} · (-1.5)^{2026}$的结果为 【 】
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$-\dfrac{2}{3}$
C.$1.5$
D.$-1.5$
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$-\dfrac{2}{3}$
C.$1.5$
D.$-1.5$
答案
D
解析
【分析】
观察算式可知，两个幂的底数互为负倒数，且指数仅相差1，解题时先将小数-1.5化为分数，再把指数较大的幂拆为与另一个幂同指数的部分乘剩余的1次幂，最后利用积的乘方的逆运算合并同指数幂，即可简化计算得出结果，无需计算高次幂的具体数值。
【解析】
先将$-1.5$化为分数：$-1.5=-\dfrac{3}{2}$，则原式可变形为：
$\begin{aligned}(-\dfrac{2}{3})^{2025} · (-\dfrac{3}{2})^{2026}&=(-\dfrac{2}{3})^{2025} · (-\dfrac{3}{2})^{2025} · (-\dfrac{3}{2})\\&=[ (-\dfrac{2}{3}) × (-\dfrac{3}{2}) ]^{2025} · (-\dfrac{3}{2})\\&=1^{2025} × (-\dfrac{3}{2})\\&=1 × (-\dfrac{3}{2})\\&=-1.5\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方逆运算，幂的运算
【点评】
本题是幂的运算的常规考题，解题核心是抓住底数互为负倒数、指数相近的特征，灵活运用积的乘方的逆运算简化计算过程，解题时需注意符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.6
观察算式可知，两个幂的底数互为负倒数，且指数仅相差1，解题时先将小数-1.5化为分数，再把指数较大的幂拆为与另一个幂同指数的部分乘剩余的1次幂，最后利用积的乘方的逆运算合并同指数幂，即可简化计算得出结果，无需计算高次幂的具体数值。
【解析】
先将$-1.5$化为分数：$-1.5=-\dfrac{3}{2}$，则原式可变形为：
$\begin{aligned}(-\dfrac{2}{3})^{2025} · (-\dfrac{3}{2})^{2026}&=(-\dfrac{2}{3})^{2025} · (-\dfrac{3}{2})^{2025} · (-\dfrac{3}{2})\\&=[ (-\dfrac{2}{3}) × (-\dfrac{3}{2}) ]^{2025} · (-\dfrac{3}{2})\\&=1^{2025} × (-\dfrac{3}{2})\\&=1 × (-\dfrac{3}{2})\\&=-1.5\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方逆运算，幂的运算
【点评】
本题是幂的运算的常规考题，解题核心是抓住底数互为负倒数、指数相近的特征，灵活运用积的乘方的逆运算简化计算过程，解题时需注意符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.6
14.若$x^n=a$，$y^n=b$，则$(xy^2)^n=$
$ab^2$
。答案
14. $ab^2$
解析
【分析】
解题时先回忆整式乘方的相关运算法则，首先观察待求式$(xy^2)^n$的结构，符合积的乘方的运算形式，先利用积的乘方法则将其拆分为多个因式乘方的乘积，再对含$y$的项利用幂的乘方法则变形，转化为含有已知条件$x^n$、$y^n$的形式，最后整体代入已知数值即可得到结果。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数），可得：
$(xy^2)^n=x^n· (y^2)^n$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$为正整数），可得：
$(y^2)^n=y^{2n}=(y^n)^2$
因此原式可变形为：
$(xy^2)^n=x^n· (y^n)^2$
将$x^n=a$，$y^n=b$代入上式，得：
原式$=a· b^2=ab^2$
【答案】
$ab^2$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；整体代入求值
【点评】
本题重点考查乘方运算性质的灵活应用，解题的核心是熟练掌握积的乘方、幂的乘方的运算规则，通过变形将待求式与已知条件建立关联，再整体代入计算，是乘方运算板块的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆整式乘方的相关运算法则，首先观察待求式$(xy^2)^n$的结构，符合积的乘方的运算形式，先利用积的乘方法则将其拆分为多个因式乘方的乘积，再对含$y$的项利用幂的乘方法则变形，转化为含有已知条件$x^n$、$y^n$的形式，最后整体代入已知数值即可得到结果。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数），可得：
$(xy^2)^n=x^n· (y^2)^n$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$为正整数），可得：
$(y^2)^n=y^{2n}=(y^n)^2$
因此原式可变形为：
$(xy^2)^n=x^n· (y^n)^2$
将$x^n=a$，$y^n=b$代入上式，得：
原式$=a· b^2=ab^2$
【答案】
$ab^2$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；整体代入求值
【点评】
本题重点考查乘方运算性质的灵活应用，解题的核心是熟练掌握积的乘方、幂的乘方的运算规则，通过变形将待求式与已知条件建立关联，再整体代入计算，是乘方运算板块的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
15. 计算：
(1) $a^3 · a^3 + (a^2)^4 + (2a^4)^2$；
(2) $(-a^2) · (-a)^3 · (-a)^4 · a^2$；
(3) $(-2m)^6 - (3m^3)^2 + (-2m^2)^3$。
(1) $a^3 · a^3 + (a^2)^4 + (2a^4)^2$；
(2) $(-a^2) · (-a)^3 · (-a)^4 · a^2$；
(3) $(-2m)^6 - (3m^3)^2 + (-2m^2)^3$。
答案
(1) $a^6 + 5a^8$ (2) $a^{11}$ (3) $47m^6$
解析
【分析】
这三道题均考查幂的相关运算及整式的加减运算，解题思路如下：第一步先根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则分别计算每一项的值，运算时优先确定每一项的符号，再计算对应指数；第二步识别同类项，将同类项的系数相加，字母和指数保持不变，最终合并得到化简结果。
【解析】
(1) 分别计算各项，再合并同类项：
同底数幂乘法：$a^3 · a^3 = a^{3+3} = a^6$
幂的乘方：$(a^2)^4 = a^{2×4} = a^8$
积的乘方：$(2a^4)^2 = 2^2 · (a^4)^2 = 4a^8$
合并同类项得：$a^6 + a^8 + 4a^8 = a^6 + 5a^8$
(2) 先化简带负号的幂，再计算同底数幂乘法：
化简负指数幂：$(-a)^3 = -a^3$，$(-a)^4 = a^4$
原式转化为：$(-a^2) · (-a^3) · a^4 · a^2$
先算符号：$(-1)×(-1)=1$，再计算同底数幂指数相加：$a^{2+3+4+2}=a^{11}$
(3) 分别计算各项，再合并同类项：
积的乘方：$(-2m)^6 = (-2)^6 · m^6 = 64m^6$
积的乘方：$(3m^3)^2 = 3^2 · (m^3)^2 = 9m^6$
积的乘方：$(-2m^2)^3 = (-2)^3 · (m^2)^3 = -8m^6$
合并同类项得：$64m^6 - 9m^6 - 8m^6 = (64-9-8)m^6 = 47m^6$
【答案】
(1) $a^6 + 5a^8$；(2) $a^{11}$；(3) $47m^6$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题属于幂运算的基础常规题型，核心考查对幂的三类运算法则的掌握熟练度，解题时需格外注意负数乘方的符号判断、指数的运算规则，避免因符号或指数计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查幂的相关运算及整式的加减运算，解题思路如下：第一步先根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则分别计算每一项的值，运算时优先确定每一项的符号，再计算对应指数；第二步识别同类项，将同类项的系数相加，字母和指数保持不变，最终合并得到化简结果。
【解析】
(1) 分别计算各项，再合并同类项：
同底数幂乘法：$a^3 · a^3 = a^{3+3} = a^6$
幂的乘方：$(a^2)^4 = a^{2×4} = a^8$
积的乘方：$(2a^4)^2 = 2^2 · (a^4)^2 = 4a^8$
合并同类项得：$a^6 + a^8 + 4a^8 = a^6 + 5a^8$
(2) 先化简带负号的幂，再计算同底数幂乘法：
化简负指数幂：$(-a)^3 = -a^3$，$(-a)^4 = a^4$
原式转化为：$(-a^2) · (-a^3) · a^4 · a^2$
先算符号：$(-1)×(-1)=1$，再计算同底数幂指数相加：$a^{2+3+4+2}=a^{11}$
(3) 分别计算各项，再合并同类项：
积的乘方：$(-2m)^6 = (-2)^6 · m^6 = 64m^6$
积的乘方：$(3m^3)^2 = 3^2 · (m^3)^2 = 9m^6$
积的乘方：$(-2m^2)^3 = (-2)^3 · (m^2)^3 = -8m^6$
合并同类项得：$64m^6 - 9m^6 - 8m^6 = (64-9-8)m^6 = 47m^6$
【答案】
(1) $a^6 + 5a^8$；(2) $a^{11}$；(3) $47m^6$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题属于幂运算的基础常规题型，核心考查对幂的三类运算法则的掌握熟练度，解题时需格外注意负数乘方的符号判断、指数的运算规则，避免因符号或指数计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
