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16. 已知$x$为正整数，且$2^{x+3} · 3^{x+3} = 36^{x-2}$，求$x$的值.
答案
$\because 2^{x+3} · 3^{x+3} = 6^{x+3} = 6^{2(x-2)},\therefore x + 3 = 2(x - 2). \therefore x = 7$
解析
【分析】
首先观察等式结构，左边是底数不同、指数相同的两个幂相乘，可逆用积的乘方运算性质将其化简为底数为6的幂；再将右边的底数36转化为6²，利用幂的乘方法则也转化为底数为6的幂；当两个底数不为0且不为1的同底数幂相等时，指数必然相等，据此列一元一次方程即可求解x的值。
【解析】
解：逆用积的乘方运算性质，得
$2^{x+3} · 3^{x+3} = (2×3)^{x+3} = 6^{x+3}$
利用幂的乘方运算性质化简等式右边：
$36^{x-2} = (6^2)^{x-2} = 6^{2(x-2)}$
因为$6^{x+3}=6^{2(x-2)}$，且底数$6≠0,6≠1$，所以指数相等，可得方程：
$x + 3 = 2(x - 2)$
去括号得：$x + 3 = 2x - 4$
移项合并同类项得：$x = 7$
经检验，x=7是正整数，符合题意。
【答案】
$x=7$
【知识点】
积的乘方，幂的乘方，一元一次方程求解
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活运用，解题关键是通过公式的正向、逆向使用将等式两边转化为同底数幂，再根据同底数幂相等的性质列方程求解，需要熟练掌握幂的运算法则，区分不同运算法则的使用场景。
【难度系数】
0.8
首先观察等式结构，左边是底数不同、指数相同的两个幂相乘，可逆用积的乘方运算性质将其化简为底数为6的幂；再将右边的底数36转化为6²，利用幂的乘方法则也转化为底数为6的幂；当两个底数不为0且不为1的同底数幂相等时，指数必然相等，据此列一元一次方程即可求解x的值。
【解析】
解：逆用积的乘方运算性质，得
$2^{x+3} · 3^{x+3} = (2×3)^{x+3} = 6^{x+3}$
利用幂的乘方运算性质化简等式右边：
$36^{x-2} = (6^2)^{x-2} = 6^{2(x-2)}$
因为$6^{x+3}=6^{2(x-2)}$，且底数$6≠0,6≠1$，所以指数相等，可得方程：
$x + 3 = 2(x - 2)$
去括号得：$x + 3 = 2x - 4$
移项合并同类项得：$x = 7$
经检验，x=7是正整数，符合题意。
【答案】
$x=7$
【知识点】
积的乘方，幂的乘方，一元一次方程求解
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活运用，解题关键是通过公式的正向、逆向使用将等式两边转化为同底数幂，再根据同底数幂相等的性质列方程求解，需要熟练掌握幂的运算法则，区分不同运算法则的使用场景。
【难度系数】
0.8
17. (1) 已知$n$为正整数，且$x^n=5$，$y^n=3$，求$(x^2y)^{2n}$的值；
(2) 已知$n$为正整数，且$(x^n)^2=9$，求$(\dfrac{1}{3}x^{3n})^2 - 3(x^2)^{2n}$的值。
(2) 已知$n$为正整数，且$(x^n)^2=9$，求$(\dfrac{1}{3}x^{3n})^2 - 3(x^2)^{2n}$的值。
答案
17. (1) 原式$=x^{4n}y^{2n}=(x^n)^4(y^n)^2=5^4 × 3^2=5625$ (2) $\because (x^n)^2=9,\therefore x^{2n}=9. \therefore$ 原式$=\dfrac{1}{9}x^{6n}-3x^{4n}=\dfrac{1}{9}(x^{2n})^3-3(x^{2n})^2=\dfrac{1}{9}×9^3-3×9^2=-162$
解析
【分析】
(1) 解题时先运用积的乘方、幂的乘方运算法则，将待求式$(x^2y)^{2n}$展开变形，转化为含已知条件$x^n$、$y^n$的形式，再代入数值计算即可。其中积的乘方是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方是底数不变，指数相乘。
(2) 先根据已知条件$(x^n)^2=9$求出$x^{2n}$的值，再将待求式利用积的乘方、幂的乘方法则展开，变形为含$x^{2n}$的形式，最后代入$x^{2n}$的数值计算结果。
【解析】
(1) 利用幂的运算性质展开变形原式：
$\begin{aligned}(x^2y)^{2n}&=(x^2)^{2n}· y^{2n}\\&=x^{4n}y^{2n}\\&=(x^n)^4· (y^n)^2\end{aligned}$
将$x^n=5$，$y^n=3$代入上式：
原式$=5^4×3^2=625×9=5625$
(2) 先由已知推导$x^{2n}$的值：
$\because (x^n)^2=x^{2n}=9$
再展开待求式并变形：
$\begin{aligned}(\dfrac{1}{3}x^{3n})^2 - 3(x^2)^{2n}&=(\dfrac{1}{3})^2· (x^{3n})^2 - 3· x^{4n}\\&=\dfrac{1}{9}x^{6n} - 3x^{4n}\\&=\dfrac{1}{9}(x^{2n})^3 - 3(x^{2n})^2\end{aligned}$
将$x^{2n}=9$代入上式：
原式$=\dfrac{1}{9}×9^3 - 3×9^2=81 - 243=-162$
【答案】
(1) $\boxed{5625}$；(2) $\boxed{-162}$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；整体代入求值
【点评】
本题核心考查幂的运算性质的灵活运用，解题关键是熟练掌握幂的乘方、积的乘方的运算规则，能将待求式变形为含已知条件的形式后整体代入计算，运算时要注意指数的变化规律，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先运用积的乘方、幂的乘方运算法则，将待求式$(x^2y)^{2n}$展开变形，转化为含已知条件$x^n$、$y^n$的形式，再代入数值计算即可。其中积的乘方是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方是底数不变，指数相乘。
(2) 先根据已知条件$(x^n)^2=9$求出$x^{2n}$的值，再将待求式利用积的乘方、幂的乘方法则展开，变形为含$x^{2n}$的形式，最后代入$x^{2n}$的数值计算结果。
【解析】
(1) 利用幂的运算性质展开变形原式：
$\begin{aligned}(x^2y)^{2n}&=(x^2)^{2n}· y^{2n}\\&=x^{4n}y^{2n}\\&=(x^n)^4· (y^n)^2\end{aligned}$
将$x^n=5$，$y^n=3$代入上式：
原式$=5^4×3^2=625×9=5625$
(2) 先由已知推导$x^{2n}$的值：
$\because (x^n)^2=x^{2n}=9$
再展开待求式并变形：
$\begin{aligned}(\dfrac{1}{3}x^{3n})^2 - 3(x^2)^{2n}&=(\dfrac{1}{3})^2· (x^{3n})^2 - 3· x^{4n}\\&=\dfrac{1}{9}x^{6n} - 3x^{4n}\\&=\dfrac{1}{9}(x^{2n})^3 - 3(x^{2n})^2\end{aligned}$
将$x^{2n}=9$代入上式：
原式$=\dfrac{1}{9}×9^3 - 3×9^2=81 - 243=-162$
【答案】
(1) $\boxed{5625}$；(2) $\boxed{-162}$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；整体代入求值
【点评】
本题核心考查幂的运算性质的灵活运用，解题关键是熟练掌握幂的乘方、积的乘方的运算规则，能将待求式变形为含已知条件的形式后整体代入计算，运算时要注意指数的变化规律，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
18. 已知$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$，$n$是正整数，求$a^{2n+3} · b^{2n+1} · b^4$的值.
答案
原式$=a^{2n} · a^3 · b^{2n} · b · b^4=(ab)^{2n} · a^3 · b^5=[\dfrac{1}{2} × (-2)]^{2n} × (\dfrac{1}{2})^3 × (-2)^5=(-1)^{2n} × \dfrac{1}{8} × (-32)=-4$
解析
【分析】
解题时先观察式子结构，第一步先运用同底数幂的乘法法则合并含b的项；再根据指数含相同2n的特点，拆分幂的指数，凑出底数不同、指数相同的项，逆用积的乘方公式合并，就能将a、b的乘积凑为整数值简化计算；最后代入数值，结合负数偶次幂的性质计算结果即可。
【解析】
第一步，合并同底数幂：
原式$=a^{2n+3} · b^{(2n+1)+4}=a^{2n+3} · b^{2n+5}$
第二步，拆分指数，凑相同指数项：
$=a^{2n} · a^3 · b^{2n} · b^5$
第三步，逆用积的乘方公式$(ab)^n=a^n b^n$变形：
$=(ab)^{2n} · a^3 · b^5$
第四步，代入$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$计算：
$=[\frac{1}{2} × (-2)]^{2n} × (\frac{1}{2})^3 × (-2)^5$
因为n是正整数，$2n$为偶数，所以$(-1)^{2n}=1$，且$(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$，$(-2)^5=-32$，代入得：
$=1 × \frac{1}{8} × (-32)=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
同底数幂的乘法，积的乘方逆运算，乘方符号法则
【点评】
本题侧重考查幂的运算法则的灵活应用，逆用积的乘方公式是简化计算的核心，解题时要注意识别相同指数的项，计算乘方时要区分负数奇偶次幂的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时先观察式子结构，第一步先运用同底数幂的乘法法则合并含b的项；再根据指数含相同2n的特点，拆分幂的指数，凑出底数不同、指数相同的项，逆用积的乘方公式合并，就能将a、b的乘积凑为整数值简化计算；最后代入数值，结合负数偶次幂的性质计算结果即可。
【解析】
第一步，合并同底数幂：
原式$=a^{2n+3} · b^{(2n+1)+4}=a^{2n+3} · b^{2n+5}$
第二步，拆分指数，凑相同指数项：
$=a^{2n} · a^3 · b^{2n} · b^5$
第三步，逆用积的乘方公式$(ab)^n=a^n b^n$变形：
$=(ab)^{2n} · a^3 · b^5$
第四步，代入$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$计算：
$=[\frac{1}{2} × (-2)]^{2n} × (\frac{1}{2})^3 × (-2)^5$
因为n是正整数，$2n$为偶数，所以$(-1)^{2n}=1$，且$(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$，$(-2)^5=-32$，代入得：
$=1 × \frac{1}{8} × (-32)=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
同底数幂的乘法，积的乘方逆运算，乘方符号法则
【点评】
本题侧重考查幂的运算法则的灵活应用，逆用积的乘方公式是简化计算的核心，解题时要注意识别相同指数的项，计算乘方时要区分负数奇偶次幂的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
1. 计算$x^6 ÷ x^2$的结果是 【 】
A.$x^2$
B.$x^8$
C.$x^3$
D.$x^4$
A.$x^2$
B.$x^8$
C.$x^3$
D.$x^4$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察算式的特征，本题是两个同底数幂相除的运算，首先回忆同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，套用该法则计算出结果后匹配对应选项即可。
【解析】
根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$x^6 ÷ x^2 = x^{6-2} = x^4$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查同底数幂除法法则的识记与应用，解题时注意区分同底数幂除法的“指数相减”和同底数幂乘法的“指数相加”，避免混淆法则导致出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察算式的特征，本题是两个同底数幂相除的运算，首先回忆同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，套用该法则计算出结果后匹配对应选项即可。
【解析】
根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$x^6 ÷ x^2 = x^{6-2} = x^4$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查同底数幂除法法则的识记与应用，解题时注意区分同底数幂除法的“指数相减”和同底数幂乘法的“指数相加”，避免混淆法则导致出错。
【难度系数】
0.9
2. 下列各式中，计算正确的是 【 】
A.$b^{10} ÷ b^{5} = b^{2}$
B.$b^{12} ÷ b^{4} = b^{3}$
C.$b^{2} ÷ b^{2} = b$
D.$b^{6} ÷ b^{4} = b^{2}$
A.$b^{10} ÷ b^{5} = b^{2}$
B.$b^{12} ÷ b^{4} = b^{3}$
C.$b^{2} ÷ b^{2} = b$
D.$b^{6} ÷ b^{4} = b^{2}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查同底数幂的除法运算，解题思路为：首先回忆同底数幂的除法运算法则，明确运算时底数不变、指数相减，同时牢记非零数的0次幂等于1；再逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比，即可选出正确选项。
【解析】
同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，公式为$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，且$m≥ n$）；当$m=n$时，$a^0=1(a≠0)$。
我们逐一计算各选项：
A选项：$b^{10}÷ b^5 = b^{10-5}=b^5≠ b^2$，计算错误；
B选项：$b^{12}÷ b^4 = b^{12-4}=b^8≠ b^3$，计算错误；
C选项：$b^2÷ b^2 = b^{2-2}=b^0=1≠ b$，计算错误；
D选项：$b^6÷ b^4 = b^{6-4}=b^2$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法运算、零指数幂的性质
【点评】
本题属于基础运算题，核心考察对同底数幂除法法则的掌握，解题时要注意区分幂的各类运算法则，避免出现指数相除、指数相加这类运算错误，同时要牢记非零数的0次幂为1的性质。
【难度系数】
0.9
本题考查同底数幂的除法运算，解题思路为：首先回忆同底数幂的除法运算法则，明确运算时底数不变、指数相减，同时牢记非零数的0次幂等于1；再逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比，即可选出正确选项。
【解析】
同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，公式为$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，且$m≥ n$）；当$m=n$时，$a^0=1(a≠0)$。
我们逐一计算各选项：
A选项：$b^{10}÷ b^5 = b^{10-5}=b^5≠ b^2$，计算错误；
B选项：$b^{12}÷ b^4 = b^{12-4}=b^8≠ b^3$，计算错误；
C选项：$b^2÷ b^2 = b^{2-2}=b^0=1≠ b$，计算错误；
D选项：$b^6÷ b^4 = b^{6-4}=b^2$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法运算、零指数幂的性质
【点评】
本题属于基础运算题，核心考察对同底数幂除法法则的掌握，解题时要注意区分幂的各类运算法则，避免出现指数相除、指数相加这类运算错误，同时要牢记非零数的0次幂为1的性质。
【难度系数】
0.9
