3. 如果$a^9 ÷ ( ) = a^3$，那么括号内应填 【 】

A.$a^3$
B.$a^6$
C.$a^{12}$
D.$\pm a^6$

B

【分析】
要解决这道题，首先明确我们需要求除法算式中的除数，根据除法各部分之间的关系：除数=被除数÷商，再结合同底数幂的除法运算规则即可计算出结果。首先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，且运算中底数保持一致，不需要额外添加正负符号。
【解析】
设括号内应填的代数式为$x$，根据题意可得：
$a^9 ÷ x = a^3$
根据除法各部分关系，变形得：
$x = a^9 ÷ a^3$
根据同底数幂的除法法则$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，$m＞n$），代入$m=9$，$n=3$：
$x = a^{9-3} = a^6$
注意同底数幂运算中底数需保持一致，原式被除数的底数为$a$，因此除数的底数也为$a$，无需额外添加正负符号，排除D选项，对应结果为选项B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的除法法则；除法各部分关系
【点评】
本题考查同底数幂除法的逆用，属于基础题型，解题关键是熟练掌握同底数幂的运算规则，注意运算时底数保持一致，避免混淆指数的运算方式，同时不要多添不必要的正负符号。
【难度系数】
0.8

4. 有下列各式:①$x^{12} ÷ x$；②$x^{10} ÷ x^{2} · x^{2}$；③$(x^{2})^{3}$；④$(x^{5})^{2} ÷ x^{4}$。其中,结果为$x^{6}$的是
【 】

A.①②
B.②③
C.①③
D.③④

D

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先回忆同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则，明确运算顺序（先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右），然后逐一计算四个式子的运算结果，筛选出结果为$x^6$的式子，最后对应选出正确选项。
【解析】
根据幂的运算法则逐一计算各式：
① 同底数幂相除，底数不变，指数相减：$x^{12} ÷ x = x^{12-1}=x^{11}$，不符合要求；
② 同级运算从左到右依次计算：先算除法$x^{10} ÷ x^{2}=x^{10-2}=x^8$，再算乘法$x^8 · x^2=x^{8+2}=x^{10}$，不符合要求；
③ 幂的乘方，底数不变，指数相乘：$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6$，符合要求；
④ 先算幂的乘方，再算除法：$(x^5)^2=x^{5×2}=x^{10}$，再计算$x^{10}÷x^4=x^{10-4}=x^6$，符合要求。
综上，结果为$x^6$的是③④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题侧重考查幂的基本运算规则的应用，解题时需注意运算顺序，同级运算要从左到右计算，熟练掌握各类幂运算的公式是做对这类题的核心。
【难度系数】
0.7

5. 填空:(1) $10^5 ÷ \_\_\_\_\_\_ = 10^2$; (2) $(-a)^5 ÷ (-a^4) = \_\_\_\_\_\_$; (3) $(2a)^7 ÷ (2a)^4 = \_\_\_\_\_\_$; (4) $(a+b)^5 ÷ (a+b) = \_\_\_\_\_\_$.

(1) $10^3$ (2) $a$ (3) $8a^3$ (4) $(a+b)^4$

【分析】
解题前先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，且$m＞n$）。解题时：1. 第(1)题根据除法各部分的关系，除数=被除数÷商，直接套用同底数幂除法法则计算；2. 第(2)题先化简幂的符号，转化为同底数幂后再计算，注意负号的运算；3. 第(3)题把$(2a)$看作整体先算同底数幂除法，再用积的乘方法则展开；4. 第(4)题把$(a+b)$看作整体，直接套用同底数幂除法法则计算即可。
【解析】
(1) 根据除数=被除数÷商，可得：
括号内的数$=10^5÷10^2=10^{5-2}=10^3$
(2) 先化简$(-a)^5=-a^5$，代入原式得：
原式$=(-a^5)÷(-a^4)=a^5÷ a^4=a^{5-4}=a$
(3) 把$(2a)$看作整体，按同底数幂除法计算：
原式$=(2a)^{7-4}=(2a)^3=2^3· a^3=8a^3$
(4) 把$(a+b)$看作整体，按同底数幂除法计算：
原式$=(a+b)^{5-1}=(a+b)^4$
【答案】
(1) $10^3$ (2) $a$ (3) $8a^3$ (4) $(a+b)^4$
【知识点】
同底数幂的除法，积的乘方运算，整体思想计算
【点评】
本题是同底数幂除法的基础应用题，解题时要注意区分幂的符号，对于底数是多项式的运算可以将多项式看作整体简化计算，平时要熟练掌握幂的相关运算法则，避免符号和指数计算错误。
【难度系数】
0.8

6. 计算:(1) $(3x^2)^5 ÷ (3x^2)^3 =$ ; (2) $x^6 ÷ x^4 · x^2 =$ .

6. (1) $9x^4$ (2) $x^4$

【分析】
这两道题均考查幂的运算规则，解题思路如下：
(1) 观察算式发现被除数和除数的底数均为$3x^2$，属于同底数幂的除法运算，优先运用同底数幂除法法则化简，再通过积的乘方、幂的乘方法则计算最终结果；
(2) 同底数幂的乘除为同级运算，按照从左到右的顺序，依次运用同底数幂除法、乘法的规则，仅对指数做对应运算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，$m＞n$）可得：
$(3x^2)^5÷(3x^2)^3=(3x^2)^{5-3}=(3x^2)^2$
再根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$和幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$计算：
$(3x^2)^2=3^2×(x^2)^2=9x^4$
(2) 同底数幂乘除按从左到右顺序计算：
先算除法：$x^6÷ x^4=x^{6-4}=x^2$
再算乘法：$x^2· x^2=x^{2+2}=x^4$
也可直接合并指数运算：$x^6÷ x^4· x^2=x^{6-4+2}=x^4$
【答案】
(1) $9x^4$；(2) $x^4$
【知识点】
同底数幂乘除运算，积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础考查题型，核心是对幂的各类运算法则的熟练掌握，解题时需注意运算顺序，牢记运算时底数保持不变，仅对指数进行对应计算，避免出现底数也参与乘除运算的低级错误。
【难度系数】
0.9

7. 已知$2^a = 6$，$2^b = 3$，则$2^{a-b}$的值为。

7. 2

【分析】
解题时先观察所求代数式的指数为两个指数的差的形式，可联想到同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，逆用该法则即可将$2^{a-b}$转化为$2^a÷2^b$的形式，再代入题目给出的已知数值计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂除法法则的逆用可得：
$2^{a-b}=2^a÷2^b$
将已知$2^a=6$，$2^b=3$代入上式：
$2^{a-b}=6÷3=2$
【答案】
2
【知识点】
同底数幂的除法；幂的运算逆应用
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对同底数幂除法法则的灵活运用，熟练掌握各类幂的运算性质及其逆用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9

8. 若$3x - y = 1$，则$8^x ÷ 2^y ÷ 2$的值为________

8. 1

【分析】
解题时先观察所求式子的底数特征，发现底数8可转化为2³，因此第一步先将$8^x$改写为以2为底的幂，使整个式子的底数统一为2；再根据同底数幂的除法法则，将除法运算转化为指数的减法运算；最后将已知条件$3x-y=1$整体代入化简后的指数式，即可求出结果。
【解析】
首先对所求式子进行变形：
∵ $8 = 2^3$
∴ $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$（幂的乘方，底数不变，指数相乘）
则原式可改写为：
$2^{3x} ÷ 2^y ÷ 2$
根据同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数），且$2=2^1$，可得：
$2^{3x} ÷ 2^y ÷ 2^1 = 2^{3x - y - 1}$
已知$3x - y = 1$，将其代入上式：
原式 = $2^{1 - 1} = 2^0 = 1$（任何不等于0的数的0次幂都等于1）
【答案】
1
【知识点】
1. 幂的乘方运算
2. 同底数幂的除法法则
3. 零指数幂的性质
【点评】
本题是幂的运算性质的综合应用类题目，解题核心是先统一幂的底数，再结合已知条件整体代入求值，解题的关键是熟练掌握幂的各类运算法则，避免出现指数运算错误。
【难度系数】
0.8

9. 计算：
(1) $(-x)^8 ÷ x^2$；
(2) $(3m^2)^5 ÷ (3m^2)^3$；
(3) $(-2x)^2 · (-2x)^4 ÷ (-2x)^3$；
(4) $(a-b)^3 · (a-b)^6 ÷ (a-b)^2$。

(1) $x^6$ (2) $9m^4$ (3) $-8x^3$ (4) $(a-b)^7$

【分析】
解题需用到幂的相关运算法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$；②同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，$m＞n$）；③幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$；④积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n=a^n b^n$。当底数是多项式时，可将多项式看作整体进行运算。具体解题思路：
(1)先利用负数偶次幂为正化简$(-x)^8$，再用同底数幂除法法则计算；
(2)先将$3m^2$看作整体，用同底数幂除法法则化简，再用积的乘方、幂的乘方法则计算；
(3)将$-2x$看作整体，先按同底数幂乘除法则合并指数，再用积的乘方法则计算；
(4)将$(a-b)$看作整体，按同底数幂乘除法则合并指数即可。
【解析】
(1) 负数的偶次幂为正，因此$(-x)^8=x^8$，再计算同底数幂除法：
$\begin{aligned}(-x)^8 ÷ x^2&=x^8÷x^2\\&=x^{8-2}\\&=x^6\end{aligned}$
(2) 将$3m^2$看作统一底数，按同底数幂除法法则化简：
$\begin{aligned}(3m^2)^5 ÷ (3m^2)^3&=(3m^2)^{5-3}\\&=(3m^2)^2\\&=3^2·(m^2)^2\\&=9m^4\end{aligned}$
(3) 将$-2x$看作统一底数，指数先加后减合并：
$\begin{aligned}(-2x)^2 · (-2x)^4 ÷ (-2x)^3&=(-2x)^{2+4-3}\\&=(-2x)^3\\&=(-2)^3·x^3\\&=-8x^3\end{aligned}$
(4) 将$(a-b)$看作整体作为统一底数运算：
$\begin{aligned}(a-b)^3 · (a-b)^6 ÷ (a-b)^2&=(a-b)^{3+6-2}\\&=(a-b)^7\end{aligned}$
【答案】
(1) $x^6$ (2) $9m^4$ (3) $-8x^3$ (4) $(a-b)^7$
【知识点】
同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，解题核心是准确识别底数，注意符号的处理，遇到多项式作为底数时可将其视为整体运算，熟练掌握幂的各类运算法则是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8

10. 已知$a^m=3$，$a^n=12$，求$a^{3m-2n}$的值.

$\dfrac{3}{16}$

【分析】
解题时首先观察待求式的指数形式为3m-2n，可根据指数运算的规则逆用公式拆解：首先逆用同底数幂的除法法则，将指数的差转化为两个幂的除法，即$a^{3m-2n}=a^{3m}÷ a^{2n}$；再逆用幂的乘方法则，将指数的乘积转化为幂的乘方形式，即$a^{3m}=(a^m)^3$，$a^{2n}=(a^n)^2$，最后代入已知的$a^m$和$a^n$的值计算即可。
【解析】
根据幂的运算性质逆用公式：
$\begin{aligned}a^{3m-2n}&=a^{3m}÷ a^{2n} \quad \mathrm{（逆用同底数幂的除法法则）}\\&=(a^m)^3÷ (a^n)^2 \quad \mathrm{（逆用幂的乘方法则）}\end{aligned}$
将$a^m=3$，$a^n=12$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3^3÷ 12^2\\&=27÷ 144\\&=\frac{3}{16}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{3}{16}$
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方；幂的运算法则逆用
【点评】
本题是幂的运算的基础常考题，解题核心是熟练掌握幂的运算性质，能够根据待求式的指数特征灵活逆用公式，将待求式转化为含已知条件的形式后代入计算即可。
【难度系数】
0.7