1. (2025·南京期中)定义:设$x_1$、$x_2$是方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根,若满足$|x_1+x_2|=|x_1x_2|$,则称此类方程为“和谐方程”.例如,方程$x^2=0$是“和谐方程”.
(1)下列方程是“和谐方程”的是______.
①$x^2 - x = 0$;②$x^2 - 4x + 4 = 0$;③$(x + 1)(x - \dfrac{1}{2})=0$.
(2)若方程$x^2-(m+2)x+2m=0$是“和谐方程”,求$m$的值.
(3)若方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$为“和谐方程”,直接写出$b$、$c$满足的数量关系.

②③
; 解：​$(2) $​因为​$a = 1，$​​$b=-(m + 2)，$​​$c = 2m，$​根据韦达定理​$x_{1} + x_{2}=-\frac {b}{a}=m + 2，$​​$x_{1}x_{2}=\frac {c}{a}=2m。$​​$ $​因为方程​$x^2-(m + 2)x + 2m = 0$​是​$“$​和谐方程​$”，$​所以​$\vert x_{1} + x_{2}\vert =\vert x_{1}x_{2}\vert ，$​即​$\vert m + 2\vert =\vert 2m\vert 。$​​$ $​两边同时平方可得​$(m + 2)^2=4\ \mathrm {m^2}，$​展开得​$\mathrm {m^2}+4m + 4 = 4\ \mathrm {m^2}，$​移项化为​$3\ \mathrm {m^2}-4m - 4 = 0。$​​$ $​因式分解为​$(3m + 2)(m - 2)=0，$​解得​$m = 2$​或​$m=-\frac {2}{3}。$​​$ (3) $​对于​$ax^2+bx + c = 0(a\neq 0)，$​由韦达定理得​$x_{1} + x_{2}=-\frac {b}{a}，$​​$x_{1}x_{2}=\frac {c}{a}。$​​$ $​因为方程​$ax^2+bx + c = 0$​为​$“$​和谐方程​$”，$​所以​$\vert -\frac {b}{a}\vert =\vert \frac {c}{a}\vert ，$
​又因为​$a\neq 0，$​所以​$\vert b\vert =\vert c\vert ，$​即​$b^2=c^2($​或​$b = \pm c)。$​

2. (2025·宿迁期中)定义:已知$x_1$、$x_2$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根,若$x_1＜x_2＜0$,且$3＜\dfrac{x_1}{x_2}＜4$,则称这个方程为“限根方程”.如:一元二次方程$x^2+13x+30=0$的两根为$x_1=-10,x_2=-3$,因为$-10＜-3＜0,3＜\dfrac{-10}{-3}＜4$,所以一元二次方程$x^2+13x+30=0$为“限根方程”.
请阅读以上材料,回答下列问题:
(1)判断:一元二次方程$x^2+14x+33=0$______“限根方程”(填“是”或“不是”);
(2)若关于$x$的一元二次方程$x^2+kx+k+5=0$是“限根方程”,且两根$x_1$、$x_2$满足$x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-25=0$,求$k$的值;
(3)若关于$x$的一元二次方程$x^2+(2-m)x-2m=0$是“限根方程”,求$m$的取值范围.

是
; 解：​$(2) $​根据根与系数的关系得​$x_{1} + x_{2}=-k，$​​$x_{1}x_{2}=k + 5。$​​$ $​因为​$x_{1}^2+x_{2}^2-2x_{1}x_{2}-25 = 0，$​根据完全平方公式​$(x_{1} + x_{2})^2-4x_{1}x_{2}-25 = 0。$​​$ $​将​$x_{1} + x_{2}=-k，$​​$x_{1}x_{2}=k + 5$​代入得​$(-k)^2-4(k + 5)-25 = 0，$​即​$k^2-4k-20 - 25 = 0，$​​$k^2-4k-45 = 0。$​​$ $​因式分解得​$(k - 9)(k + 5)=0，$​解得​$k_{1} = 9，$​​$k_{2}=-5。$​​$ $​当​$k = 9$​时，方程化为​$x^2+9x + 14 = 0，$​因式分解为​$(x + 2)(x+7)=0，$​解得​$x_{1}=-2，$​​$x_{2}=-7。$​​$ $​因为​$-7<- 2<0，$​​$3<\frac {-7}{-2}= \frac {7}{2}<4，$​所以方程​$x^2+9x + 14 = 0$​是​$“$​限根方程​$”。$​​$ $​当​$k=-5$​时，方程化为​$x^2-5x = 0，$​因式分解为​$x(x - 5)=0，$​解得​$x_{1} = 0，$​​$x_{2} = 5，$​因为​$0<5，$​所以方程​$x^2-5x = 0$​不是​$“$​限根方程​$”，$​综上所述，​$k$​的值为​$9。$​​$ (3)x^2+(2 - m)x-2m = 0，$​因式分解得​$(x - m)(x + 2)=0，$​则​$x - m = 0$​或​$x + 2 = 0，$​解得​$x = m_{或}x=-2。$​​$ $​当​$m<- 2<0$​时，​$3<\frac {m}{-2}<4，$​不等式两边同时乘以​$-2，$​不等号变向，得​$-8＜m＜-6$​​$ $​当​$-2＜m＜0$​时，​$3<\frac {-2}{m}<4，$​由​$3<\frac {-2}{m}$​得​$3m<- 2，$​即​$m<-\frac {2}{3}；$​由​$\frac {-2}{m}<4$​得​$\frac {-2}{m}-4<0，$​即​$\frac {-2 - 4m}{m}<0，$​等价于​$\begin {cases}-2-4m<0\\m >0\end {cases}$​或​$\begin {cases}-2 - 4m>0\\m <0\end {cases}，$​解得​$m>-\frac {1}{2}$​或​$m<-\frac {1}{2}，$​结合​$-2＜m＜0$​得​$-\frac {2}{3}＜m＜-\frac {1}{2}$​ 综上所述，​$m $​的取值范围为​$-8＜m＜-6$​或​$-\frac {2}{3}＜m＜-\frac {1}{2}$​

3. (2024·常州模拟)给出如下定义:点$P(x_1,y_1)$,点$Q(x_2,y_2)$是平面直角坐标系$xOy$中不同的两点,且$x_1≠x_2$,若存在一个正数$k$,使点$P、Q$的坐标满足$|y_2-y_1|=k|x_2-x_1|$,则称$P、Q$为一对“斜关点”,$k$叫点$P、Q$的“斜关比”,记作$k(P,Q)$.由定义可知,$k(P,Q)=k(Q,P)$.例如:若$P(1,0),Q(3,\dfrac{1}{2})$,有$\left|\dfrac{1}{2}-0\right|=\dfrac{1}{4}×|3-1|$,所以点$P、Q$为一对“斜关点”,且“斜关比”为$\dfrac{1}{4}$.
如图,已知在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(1,0)、B(3,1)、C(3,0)、D(3,-3)$.
(1)在点$A、B、C、D$中,写出一对“斜关点”是________,此两点的“斜关比”是________;(只需写出一对即可)
(2)若存在点$E$,使得点$A、E$是一对“斜关点”,点$C、E$也是一对“斜关点”,且$k(A,E)=k(C,E)=2$,求点$E$的坐标;
(3)若$\odot O$的半径是$4$,$M$是$\odot O$上一点,满足$MT=1$的所有点$T$,都与点$D$是一对“斜关点”,且$k(T,D)≥1$.请直接写出点$M$的横坐标$m$的取值范围.

$A$、$B$ ; $\frac{1}{2}$ ; 解：​$(2) $​设点​$E(x，y)，$​因为点​$A(1，0)，$​​$C(3，0)，$​点​$A、$​​$E$​是一对​$“$​斜关点​$”，$​点​$C、$​​$E$​也是一对​$“$​斜关点​$”，$​且​$k(A，E)=k(C，E)=2。$​​$ $​所以​$\vert y - 0\vert =2\vert x - 1\vert ，$​​$\vert y - 0\vert =2\vert x - 3\vert ，$​则​$2\vert x - 1\vert =2\vert x - 3\vert ，$​即​$\vert x - 1\vert =\vert x - 3\vert 。$​​$ $​当​$x - 1=x - 3$​时，​$-1=-3，$​无解；当​$x - 1=-(x - 3)$​时，​$x - 1=-x + 3，$​​$2x=4，$​解得​$x = 2。$​​$ $​把​$x = 2$​代入​$\vert y - 0\vert =2\vert x - 1\vert ，$​得​$\vert y\vert =2，$​​$y=\pm 2，$​所以点​$E$​的坐标为​$(2，2)$​或​$(2，-2)。$​​$ (3) \frac {\sqrt {2}-\sqrt {30}}{2}\leqslant m<2。$​