9. 在等边三角形 $ ABC $ 中，$ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $，半圆 $ O $ 的直径 $ EF $ 开始在边 $ BC $ 上，且点 $ E $ 与点 $ C $ 重合，$ EF = 4 $。将半圆 $ O $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转 $ α $（$ 0° ＜ α ≤ 90° $），当 $ α = 60° $ 时，半圆 $ O $ 与 $ AD $ 相切于点 $ P $。如图①所示。
(1) 求 $ AC $ 的长度。
(2) 如图②，当 $ AC $、$ BC $ 分别与半圆 $ O $ 交于点 $ M $、$ N $ 时，连接 $ MN $、$ OM $、$ ON $。
① 求 $ ∠ MON $ 的度数；
② 求 $ MN $ 的长度。
(3) 当 $ α = 90° $ 时，将半圆 $ O $ 沿边 $ BC $ 向左平移，设平移距离为 $ x $。当 $ \overset{\frown}{EF} $ 与 $ △ ABC $ 的边一共有两个交点时，直接写出 $ x $ 的取值范围。

备用图

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; 解​$： (1) $​如图​$①，$​连接​$OP，$​在等边三角形​$ABC$​中，​$AD\perp BC$​于点​$D，$​所以​$∠CAD = 30°。$​​$ $​因为半圆​$O$​与​$AD$​相切于点​$P，$​所以​$∠APO = 90°，$​​$OP = OC=\frac {1}{2}EF = 2，$​所以​$AO = 2OP = 4，$​所以​$AC = AO + OC = 6。$​​$ (2) ①$​由题意可知，点​$M、$​​$N$​在半圆​$O$​上，所以​$∠MON = 2∠MCN = 2×60°=120°。$​ ②如图②，过点​$O$​作​$OP\perp MN$​于点​$P，$​因为​$∠MON = 120°，$​​$OM = ON=\frac {1}{2}EF = 2，$​​$MN = 2PN，$​所以​$∠ONM = 30°，$​所以​$OP=\frac {1}{2}ON = 1，$​​$PN=\sqrt {ON^2-OP^2}=\sqrt {3}，$​所以​$MN = 2\sqrt {3}。$​​$ (3)0\leqslant x\leqslant \frac {4\sqrt {3}}{3}$​或​$x = 6 - 2\sqrt {3}$​或​$6-\frac {4\sqrt {3}}{3}$​

10. (2025·南京期中)图①是一把“U形”尺,图②是该尺内侧的示意图,已知边$AB⊥BC$,边$CD⊥BC$,$AB=CD=6\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$.
算一算
将该尺摆放在一些圆上,测量并计算圆的半径$r$.
(1)如图③,点$A$、$B$、$C$、$D$恰好都在圆上,则$r=$______$\mathrm{cm}$.
(2)如图④,该尺的$AB$边与圆相切于点$P$,且点$P$在该尺上的读数为$1\ \mathrm{cm}$,点$D$在圆上,则$r=$______$\mathrm{cm}$.
(3)如图⑤,该尺的$AB$边与圆有两个公共点$P$、$Q$,它们在该尺上的读数分别为$5\ \mathrm{cm}$,$1\ \mathrm{cm}$,$CD$边与圆也有两个公共点,其中一个公共点$R$在该尺上的读数为$2\ \mathrm{cm}$,求$r$的值.
想一想
(4)若将该尺摆放在一个圆上(尺子只摆放一次,圆的圆心未标注),一定可以通过测量并计算出该圆的半径$r$吗?如果可以,说明理由;如果不一定可以,请直接写出可计算出的$r$的最小值和最大值.

$\sqrt{13}$ ; $\frac{41}{8}$ ; 解: (3) 如图②，过点$O$作$OM\perp AB$于点$M，$
延长$MO$交$CD$于点$N，$连接$OQ$、$OR，$
因为$∠OMQ = 90°，$$MQ=\frac{1}{2}PQ。$ 因为$AB\perp BC，$$CD\perp BC，$$OM\perp AB，$
所以四边形$BCNM$为矩形，所以$∠ONR = 90°，$$BM = CN，$$MN = BC = 4\ cm。$ 由题意可知，$PB = 5\ cm，$$BQ = 1\ cm，$$CR = 2\ cm，$
所以$PQ = PB - BQ = 4\ cm，$
所以$MQ=\frac{1}{2}PQ = 2\ cm，$ 所以$BM = CN = MQ + BQ = 3\ cm，$
则$NR = CN - CR = 1\ cm，$
设$OM = x\ cm，$则$ON=(4 - x)\ cm。$ 在$Rt\triangle MOQ$中，$OQ^{2}=r^{2}=OM^{2}+MQ^{2}=x^{2}+2^{2}，$
在$Rt\triangle NOR$中，$OR^{2}=r^{2}=ON^{2}+NR^{2}=(4 - x)^{2}+1^{2}，$ 则$x^{2}+2^{2}=(4 - x)^{2}+1，$ $x^{2}+4 = 16 - 8x+x^{2}+1，$ $8x = 13，$解得$x=\frac{13}{8}，$
所以$r = OQ=\sqrt{(\frac{13}{8})^{2}+2^{2}}=\frac{5\sqrt{17}}{8}(cm)。$ (4) 不一定，$r$的最小值为$2\ cm，$最大值为$\frac{13}{2}\ cm。$