2. 阅读材料,回答下列问题:
【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,可以用来证明勾股定理,思路是大正方形的面积有两种求法,一种是等于$c^2$,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即$\frac{1}{2}ab × 4 + (b - a)^2$,从而得到等式$c^2 = \frac{1}{2}ab × 4 + (b - a)^2$,化简便得结论$a^2 + b^2 = c^2$.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”.

【方法运用】
千百年来,人们对勾股定理的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在2010年构造发现了一个新的证法:把两个全等的直角三角形($△ ABC$和$△ EDA$)如图2放置,其三边长分别为$a$、$b$、$c$,$∠ BAC = ∠ DEA = 90°$,显然$BC ⊥ AD$.
(1)请用$a$、$b$、$c$分别表示出四边形$ABDC$、梯形$AEDC$、$△ EBD$的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,证明勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$.
【方法迁移】
(2)请利用“双求法”解决下面的问题:如图3,正方形网格中每个小正方形的边长都为1,连接其中三个格点,可得$△ ABC$,则边$AB$上的高为________.
(3)如图4,在$△ ABC$中,$AD$是边$BC$上的高,$AB = 4$,$AC = 5$,$BC = 6$.设$BD = x$,求$x$的值.

$\frac{6\sqrt{5}}{5}$ ; ​$2. (1)$​证明：∵ ​$BC \perp AD$​，​$BC = AD = c$​，∴ ​$S_{四边形ABDC}=\frac {1}{2}BC·AD=\frac {1}{2}c^2$​。∵ ​$S_{梯形AEDC}=\frac {1}{2}(AC + ED)·AE=\frac {1}{2}(b + a)b$​，​$S_{\triangle BED}=\frac {1}{2}BE·ED=\frac {1}{2}(a - b)a$​，​$S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{\triangle BED}$​，∴ ​$\frac {1}{2}c^2=\frac {1}{2}(b + a)b+\frac {1}{2}(a - b)a$​，∴ ​$\frac {1}{2}c^2=\frac {1}{2}b^2+\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}a^2-\frac {1}{2}ab$​，∴ ​$a^2+b^2=c^2$​。(2) ​$\frac {6\sqrt {5}}{5}$​解析：设边​$AB$​上的高为​$h$​。则 ​$S_{\triangle ABC}=4×4-\frac {1}{2}×2×4-\frac {1}{2}×2×4-\frac {1}{2}×2×2 = 6$​，​$AB=\sqrt {2^2+4^2} = 2\sqrt {5}$​，∵ ​$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}AB×h=\frac {1}{2}×2\sqrt {5}h = 6$​，∴ ​$h=\frac {6\sqrt {5}}{5}$​，即边​$AB$​上的高是​$\frac {6\sqrt {5}}{5}$​。(3)∵ ​$BD + CD = BC = 6$​，∴ ​$CD = BC - BD = 6 - x$​。在​$Rt\triangle ABD$​中，由勾股定理得 ​$AD^2=AB^2-BD^2=4^2-x^2$​；在​$Rt\triangle ACD$​中，由勾股定理得 ​$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-(6 - x)^2$​。∴ ​$4^2-x^2=5^2-(6 - x)^2$​，∴ ​$x=\frac {9}{4}$​。