知识 梳理

1. 勾股定理:直角三角形__________的平方和等于__________的平方.

两条直角边
; 斜边

2. 勾股定理的逆定理:如果三角形三边分别为$a$、$b$、$c$，且______，那么这个三角形是直角三角形。

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

3. 勾股数
(1)满足关系$a^2+b^2=c^2$的3个________数$a$、$b$、$c$称为勾股数.
(2)常见勾股数:3、4、5;5、12、______;6、______、10;7、24、______;8、______、17.

正整
; 13
; 8
; 25
; 15

1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，则点$C$到$AB$的距离是（ ）
A. $\dfrac{5}{24}$
B. $\dfrac{24}{5}$
C. $10$
D. $\dfrac{3}{5}$

B

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$AD=6$,则$BC$的长为 （ ）
A. 6
B. 8
C. 12
D. 16

D

3. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$CD$ 为边 $AB$ 上的高,$CE$ 为边 $AB$ 上的中线,$AB=10$,$AD=2$,则 $CD$ 的长是______．

4

4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D为边AB的中点,点E在边AC上,且$BE\bot AC$.若$DE=\dfrac{5}{2},AE=4$,则边BC的长的平方为______.

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5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,$AC=9$,$AD ⊥ BC$于点$D$,$M$为$AD$上任一点,则$MC^2 - MB^2$的值为______.

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6. 如图,将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点D落在点F处,AF与BC相交于点E.
(1)求证:$△ ABE ≌ △ CFE$.
(2)若$AB=4$,$AD=8$,求$AE$的长.

(1)证明：
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$CD = AB，$$\angle D=\angle B = 90^{\circ}。$ 由折叠的性质，得$\angle F=\angle D=\angle B = 90^{\circ}，$$CF = CD，$所以$CF = AB。$ 又因为$\angle AEB=\angle CEF，$所以$\triangle ABE\cong\triangle CFE(AAS)。$ (2)因为四边形$ABCD$是长方形，所以$\angle B = 90^{\circ}，$$BC = AD = 8。$ 由
(1)，得$\triangle ABE\cong\triangle CFE，$所以$AE = CE。$ 设$AE = CE=x，$则$BE = BC - CE=8 - x。$ 在$Rt\triangle ABE$中，由勾股定理得$BE^{2}+AB^{2}=AE^{2}，$即$(8 - x)^{2}+4^{2}=x^{2}，$ 展开得$64-16x+x^{2}+16=x^{2}，$ 移项得$64 + 16=x^{2}-x^{2}+16x，$ 即$16x = 80，$解得$x = 5，$所以$AE = 5。$