2. 数学活动——折纸中的探索
【背景介绍】折纸艺术中蕴含着丰富的数学原理，通过折叠纸张，我们可以折出各种几何形状，并探索其中的数学关系.
【活动材料】长方形纸张、正方形纸张、尺子、铅笔.
【问题探究】
(1)如图1,把长方形的纸张ABCD沿对角线折叠,重合部分(△BDF)是一个等腰三角形吗？为什么？

(2)如图2,①对折长方形纸张ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸张展平;②再一次折叠纸张,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM.同时,得到线段BN.求证:∠NBC=30°.
(3)如图3,要求在正方形ABCD中折出一个等边三角形AMN,使点M、N分别在边BC、DC上.请画出折痕,并简要说明折叠过程.

解：（1）重合部分$\triangle BDF$是等腰三角形。理由如下： 因为$\triangle BED$由$\triangle BCD$沿$BD$折叠得到，所以$\triangle BED\cong\triangle BCD，$所以$\angle EBD=\angle CBD。$ 因为$AD// BC，$所以$\angle ADB=\angle CBD，$所以$\angle EBD=\angle ADB，$所以$FB = FD，$所以重合部分$\triangle BDF$是等腰三角形。 （2）证明：连接$AN，$由折叠可知$NB = AB，$$EF$垂直平分$AB，$ 所以$NA = NB，$所以$NA = NB = AB，$所以$\triangle ABN$是等边三角形，所以$\angle ABN = 60^{\circ}。$ 因为$\angle ABC = 90^{\circ}，$所以$\angle NBC=\angle ABC-\angle ABN=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}。$ （3）折叠过程如下：

①对折正方形纸张$ABCD，$使$AD$与$BC$重合，得到折痕$EF，$把纸张展平； ②折叠纸张，使$B$落在$EF$上，并使折痕经过点$A，$得到折痕$AH，$得到线段$AG，$把纸张展平，折出了$30^{\circ}$角； ③折叠纸张，使$AD$与$AG$重合，折痕交$CD$于点$N，$得到折痕$AN，$把纸张展平； ④折叠纸张，使$AB$与$AH$重合，折痕交$BC$于点$M，$得到折痕$AM，$把纸张展平，折出$15^{\circ}$角； ⑤过点$M$、$N$折叠，得到折痕$MN。$所以$\triangle AMN$就是要折叠的等边三角形。