9. 已知:如图,点A,B在$\odot O$上,$OA⊥ OB$,点C,D在$\overset{\frown}{AB}$上,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$。OC,OD分别交弦AB于点E,F。求证:$AE=BF=CD$。

9. 连结AC。因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$,所以$∠ AOC=∠ BOD$。因为$OA=OB$,所以$∠ BAO=∠ B=45°$,所以$△ AOE≌△ BOF$,所以$AE=BF$。因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$,所以$∠ AOC=∠ COD=∠ BOD=30°$,$CD=AC$。因为$∠ BAO=∠ B=45°$,所以$∠ AEC=∠ BAO+∠ AOC=75°$。因为$AO=CO$,所以$∠ ACO=∠ CAO=75°$。所以$∠ ACO=∠ AEC=75°$,所以$AC=AE$。又因为$AC=CD$,可得$AE=BF=CD$。

【分析】
要证明$AE=BF=CD$，可分两步推导：①先证$AE=BF$，观察$△ AOE$和$△ BOF$，已知$OA=OB$，由$OA⊥ OB$可得$∠ OAE=∠ OBF=45°$，再结合弧相等推出对应圆心角相等，即可证明两三角形全等得到$AE=BF$；②再证$AE=CD$，由弧相等可得弦$AC=CD$，因此只需证$AE=AC$，通过计算$△ AEC$的内角，证明$∠ ACE=∠ AEC$即可得到$AE=AC$，最终推导得三条线段相等。
【解析】
证明：连结$AC$。
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$，同圆中相等的弧所对的圆心角相等，$\therefore ∠ AOC=∠ BOD$。
$\because OA⊥ OB$，$OA=OB$，$\therefore △ AOB$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ BAO=∠ B=45°$。
在$△ AOE$和$△ BOF$中：
$\begin{cases}∠ OAE=∠ OBF=45° \\OA=OB \\∠ AOE=∠ BOF\end{cases}$
$\therefore △ AOE≌△ BOF(\mathrm{ASA})$，$\therefore AE=BF$。
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，$∠ AOB=90°$，$\therefore ∠ AOC=∠ COD=∠ BOD=30°$，且同圆中相等的弧所对的弦相等，故$CD=AC$。
$\because ∠ AEC$是$△ AOE$的外角，$\therefore ∠ AEC=∠ BAO+∠ AOC=45°+30°=75°$。
$\because AO=CO$，$\therefore △ AOC$为等腰三角形，$\therefore ∠ ACO=∠ CAO=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
$\therefore ∠ ACO=∠ AEC=75°$，$\therefore AC=AE$。
又$\because AC=CD$，$AE=BF$，$\therefore AE=BF=CD$。
【答案】
$AE=BF=CD$，得证。
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识的综合应用题，解题的突破口是将弧相等的条件转化为圆心角相等、弦相等，再结合角度计算推导边相等，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6