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6. 圆的一条弦把圆分成度数比为$3:1$的两条弧，则该圆的半径与弦心距的比为（
A.$2:1$
B.$\sqrt{3}:1$
C.$\sqrt{2}:1$
D.$1:2$
C
）。A.$2:1$
B.$\sqrt{3}:1$
C.$\sqrt{2}:1$
D.$1:2$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时首先根据弦分圆的弧的度数比，求出劣弧对应的圆心角度数；再结合垂径定理，过圆心作弦的垂线得到弦心距，构造出直角三角形；最后利用特殊直角三角形的边角关系，求出半径与弦心距的比值即可。
【解析】
解：
∵圆的周角为$360°$，弦把圆分成度数比为$3:1$的两条弧
∴劣弧的度数为$360°×\frac{1}{3+1}=90°$，即该弦所对的圆心角为$90°$
设圆的半径为$r$，圆心为$O$，弦为$AB$，过$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，则$OC$为弦心距
∵$OA=OB=r$，$∠ AOB=90°$，
∴$△ AOB$是等腰直角三角形
∵$OC⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一，$OC$平分$∠ AOB$，即$∠ AOC=45°$
在$Rt△ AOC$中，$\cos∠ AOC=\frac{OC}{OA}$
∴$OC=OA·\cos45°=r×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}r}{2}$
∴半径与弦心距的比为$r:\frac{\sqrt{2}r}{2}=\sqrt{2}:1$
故选C
【答案】
C
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 垂径定理
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先根据弧的比例求出对应圆心角的度数，再通过作弦心距构造直角三角形，结合特殊三角形的性质求解边长比，是圆心角相关知识的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据弦分圆的弧的度数比，求出劣弧对应的圆心角度数；再结合垂径定理，过圆心作弦的垂线得到弦心距，构造出直角三角形；最后利用特殊直角三角形的边角关系，求出半径与弦心距的比值即可。
【解析】
解：
∵圆的周角为$360°$，弦把圆分成度数比为$3:1$的两条弧
∴劣弧的度数为$360°×\frac{1}{3+1}=90°$，即该弦所对的圆心角为$90°$
设圆的半径为$r$，圆心为$O$，弦为$AB$，过$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，则$OC$为弦心距
∵$OA=OB=r$，$∠ AOB=90°$，
∴$△ AOB$是等腰直角三角形
∵$OC⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一，$OC$平分$∠ AOB$，即$∠ AOC=45°$
在$Rt△ AOC$中，$\cos∠ AOC=\frac{OC}{OA}$
∴$OC=OA·\cos45°=r×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}r}{2}$
∴半径与弦心距的比为$r:\frac{\sqrt{2}r}{2}=\sqrt{2}:1$
故选C
【答案】
C
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 垂径定理
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先根据弧的比例求出对应圆心角的度数，再通过作弦心距构造直角三角形，结合特殊三角形的性质求解边长比，是圆心角相关知识的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
7. 如图，点A，B，C，D，E，F都在$\odot O$上，且$AB=BC=CD=DE=EF=AF$。若$\odot O$的半径为6，求AE的长。
答案
7. 连结AO,FO,EO,则$∠ AOF=∠ FOE=60°$,则$△ AOF$ 和$△ FOE$ 均为边长为6的等边三角形,且$FO⊥ AE$。可求得$AE=6\sqrt{3}$。
解析
【分析】
已知圆内接六边形的六条边都相等，可判断这是圆内接正六边形，正六边形每条弦对应的圆心角均为$360°÷6=60°$。要求弦AE的长，我们可以先连接AO、FO、EO，利用圆心角与弦的关系得到各圆心角的度数，再通过等边三角形的性质和垂径定理，将AE的长度转化为直角三角形的边长计算求解。
【解析】
解：连接AO、FO、EO。
$\because AB=BC=CD=DE=EF=AF$，即六边形ABCDEF是$\odot O$的内接正六边形，
$\therefore$同圆中相等的弦所对的圆心角相等，可得：
$∠ AOF=∠ FOE=\frac{360°}{6}=60°$。
又$\because OA=OF=OE=\odot O$的半径$=6$，
$\therefore △ AOF$和$△ FOE$都是有一个角为$60°$的等腰三角形，即都是等边三角形，
$\therefore AF=EF=6$，可知F、O都在AE的垂直平分线上，即$FO⊥ AE$，设FO与AE交于点M，则$AM=ME$。
在$Rt△ AOM$中，$∠ AOM=60°$，$OA=6$，
$\therefore AM=OA·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
$\therefore AE=2AM=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆心角定理，等边三角形判定与性质，垂径定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题目，解题的核心是通过连接半径构造特殊三角形，将弦长求解转化为直角三角形的边长计算，熟练掌握正六边形与圆的关系是解题的前提。
【难度系数】
0.7
已知圆内接六边形的六条边都相等，可判断这是圆内接正六边形，正六边形每条弦对应的圆心角均为$360°÷6=60°$。要求弦AE的长，我们可以先连接AO、FO、EO，利用圆心角与弦的关系得到各圆心角的度数，再通过等边三角形的性质和垂径定理，将AE的长度转化为直角三角形的边长计算求解。
【解析】
解：连接AO、FO、EO。
$\because AB=BC=CD=DE=EF=AF$，即六边形ABCDEF是$\odot O$的内接正六边形，
$\therefore$同圆中相等的弦所对的圆心角相等，可得：
$∠ AOF=∠ FOE=\frac{360°}{6}=60°$。
又$\because OA=OF=OE=\odot O$的半径$=6$，
$\therefore △ AOF$和$△ FOE$都是有一个角为$60°$的等腰三角形，即都是等边三角形，
$\therefore AF=EF=6$，可知F、O都在AE的垂直平分线上，即$FO⊥ AE$，设FO与AE交于点M，则$AM=ME$。
在$Rt△ AOM$中，$∠ AOM=60°$，$OA=6$，
$\therefore AM=OA·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
$\therefore AE=2AM=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆心角定理，等边三角形判定与性质，垂径定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题目，解题的核心是通过连接半径构造特殊三角形，将弦长求解转化为直角三角形的边长计算，熟练掌握正六边形与圆的关系是解题的前提。
【难度系数】
0.7
8. (1) 如图①，过$\odot O$上一点$P$作两条弦$PA$，$PB$。若$PA=PB$，问：$PO$平分$∠ APB$吗？为什么？
(2) 如图②，若点$P$在$\odot O$内，过点$P$的两条弦$AC$，$DB$相等。问：$PO$平分$∠ APB$吗？为什么？
(3) 如图③，若点$P$在$\odot O$外，过点$P$作$PA$，$PB$，分别交$\odot O$于点$A$，$C$和$B$，$D$，且$AC=BD$。问：$PO$平分$∠ APB$吗？为什么？
(2) 如图②，若点$P$在$\odot O$内，过点$P$的两条弦$AC$，$DB$相等。问：$PO$平分$∠ APB$吗？为什么？
(3) 如图③，若点$P$在$\odot O$外，过点$P$作$PA$，$PB$，分别交$\odot O$于点$A$，$C$和$B$，$D$，且$AC=BD$。问：$PO$平分$∠ APB$吗？为什么？
答案
8. （1）平分。过点$O$作$OM⊥ PA$于$M$,$ON⊥ PB$于$N$。由$PA=PB$,得$OM=ON$,所以$PO$平分$∠ APB$。
（2）平分。理由同上。
（3）平分。由弦$AC=BD$,得弦心距相等,由角平分线性质定理的逆定理可证明结论。
（2）平分。理由同上。
（3）平分。由弦$AC=BD$,得弦心距相等,由角平分线性质定理的逆定理可证明结论。
解析
【分析】
三个小问均需判断PO是否平分∠APB，通用解题思路为：过圆心O向∠APB的两条边（弦所在直线）作垂线段，得到两条弦对应的弦心距；根据同圆中相等的弦对应的弦心距相等，得到两条垂线段长度相等；再利用角平分线的判定定理（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），即可证明PO平分∠APB。该思路对点P在圆上、圆内、圆外三种情况均适用。
【解析】
(1) PO平分∠APB，理由如下：
过点O作$OM⊥PA$于M，$ON⊥PB$于N。
∵PA、PB是$\odot O$的弦，且$PA=PB$，
∴同圆中相等的弦对应的弦心距相等，即$OM=ON$。
又
∵$OM⊥PA$，$ON⊥PB$，
根据角平分线的判定定理，可知点O在$∠APB$的平分线上，即PO平分$∠APB$。
(2) PO平分$∠APB$，理由如下：
过点O作$OM⊥PA$于M，$ON⊥PB$于N。
∵AC、DB是$\odot O$的弦，且$AC=BD$，
∴对应的弦心距相等，即$OM=ON$。
同理可得点O在$∠APB$的平分线上，即PO平分$∠APB$。
(3) PO平分$∠APB$，理由如下：
过点O作$OM⊥PA$于M，$ON⊥PB$于N。
∵AC、BD是$\odot O$的弦，且$AC=BD$，
∴对应的弦心距相等，即$OM=ON$。
同理可得点O在$∠APB$的平分线上，即PO平分$∠APB$。
【答案】
(1) 平分；(2) 平分；(3) 平分，理由均见解析。
【知识点】
弦与弦心距的关系，角平分线的判定
【点评】
本题围绕同个核心结论设置了点P在圆上、圆内、圆外三种不同场景，解题思路一致，体现了几何问题的变中不变思想，熟练掌握弦和弦心距的关系、角平分线判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
三个小问均需判断PO是否平分∠APB，通用解题思路为：过圆心O向∠APB的两条边（弦所在直线）作垂线段，得到两条弦对应的弦心距；根据同圆中相等的弦对应的弦心距相等，得到两条垂线段长度相等；再利用角平分线的判定定理（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），即可证明PO平分∠APB。该思路对点P在圆上、圆内、圆外三种情况均适用。
【解析】
(1) PO平分∠APB，理由如下：
过点O作$OM⊥PA$于M，$ON⊥PB$于N。
∵PA、PB是$\odot O$的弦，且$PA=PB$，
∴同圆中相等的弦对应的弦心距相等，即$OM=ON$。
又
∵$OM⊥PA$，$ON⊥PB$，
根据角平分线的判定定理，可知点O在$∠APB$的平分线上，即PO平分$∠APB$。
(2) PO平分$∠APB$，理由如下：
过点O作$OM⊥PA$于M，$ON⊥PB$于N。
∵AC、DB是$\odot O$的弦，且$AC=BD$，
∴对应的弦心距相等，即$OM=ON$。
同理可得点O在$∠APB$的平分线上，即PO平分$∠APB$。
(3) PO平分$∠APB$，理由如下：
过点O作$OM⊥PA$于M，$ON⊥PB$于N。
∵AC、BD是$\odot O$的弦，且$AC=BD$，
∴对应的弦心距相等，即$OM=ON$。
同理可得点O在$∠APB$的平分线上，即PO平分$∠APB$。
【答案】
(1) 平分；(2) 平分；(3) 平分，理由均见解析。
【知识点】
弦与弦心距的关系，角平分线的判定
【点评】
本题围绕同个核心结论设置了点P在圆上、圆内、圆外三种不同场景，解题思路一致，体现了几何问题的变中不变思想，熟练掌握弦和弦心距的关系、角平分线判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
